В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии, страница 10
Описание файла
PDF-файл из архива "В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 10 страницы из PDF
(a; a) > 0.¥¬¬ 3.1.5 (¥° ¢¥±²¢® ®¸¨{³¿ª®¢±ª®£®) «¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ¢¥ª²®°®¢¡¥°²®¢ ¯°®±²° ±²¢ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¥° ¢¥±²¢®j(a; b)j 6 jaj jbj.a; b £¨«¼-®ª § ²¥«¼±²¢®. ·¥¬ ± ¡®«¥¥ ¯°®±²®£® | ¢¥¹¥±²¢¥®£® | ±«³· ¿. ±±¬®²°¨¬ ±ª «¿°»© ª¢ ¤° ² (a b; a b) > 0, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¤«¿ ¢±¥µ 2 R ¨¬¥¥¬ ª¢ ¤° ²¨·®¥ ¥° ¢¥±²¢®(a; a) 2(a; b) + 2(b; b) > 0, ±«¥¤®¢ ²¥«¼® ¤¨±ª°¨¬¨ ² ½²®£® ª¢ ¤° ²®£® ²°¥µ·«¥ ¥¯®«®¦¨²¥«¼»©, ².¥. (a; b)2 (a; a)(b; b) 6 0. ¥°¥®±¿ (a; a)(b; b) ¢ ¯° ¢³¾ · ±²¼ ¨ ¨§¢«¥ª ¿ ª®°¥¼,¯®«³· ¥¬ ¨±ª®¬®¥ ¥° ¢¥±²¢®.¥°¥©¤¥¬ ²¥¯¥°¼ ª ª®¬¯«¥ª±®¬³ ±«³· ¾. ®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼®¥ 2 C .
®£¤ (a b; a b) =(a; a) (b; a) (a; b)+ jj2(b; b) > 0. .ª. (a; b) | ª®¬¯«¥ª±®¥ ·¨±«®, ²® ¤«¿ ¥ª®²®°®£® ³£« '¢»¯®«¥® ° ¢¥±²¢® (a; b) = j(a; b)jei'. £° ¨·¨¬±¿ ²®«¼ª® ²¥¬¨ , ¤«¿ ª®²®°»µ ei' = 2 R,²®£¤ ¸ ±ª «¿°»© ª¢ ¤° ² ¬®¦® ¯¥°¥¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ (a b; a b) = (a; a) 2j(a; b)j + 2(b; b). «¥¥, ¤¥©±²¢³¿, ª ª ¢ ¢¥¹¥±²¢¥®¬ ±«³· ¥, ¯®«³· ¥¬ ³¦»© °¥§³«¼² ².²¢¥°¦¤¥¨¥ja + bj 6 jaj + jbj.§ ¥° ¢¥±²¢ ®¸¨{³¿ª®¢±ª®£® ±«¥¤³¥², ·²® (a; b) + (b; a) 6 2jaj jbj.3.1.6 «¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ¥° ¢¥±²¢³ ²°¥³£®«¼¨ª ,®ª § ²¥«¼±²¢®.®¡ ¢¨¢ ª ®¡¥¨¬ · ±²¿¬ ¥° ¢¥±²¢ (a; a) + (b; b), ¯®«³·¨¬(a + b; a + b) = (a; a) + (b; b) + (a; b) + (b; a) 6 (a; a) + (b; b) + 2jaj jbj = (jaj + jbj)2;®²ª³¤ ±«¥¤³¥² ¥° ¢¥±²¢® ²°¥³£®«¼¨ª .3.2°®¶¥±± ®°²®£® «¨§ ¶¨¨¯°¥¤¥«¥¨¥ 3.2.1 ¢ ¢¥ª²®° a; b §»¢ ¾²±¿ ®°²®£® «¼»¬¨ (a ? b), ¥±«¨ (a; b) = 0. §¨± e1 ; : : : ; en §»¢ ¥²±¿ ®°²®®°¬¨°®¢ »¬, ¥±«¨ (ei; ej ) = ij , ².¥.
