Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл, страница 4

При x < 0 f ( x ) = e − x и, соответственно, её пер−xвообразная имеет вид F ( x ) = −e + C 2 , C 2 ∈ R . Учтём теперь непрерыв−xxность первообразной в точке x = 0 : lim (− e + C 2 ) = lim (e + C1 ) ⇔Решение. Приx →0 − 0x →0 + 0⇔ − 1 + C 2 = 1 + C1 ⇔ C 2 = C1 + 2 .Таким образом, общий вид любой из первообразных следующий:⎧⎪e x + C1 , если x ≥ 0.F (x ) = ⎨ − x⎪⎩− e + C1 + 2, если x < 0Отметим, что, так как()e x + C1 − (1 + C1 )F ( x ) − F (0 )=1и= limx →0 + 0x →0+ 0xx− e − x + C1 + 2 − (1 + C1 )e−x −1F−′ (0) = lim= lim= 1 , то F (x )( − x )→0 + 0 − xx →0 − 0xдифференцируема всюду, включая точку x = 0 , т.е. мы нашли точную перF+′ (0 ) = lim()вообразную.Опр.3 (неопределённого интеграла).

Совокупность всех первообразныхфункций для данной функции f x на промежутке a, b называется неоп-( )ределённым интегралом от функции()f (x ) на этом множестве и обозначается∫ f (x )dx = F (x ) + C ,)соответственно, видХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл16гдеF (x ) – любая первообразная для f (x ) на (a, b ) , C – произвольнаядействительная константа. При этом символ∫называется знаком интеграла,f (x ) – подынтегральной функцией (если интеграл существует, то функцияназывается интегрируемой), f ( x )dx – подынтегральным выражением, x –переменной интегрирования, а dx – её дифференциалом.

Область интегрирования (a, b ) обычно можно определить из контекста задачи (чаще всего этопромежутки непрерывностиf (x ) ). Например, ∫ 0dx = C , ∫ dx = x + C .17§ 1. Понятие неопределённого интеграла(∫2)Пример 3. Найти неопределённый интеграл max 1; x dx .Решение.

Рассмотрим случаи:x ≤ 1 и x > 1.1) Если− 1 ≤ x ≤ 1 , то имеем ∫ max (1; x 2 )dx = ∫ dx = x + C .2) Еслиx > 1 , то имеем ∫ max (1; x 2 )dx = ∫ x 2 dx =В силу непрерывности первообразной в точкеусловие 1 + C =x3+ C1 .3x = 1 должно выполняться12+ C1 , откуда C1 = C + .33x3+ C 2 , соот3ветственно для непрерывности первообразной в точке x = −1 должно вы3) Еслиx < −1 , то имеем()22∫ max 1; x dx = ∫ x dx =Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл18π⎧⎪⎪∫ (cos x − sin x )dx, если 0 ≤ x ≤ 4==⎨π⎪ (sin x − cos x )dx, если< x ≤π⎪⎩∫4π⎧⎪⎪sin x + cos x + C , если 0 ≤ x ≤ 4=⎨⎪− sin x − cos x + C , если π < x ≤ π .1⎪⎩4πзапишем условие непрерывности первообразных:В точке x =4ππππsin + cos + C = − sin − cos + C1 ,4444илиполняться равенство12− 1 + C = − + C 2 , откуда C 2 = C − .33Итак, окончательно⎧ x3 2где x < −1;⎪ − + C,33⎪⎪2max(1;x)dx=где − 1 ≤ x ≤ 1;⎨x + C,∫⎪ x3 2⎪ + + C,где x > 1,⎪⎩ 3 3где2 + C = − 2 + C1 , откуда C 1 = C + 2 2 .Таким образом, имеем∫π⎧если 0 ≤ x ≤⎪⎪sin x + cos x + C ,41 − sin 2 x dx = ⎨π⎪− sin x − cos x + C + 2 2 ,если< x ≤π .⎪⎩4(1)Замечание.

Иногда в данной задаче приводят ответ в виде∫1 − sin 2 x dx = (sin x + cos x ) ⋅ sgn(cos x − sin x ) + C .C – произвольная постоянная.Надо понимать, что это не вполне корректно. Действительно, так выглядитПример 4. Найти неопределённый интегралнеопределённый интеграл на каждом из промежутков ⎢0, ⎟ и ⎜ , π ⎥ .⎣ 4⎠ ⎝4 ⎦Решение.∫∫1 − sin 2 x dx1 − sin 2 x dx = ∫(0 ≤ x ≤ π ) .⎡ π⎞Однако на всём отрезке(cos x − sin x )2 dx = ∫ cos x − sin x dx =⎛π⎤[0, π ] интеграл равен именно выражению (1) .Вообще, если в условии задачи сказано, что надо вычислить неопределённый интеграл, но не указано, на каком именно промежутке, то это подразумевает, что его требуется вычислить на области интегрируемости подынтегральной функции. И, строго говоря, в ответе следует указывать эту областьинтегрируемости, например,∫dx= ln x + C (x ≠ 0) .x19§ 1. Понятие неопределённого интегралаТакая запись означает, что данная формула справедлива для любого интервала, не содержащего внутри себя значение x = 0 (в том числе для каждого из()()бесконечных интервалов − ∞,0 и 0,+∞ ).

