Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл, страница 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .dx5.9. Интегралы видаdxdx138ПРЕДИСЛОВИЕdx∫ sin x − sin a , ∫ cos x − cos a , ∫ sin x − cos a . . . . 140a1 sin x + b1 cos xa sin x + b1 cos x + c1dx , ∫ 1dx ,a sin x + b cos xa sin x + b cos x + ca1 sin 2 x + 2b1 sin x cos x + c1 cos 2 xdx и другие. . .

. . . . . . . . . . 143∫a sin x + b cos x5.10. Интегралы вида∫5.11. Интегрирование по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1475.12. Другие подстановки и подходы к интегрированию. . . . . . . . . . . 148Задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 152§ 6. Интегрирование выражений, содержащих гиперболические,показательные, логарифмические и другие трансцендентныефункции6.1. Интегрирование гиперболических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.2. Интегрирование показательных функций. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 1636.3. Интегрирование логарифмических функций. . . . . . . . . . . . . . . . 1666.4. Интегрирование обратных тригонометрических функций. . . . . 170Задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174Список использованной литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Брошюра посвящена одной их важнейших тем, традиционно изучаемыхна первом курсе высших учебных заведений – интегральному исчислению.Не все поступившие на первый курс изучали эту тему в средней школе, анаучиться хорошо интегрировать за время отведённых по учебной программе 3-4 семинарских занятий является трудно выполнимой задачей даже для способных молодых людей, получивших в средней школе начальный опыт.

Дело в том, что необходимо разбираться в существующихприёмах интегрирования и многочисленных подстановках, на изучениекоторых требуется определённое время для выработки практических навыков. Данная брошюра написана именно для того, чтобы любой студент,начинающий изучать интегральное исчисление, мог получить в сжатомвиде информацию о наиболее изученных классах интегрируемых функцийодной вещественной переменной, а также об основных методах вычисления неопределённых интегралов. Это тем более важно, что полученные приэтом навыки пригодятся в будущем при изучении определённых, а такжекратных, поверхностных, криволинейных и прочих видов интегралов.В начале брошюры приводятся определения первообразной и неопределённого интеграла, сформулированы важнейшие свойства интегралов,даётся таблица наиболее часто используемых интегралов от элементарныхфункций, а затем для каждого класса интегрируемых функций (рациональные дроби, иррациональные, тригонометрические и др.

функции) рассматриваются соответствующие приёмы интегрирования. В этом смысле данное пособие является мини-справочником по приёмам интегрирования.Каждый из приведённых способов вычисления интегралов иллюстрируетсяпримерами решения задач.Конечно, разобранных в пособии примеров задач недостаточно для более детального изучения этого раздела интегрального исчисления.

В известной мере брошюра является лишь путеводителем по неопределённыминтегралам, с помощью которого можно начать осваивать данный раздел.Практическое интегрирование с необходимостью должно предварятьсяизучением теории неопределённых интегралов с подробными выводами,теоремами и обоснованиями.

При этом рекомендуется обращаться к прове-Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл9ренным временем учебникам по курсу математического анализа (например, трудам Г.М. Фихтенгольца, Л.Б.Кудрявцева и С.М. Никольского, В.А.Ильина, Э.Г. Позняка, В.А. Садовничего, Бл.Х. Сендова и др.), научнымтрудам известных математиков по упомянутой теме, а также лекциям, читаемым для студентов факультета. И, конечно, работу с данной брошюройнадо сочетать с решением достаточного количества задач. Только тогдабудут приобретены необходимые навыки практического интегрирования.И в заключение несколько практических советов студентам.

Следуетиметь в виду, что проработку материала по любой теме не стоит откладывать «на потом», т.е на время сессии. Лучше всего делать это постепенно,параллельно тому, как на практических занятиях изучается с преподавателем тот или иной раздел. Если при этом возникают вопросы, то не надостесняться задавать их преподавателю и свом коллегам. Важно проявлятьинициативу, консультироваться у людей, лучше вас разбирающихся в данной области, используя любую возможность, поскольку вы заинтересованыв том, чтобы хорошо освоить изучаемую дисциплину.Отвечая на экзамене на вопрос билета, чётко формулируйте необходимые определения и свойства.