¥±«¨ ¢¥ª²®°» ¡ §¨± ¯®¯ °® ®°²®£® «¼» ¨ ¤«¨ ª ¦¤®£® ¨§ ¨µ ° ¢ 1.³±²¼ e1 ; : : : ; en | ¥ª®²®° ¿ «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬ ¿ ±¨±²¥¬ ¢¥ª²®°®¢ £¨«¼¡¥°²®¢ ¯°®±²° ±²¢ . ¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ Vi «¨¥©³¾ ®¡®«®·ª³ ¯¥°¢»µ i ¢¥ª²®°®¢, Vi = he1 ; : : : ; ei i, ¨ ¯®«³·¨¬° ±¸¨°¿¾¹³¾±¿ ¶¥¯®·ª³ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ V1 V2 : : : Vn .32²¢¥°¦¤¥¨¥3.2.2 ³¹¥±²¢³¥²² ª®© ¡®°¯®¯ °®®°²®£® «¼»µa1 ; : : : ; an , ·²® ¤«¿ ª ¦¤®£® ®¨¥° i «¨¥© ¿ ®¡®«®·ª ha1; : : : ; aii ±®¢¯ ¤ ¥² ± Vi.¢¥ª²®°®¢(¨¤³ª¶¨¿ ¯® ª®«¨·¥±²¢³ ¢¥ª²®°®¢)1) °¨ n = 1 ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ®·¥¢¨¤®.2) ³±²¼ ½²® ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ¢»¯®«¥® ¤«¿ ª®«¨·¥±²¢ ¢¥ª²®°®¢, ° ¢®£® n, ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«¿n + 1.
.ª. ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ¢¥°® ¤«¿ n ¢¥ª²®°®¢, ²® ¬» ¬®¦¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¢¥ª²®°» a1; : : : ; an± ³ª § »¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨ ³¦¥ ¯®±²°®¥». ®±²°®¨¬ ¢¥ª²®° an+1 ¢ ¢¨¤¥ an+1 = en+1 + 1a1 +: : : + nan . ¨¥© ¿ ®¡®«®·ª ¢¥ª²®°®¢ a1; : : : ; an+1 ±®¢¯ ¤ ¥² ± he1; : : : ; en+1i ¯°¨ «¾¡»µ i,¯®½²®¬³ ¬» ¡³¤¥¬ ¯®¤¡¨° ²¼ ª®½´´¨¶¨¥²» i ² ª, ·²®¡» ¢»¯®«¿«®±¼ ³±«®¢¨¥ (an+1 ; ai ) = 0¤«¿ ¢±¥µ i = 1; : : : ; n. ±±¬®²°¨¬ ±ª «¿°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ 0 = (an+1 ; ai ) = (en+1 ; ai )+ 1(a1 ; ai)+: : : + n (an; ai ). ®±ª®«¼ª³ (aj ; ai) = 0 ¯°¨ j 6= i ¯® ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¾ ¨¤³ª¶¨¨, ²® 0 = (en+1 ; ai) +i(ai; ai), ±«¥¤®¢ ²¥«¼® i = (e(nai ;a;ai)i) (§ ¬¥ ²¥«¼ ®²«¨·¥ ®² ³«¿).®ª § ²¥«¼±²¢®.+1 ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²®¡» ¯®«³·¨²¼ ¢¥ª²®° an+1 , ¤® ¨§ ¢¥ª²®° en+1 ¢»·¥±²¼ ¥£® ®°²®£® «¼»¥ ¯°®¥ª¶¨¨ ¢¥ª²®°» a1 ; : : : ; an . ²®² ¬¥²®¤ ®°²®£® «¨§ ¶¨¨ §»¢ ¥²±¿ ¬¥²®¤®¬ ° ¬ {¬¨¤² .3.3°²®£® «¼®¥ ¤®¯®«¥¨¥³±²¼ V W | ¯®¤¯°®±²° ±²¢® £¨«¼¡¥°²®¢ ¯°®±²° ±²¢ .
°²®V ? ª V ¢ W §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®, ±®±²®¿¹¥¥ ¨§ ¢¥ª²®°®¢, ®°²®£® «¼»µ ¢±¥¬ ¢¥ª²®° ¬ ¨§ V , ².¥. V ? = fv 2 V : (v; w) = 0 8w 2 W g.¯°¥¤¥«¥¨¥3.3.1£® «¼»¬ ¤®¯®«¥¨¥¬·¥¢¨¤»¬ ®¡° §®¬ ¯°®¢¥°¿¥²±¿, ·²® V ? ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬, ¥ ¯°®±²® ¯®¤¬®¦¥±²¢®¬.W = V V ?.®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ e1 ; : : : ; ek | ¡ §¨± ¢ V , ¤®¯®«¨¬ ¥£® ¤® ¡ §¨± ¢±¥£® ¯°®±²° ±²¢ W ¢¥ª²®° ¬¨ ek+1 ; : : : ; en. °¨¬¥¨¢ ¯°®¶¥±± ®°²®£® «¨§ ¶¨¨ ° ¬ {¬¨¤² , ¯®«³·¨¬ ®°²®£® «¼»© ¡ §¨± a1; : : : ; ak ; ak+1 ; : : : ; an ¢ W , ¯°¨·¥¬ ¥£® ¯¥°¢ ¿ · ±²¼ ¡³¤¥² ¡ §¨±®¬ ¢ V , ².ª.ha1; : : : ; aki = he1; : : : ; eki = V . ®ª ¦¥¬, ·²® ¢¥ª²®°» ak+1; : : : ; an ®¡° §³¾² ¡ §¨± ¢ V ?.