Эта форма ответа в данномслучае единственно возможная, так как найти интеграл на объединении этихпромежутков нельзя (первообразные терпят разрыв 2 рода в точке x = 0 ).Иногда при вычислении интеграла применяется искусственный приёмделения на некоторое выражение, которое, естественно, тогда не должно обращаться в нуль. Допустим, это выражение равно нулю при x = x 0 .

Тогдавычисляют интеграл при x ≠ x 0 , а в конце, если при этом значении x 0 ниподынтегральная функция, ни первообразные не имеют особенностей (определены и непрерывны), доопределяют полученное выражение для первообразных в точке x 0 их предельными значениями.Пример 5. Найти неопределённый интеграл∫ (xx2 −12)+ x +12dx .Решение. Подынтегральная функция определена, непрерывна и, следовательно, интегрируема при всех действительных x . При x ≠ 0 имеем:1⎞⎛1 ⎞⎛d⎜ x + ⎟x 2 ⎜1 − 2 ⎟x⎠⎝⎝ x ⎠ dx =dx ==22∫2∫2x + x +111⎞⎛⎛⎞x 2 ⎜ x + + 1⎟⎜ x + + 1⎟x ⎠x ⎠⎝⎝x2 −1∫(=∫Вточке)du(u + 1)2x=0x1=−+C = − 2+C .u +1x + x +1подынтегральнаяфункцияиеёпервообразныеx+ C непрерывны, поэтому полученный для интеграла резульx + x +1тат можно считать верным и при x = 0 , если доопределить каждую из пер-−2вообразных её значением в нуле.Ответ: −x+ C , x∈R.x + x +12Пример 6.

Найти неопределённый интегралРешение. Приx ≠ 0 имеем:x2 +1∫ x 4 + 3x 2 + 1 dx .Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл201 ⎞1⎞⎛⎛x/ 2 ⎜1 + 2 ⎟d⎜ x − ⎟x +1x⎠x ⎠dx = ∫ ⎝dx =∫ x 4 + 3x 2 + 1 dx = ∫ 2 ⎛ ⎝221 ⎞1⎞⎛x/ ⎜ x + 3 + 2 ⎟⎜x− ⎟ +5x ⎠⎝x⎠⎝21x −1u1duarctg+C .arctg+C ==∫ 2=u +55x 5552Подынтегральная функция определена, непрерывна, а, следовательно, и интегрируема, при всех действительных значениях x . Интеграл вычислен сей-() ()час отдельно на каждом из промежутков − ∞,0 и 0,+∞ .

Заметим, что вданном случае можно найти интеграл на всём множестве действительныхчисел. Для этого надо дополнительно учесть условие непрерывности первообразных в нуле. Найдёмlim (x → ±015arctgx2 −1x 5)= mπ2 5.Поскольку оба односторонних предела в нуле существуют и конечны, то результат интегрирования можно представить в виде∫⎧ 1x2arctg⎪x⎪ 52x +12dx = ⎪⎪ 1 arctg x42⎨x + 3x + 1x⎪ 5⎪ π+ C,⎪⎪⎩ 2 5−15−15+C ++ C,π5, x > 0;x < 0;x = 0.Обратим внимание читателя ещё на одно обстоятельство. Если подынте-x−a), то вx+aэтом случае первообразная ищется на луче x > a или на луче x < −a .

Такгральная функция содержит радикалы видаx 2 − a 2 (иликак обычно нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то частовыбирают тот луч, на котором будет более простая запись преобразованногоподынтегрального выражения, т.е. луч x > a (на другом луче x < −a первообразная находится совершенно аналогичными рассуждениями). Это позволяет при упрощении радикалов однозначно раскрывать модули. В этой жеситуации при записи ответа (и непосредственно интегрировании) можно также использовать функцию сигнум.21§ 1.