Надо приучить себя к аккуратности и строгости проведения математических доказательств, быть готовым в любой момент, если понадобится, привести все необходимые пояснения и обоснования. Поэтому при работе с учебной литературой сразу обращайте вниманиена встречающиеся в тексте определения и формулировки свойств, старайтесь их запомнить. Следует помнить, что во время экзамена студентуобычно предлагается решить одну или несколько задач, продемонстрировав тем самым навыки и умения использовать свои знания на практике.Для этого, как уже отмечалось выше, необходим соответствующий опыт ипостоянная тренировка в решении задач.Пособие написано автором, кандидатом физ.-мат. наук, доцентом, наоснове многолетнего опыта ведения семинаров по математическому анализу на 1-м курсе факультета Вычислительной математики и кибернетикиМГУ им.

М.В.Ломоносова.С уважением,автор§ 1.ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА«Интегральное исчисление – раздел математики, в котором изучаются свойства интегралов и связанных с нимипроцессов интегрирования. Простейшими понятиями интегрального исчисления являются неопределённый интеграл иопределённый интеграл. Этот раздел тесно связан с дифференциальным исчислением, вместе с которым составляет одну из основных частей математического анализа. Как дифференциальное, так и интегральное исчисление базируютсяна методе бесконечно малых или методе пределов».Большой энциклопедический словарь [9]«Напрасно думают, что она (фантазия) нужна только поэту.

Это глупый предрассудок! Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии».В.И. Ленин1.1. Историческая справкаВ настоящее время изучение темы «интегралы» чаще всего начинают спонятия первообразной функции, потом вводят понятие неопределённогоинтеграла, изучают его свойства, и уже затем переходят к изучению определённого интеграла и его разновидностей (собственного и несобственного видов) и установлению тесной связи неопределённого и определённого интегралов. Однако исторически первоначально сформировалось понятие интеграла определённого.Известно, что вплоть до конца XVII в.

математики умели вычислять некоторые виды определённых интегралов, решая с их помощью отдельные практические задачи по вычислению площадей и объёмов тел, однако в то времяещё не существовало чёткого общего определения определённого интеграла.Не существовало тогда и понятия первообразной. Это было связано с недостаточным развитием теории пределов и основанного на ней дифференциаль-11§ 1. Понятие неопределённого интеграланого исчисления.

Их развитие, в свою очередь, тормозилось отсутствиемстрогой теории вещественного числа.В конце XVII в. в Европе образовались две крупные математические школы, которые существовали на протяжении почти всего XVIII в. Главой однойиз них был крупный немецкий учёный Готфрид Вильгельм фон Лейбниц(1646–1716). Как он сам, так и его ученики и сотрудники – Гильом ФрансуаЛопиталь (1661–1704), братья Якоб (1654–1705) и Иоганн (1667–1748) Бернулли, а также его непосредственные последователи, в том числе ЛеонардЭйлер (1707–1783), жили и творили в основном на континенте. Вторая школа,предшественниками которой были Джон Валлис (1616–1703) и Исаак Барроу(1630–1677), возглавляемая Ньютоном, состояла из английских и шотландских учёных.

В их числе был и Колин Маклорен (1698–1746). Работа обеихшкол привела к большому прогрессу в области математического анализа, ксозданию в достаточно законченном виде дифференциального и интегрального исчислений.Так, Г. Лейбниц, исходя из понятия определённого интеграла, пришёл кпонятию функции F x , являющейся первообразной для данной функции( )()()()f x , так что F ′ x = f x . Отсюда следовало заключение о том, что дифференцирование и интегрирование являются двумя взаимно обратными операциями, вроде сложения и вычитания, умножения и деления, возведения встепень и извлечения корня.

Вычисление интегралов Лейбниц и его ученики(первыми из которых являлись братья Я. и И. Бернулли) стали сводить к отысканию первообразных. При вычислении интегралов с определёнными пределами с помощью неопределённых интегралов как И. Ньютон, так и Лейбницпользовались носящей их имя формулой.