³±²¼v 2 V ?, v = 1 a1 + : : : + k ak + k+1 ak+1 + : : : + n an | ° §«®¦¥¨¥ ¢¥ª²®° v ¯® ¡ §¨±³ ¯°®±²° ±²¢ W . ®½´´¨¶¨¥²» 1 ; : : : ; k ¤®«¦» ¡»²¼ ³«¥¢»¬¨, ² ª ª ª ¨ ·¥ ¢¥ª²®° v ¥ ¡»«¡» ®°²®£® «¥ ¢±¥¬ ¢¥ª²®° ¬ a1; : : : ; ak . ¥°® ¨ ®¡° ²®¥: ¥±«¨ ¯¥°¢»¥ k ª®®°¤¨ ² ª ª®£®-²®¢¥ª²®° ¢ ¡ §¨±¥ a1 ; : : : ; an ° ¢» ³«¾, ²® ½²®² ¢¥ª²®° ¯°¨ ¤«¥¦¨² V ? . «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¯°®¨§¢®«¼»© ¢¥ª²®° w 2 W ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬» ¤¢³µ ±« £ ¥¬»µ | ¨§ V ¨ ¨§V ?: w = | 1a1 + :{z: : + k ak} + | k+1 ak+1 +{z: : : + nan}, ².¥.
W = V + V ? .¥¬¬ 3.3.22V2V ?®ª ¦¥¬, ·²® ½² ±³¬¬ ¯°¿¬ ¿. ®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼»© ¢¥ª²®° v 2 V \ V ? . .ª. v 2 V ? ,²® (v; w) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®° w 2 V . ®±ª®«¼ª³ v 2 V , ¬» ¬®¦¥¬ ¢ ª ·¥±²¢¥ w ¢§¿²¼ ± ¬¢¥ª²®° v , ²®£¤ (v; v ) = 0, § ·¨², v = 0. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¯¥°¥±¥·¥¨¥ ±®±²®¨² ²®«¼ª® ¨§ ³«¥¢®£®¢¥ª²®° , ¨ ±³¬¬ | ¯°¿¬ ¿.§ ° §«®¦¥¨¿ ¢ ¯°¿¬³¾ ±³¬¬³ W = V V ? ±«¥¤³¥², ·²® «¾¡®© ¢¥ª²®° a 2 W ¬®¦®¥¤¨±²¢¥»¬ ±¯®±®¡®¬ ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ a = a0 + a? , £¤¥ a0 2 V , a? 2 V ? . ¥ª²®° a0 §»¢ ¥²±¿ (®°²®£® «¼®©) ¯°®¥ª¶¨¥© ¢¥ª²®° a ¯®¤¯°®±²° ±²¢® V , ¢¥ª²®° a? §»¢ ¥²±¿®°²®£® «¼®© ±®±² ¢«¿¾¹¥© ¢¥ª²®° a.³±²¼ ¨¬¥¥²±¿ ¤°³£®¥ ° §«®¦¥¨¥ ¢¥ª²®° a: a = a1 + a2 , £¤¥ a1 2 V , ( a2 ¤®¯®«¨²¥«¼»µ³±«®¢¨© ¥²), ²®£¤ ¨¬¥¥² ¬¥±²®²¢¥°¦¤¥¨¥3.3.3ja2j > ja? j.33®ª § ²¥«¼±²¢®. ¡®§ ·¨¬ a0 a1 = b 2 V , ²®£¤ a = a1 + a2 = a0 (a0 a1)+ a2 = a0 +(a2b), ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, a2 b = a? , ².¥. a2 = a? +b.