Понятие неопределённого интегралаПример 7. Найти неопределённый интегралРешение.x2 −1 =Воспользуемсяподстановкой∫xdx.x2 −11t = , тогдаxdtdx = − 2 ,t11− t21, и, учитывая тождество t = t ⋅ sgn t , полу−=tt2чаем:dtdtt2∫ x x 2 −1 = ∫ 1 1 − t 2 = − sgn t ∫ 1 − t 2 =⋅tt−dx= −∫dt1− t2Трудность интегрального исчисления сравнительно с дифференциальнымисчислением состоит в том, что неопределённый интеграл от элементарнойфункции может не быть элементарной функцией.

Даже в тех случаях, когдаинтеграл выражается через элементарные функции (т.е., как говорят, берётсяв конечном виде), нет единых рецептов, которые позволяли бы найти такоевыражение. В то же время различные способы интегрирования рассматриваются в курсе математического анализа, существуют обширные таблицы интегралов.Известны сравнительно немногие общие классы функций, для которыхинтегрирование может быть выполнено в конечном виде. Обычно их и изучают в курсе высшей школы. В частности, важный класс функций, интегралыот которых берутся в конечном виде, представляют собой рациональные алгебраические функции в виде отношения двух многочленовP( x ).

МногиеQ( x )иррациональные алгебраические функции, например, рационально зависящиеax 2 + bx + c и x или же от x и рациональных степеней дробиax + b, также интегрируются в конечном виде. В конечном виде интегриcx + dотруются и некоторые трансцендентные функции, например, рациональныефункции синуса и косинуса.Доказано, что любая непрерывная на отрезке a, b функция f x все-([ ])( )гда имеет на интервале a, b первообразную, в качестве которой можновзять определённый интеграл с переменным верхним пределом:F (x ) =x∫ f (t )dt (a < x < b) .

Поэтому все элементарные функции интегриaруемы на всех интервалах, входящих в их области определения. Однако врезультате интегрирования далеко не всегда получаются снова элементарныефункции, как это имеет место при дифференцировании.Функции, которые изображаются неопределёнными интегралами, не берущимися в конечном виде, образуют собой новые трансцендентные функции.

Многие из них также хорошо изучены. К ним относятся, например,1= − arcsin t + C = − arcsin + C .x1.3. Интегралы, выражаемые и невыражаемыев элементарных функцияхХорошилова Е.В. Неопределённый интеграл22интеграл Пуассонаинтегралы Френеля(∫ e− x2)dx ,(∫ sin (x )dx, ∫ cos(x )dx ) ,22⎛⎝интегральный логарифм ⎜ li ( x ) =⎛⎝dx ⎞∫ ln x ⎟⎠ ,sin x ⎞dx ⎟x⎠cos x ⎞⎛и косинус ⎜ ci ( x ) = ∫dx ⎟ ,x⎝⎠⎛ex ⎞dx ⎟ .интегральная показательная функция ⎜⎜ ei( x ) = ∫x ⎟⎠⎝exsin xНе вычисляются в элементарных функциях интегралы ∫ n dx , ∫ n dx ,xxcos x∫ x n dx (n ∈ N ) и многие другие. Так, интегралы видаинтегральные синус ⎜ si ( x ) =∫ R(x,∫)ax 3 + bx 2 + cx + δ dx , как правило, уже не выражаются в конеч-ном виде через элементарные функции.

Функции, сами не являющиеся элементарными, но определяемые через них с помощью аналитических соотношений типа интегрирования и дифференцирования, обычно называют специальными функциями.§ 1. Понятие неопределённого интеграла23Даже если интеграл не поддаётся аналитическому вычислению, его можнорассчитать приближённо с некоторой степенью точности. Так, в курсе вычислительных методов изучаются специальные способы приближённого вычисления интегралов с помощью различных разностных схем (методы прямоугольников, трапеций, парабол, сплайн-аппроксимация и пр. подходы).1.4. Основные свойства неопределённого интегралаОсновные свойства неопределённого интеграла следуют из его определения (см. доказательство в [2])1.2.(∫ f (x )dx )′ = f (x ) ; d (∫ f (x )dx ) = f (x )dx .∫ dF (x ) = F (x ) + C (C ∈ R ) (эти свойства отражают взаимно обрат-ный характер операций интегрирования и дифференцирования).3.∫ C ⋅ f (x )dx = C ⋅ ∫ f (x )dx , где C ∈ R \ {0} (постоянный множительможно выносить из-под знака интеграла).∫ ( f (x ) ± g (x ))dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g (x )dxподразумевается, что обе функции f ( x ) и g ( x )4.(свойство аддитивности;интегрируемы на одном итом же множестве).Свойства 3 и 4 отражают свойство линейности неопределённого интеграла, причём эти равенства носят условный характер: они выполняются лишь сточностью до произвольной константы.