®£¤ (a2; a2) = (a? ; a?)+2 (|a?{z; b}) +(b; b) > (a?; a?),=0®²ª³¤ ¯®«³· ¥¬ ja2 j > ja? j.¯°¥¤¥«¥¨¥ 3.3.4 £«®¬ ¬¥¦¤³ ¤¢³¬¿ ¥³«¥¢»¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯°®±²° ±²¢¥) §»¢ ¥²±¿ ¢¥«¨·¨ (a;cb) := arc cos j(aa;bjjbj .¨¤®, ·²® ½²® ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨² §¤° ¢®¬³ ±¬»±«³, ².¥. ³£®« ° ¢¥ ³«¾ ²®£¤ ¨²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢¥ª²®° ª®««¨¥ °», ¨ ³£®« | ¯°¿¬®© ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢¥ª²®° ®°²®£® «¼».²¢¥°¦¤¥¨¥(a;da1).3.3.5 (®¡®§ ·¥¨¿ ²¥ ¦¥, ·²® ¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ³²¢¥°¦¤¥¨¨)(a;da0) 6cb) = (a;db), ².¥.
¢¥ª²®° b ¬®¦® § ¬¥¨²¼®ª § ²¥«¼±²¢®. ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ > 0, ²® (a; «¾¡®© ¤°³£®©, ª®««¨¥ °»© ¥¬³ (¨ ¯° ¢«¥»© ¢ ²³ ¦¥ ±²®°®³). ©¤¥¬ ² ª®¥ ·¨±«® ,·²®¡» ¢¥ª²®° a1 ¡»« ¡» ®°²®£® «¥ ¢¥ª²®°³ b = a a1 :(a ; a a ) = 0 , (a ; a a ) = 0 , (a ; a) (a ; a ) = 0 , = (a1; a) :11111| 1{z 1}a1; a16=0ja j)(a a ;a )+(a ;a ) = ja j .)\®£¤ (a;da1) = (a;\a1), cos(a;da0) = j(aa;aa1) = j(aa;ajja j = jaj , cos(a;jja j =jajja jjaj«¥¤®¢ ²¥«¼®,1) (b; b)sin2 (a;da0) = 1 aa;0 ; aa0 = a?a;:aa? ; sin2(a;\a1) = 1 (a(a;1; aa) = (a; a) :00101111111.ª.
(a? ; a?) 6 (b; b), ²® sin2 (a;da0) 6 sin2(a;\a1), ¨ sin(a;da0) 6 sin(a;\a1). .ª. ®¡ ³£« ¯°¨ ¤\«¥¦ ² [0; =2] (¨µ ª®±¨³±» ¥®²°¨¶ ²¥«¼»), ¯®«³· ¥¬ (a;da0) 6 (a; a1) = (a;da1).¯°¥¤¥«¥¨¥ 3.3.6 ±±²®¿¨¥¬ d(a; V ) ®² ¢¥ª²®° a ¤® ¯®¤¯°®±²° ±²¢ V §»¢ ¥²±¿ ¨¬¥¼¸¥¥ ¨§ ¢±¥µ ¢®§¬®¦»µ ¤«¨ ¢¥ª²®°®¢, ±®¥¤¨¿¾¹¨µ ¢¥ª²®°» (²®·ª¨) ¯®¤¯°®±²° ±²¢ V ± ¤ »¬ ¢¥ª²®°®¬, ².¥.
d(a; V ) := mina 2V ja a1 j. £«®¬ (ad; V ) ¬¥¦¤³ ¢¥ª²®°®¬ a ¨¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬ V §»¢ ¥²±¿ ¨¬¥¼¸¨© ¨§ ¢±¥µ ³£«®¢ ¬¥¦¤³ ¢¥ª²®°®¬ a ¨ ¯°®¨§¢®«¼»¬¢¥ª²®°®¬ a1 2 V , ².¥. (ad; V ) := mina 2V (a;da1).11·¥¢¨¤®, ·²® d(a; V ) = ja? j | ° ±±²®¿¨¥ ®² ¢¥ª²®° ¤® ¯®¤¯°®±²° ±²¢ ° ¢® ¤«¨¥ ®°²®£® «¼®© ±®±² ¢«¿¾¹¥© ¯°¨ ¯°®¥ª¶¨¨ ¢¥ª²®° ¯®¤¯°®±²° ±²¢®, (a;dV ) = (a;da0) | ³£®«¬¥¦¤³ ¢¥ª²®°®¬ ¨ ¯®¤¯°®±²° ±²¢®¬ ° ¢¥ ³£«³ ¬¥¦¤³ ¢¥ª²®°®¬ ¨ ¥£® ¯°®¥ª¶¨¥© ¤ ®¥¯®¤¯°®±²° ±²¢®.3.4¥²®¤ ¨¬¥¼¸¨µ ª¢ ¤° ²®¢®¯³±²¨¬, ·²® ¬» ¨±±«¥¤³¥¬ ª ª®¥-¨¡³¤¼ ¯°¨°®¤®¥ ¿¢«¥¨¥ ¨ µ®²¨¬ ®¯¨± ²¼ ¥£® «¨¥©®© ´®°¬³«®©, ².¥.
¬» ¯°¥¤¯®« £ ¥¬, ·²® ª ª ¿-²® ¢¥«¨·¨ b «¨¥©® § ¢¨±¨² ®² ¤°³£¨µ | a1 ; : : : ; an ,¨ µ®²¨¬ ¯®«³·¨²¼ ½²³ § ¢¨±¨¬®±²¼ b = a1 x1 + : : : + an xn , ².¥. ³§ ²¼ ¥¨§¢¥±²»¥ ª®½´´¨¶¨¥²»x81 ; : : : ; xn. » ¤¥« ¥¬ m ¨§¬¥°¥¨© (¤«¿ ²®·®±²¨ ¡¥°¥¬ m > n) ¨ °¥¸ ¥¬ ±¨±²¥¬³ ³° ¢¥¨©< a11x1 + : : : + a1n xn = b1: am1 :x:1: + :: :: :: + :a:mn: xn = bm . ®®¡¹¥ £®¢®°¿, ½² ¯¥°¥®¯°¥¤¥«¥ ¿ ±¨±²¥¬ ¥ ¨¬¥¥² °¥¸¥¨¿.34®½²®¬³ ¬ ¤® ©²¨ ¨¡®«¥¥ ¯°¨¡«¨¦¥®¥ °¥¸¥¨¥ x1 ; : : : ; xn ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ®²ª«®¥¨¥ § ·¥¨© bj ®² cj = aj1 x1 +: : :+ajn xn ¡³¤¥² ¨¬¥¼¸¨¬. p ª ·¥±²¢¥ ®²ª«®¥¨¿ ³¤®¡® ° ±±¬®²°¥²¼ ª®°¥¼ ¨§ ±³¬¬» ª¢ ¤° ²®¢ ®²ª«®¥¨© ª®®°¤¨ ² (b1 c1)2 + : : : + (bm cm )2 = jb cj,·²® ° ¢® ¤«¨¥ ¢¥ª²®° b c. ³¤¥¬ ¨±ª ²¼ ² ª®¥ ¯±¥¢¤®-°¥¸¥¨¥. ±±¬®²°¨¬ ¢¥ª²®°»0 a1n 10 b1 10 a11 1a1 = @ ... A ; : : : ; an = @ ... A ; b = @ ...
A :amnbm³±²¼ V = ha1 ; : : : ; an i. ¡»·® m ¬®£® ¡®«¼¸¥ n, ¨ ¢¥ª²®°» a1; : : : ; an «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬». ±«¨ ®¨ ¢±¥-² ª¨ «¨¥©® § ¢¨±¨¬», ±«¥¤³¥² ®²¡°®±¨²¼ ª ª®¥-²® ¨µ ª®«¨·¥±²¢®, ·²®¡» ®±² ¢¸¨¥±¿ ®¡° §®¢ «¨ ¡ §¨± ¯®¤¯°®±²° ±²¢ V . ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ½²® ³¦¥ ±¤¥« ®, ¨ ¢¥ª²®°»a1 ; : : : ; an «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬».¯°®¥ª²¨°³¥¬ ¢¥ª²®° b ¯®¤¯°®±²° ±²¢® V . ®«³·¨¬ ° §«®¦¥¨¥ b = b0 + b? , ¨, ª ª ¬»¤®ª § «¨ ° ¥¥, jb?j = jb b0j ¡³¤¥² ¨¬¥¼¸¥© ¤«¨®© ¢¥ª²®°®¢, ±®¥¤¨¿¾¹¨µ b ± V , ².¥.
b0®¯°¥¤¥«¿¥² ¨±ª®¬®¥ ¬ ª±¨¬ «¼® ¯°¨¡«¨¦¥®¥ ¯±¥¢¤®-°¥¸¥¨¥. ²®¡» ©²¨ ¥£®, ° §«®¦¨¬¢¥ª²®° b0 ¯® ¡ §¨±³ ¯®¤¯°®±²° ±²¢ V , b0 = x1a1 + : : : + xn an . ®£¤ , ¢§¿¢ ±ª «¿°»¥ ¯°®¨§¢¥am1¤¥¨¿ ± ¢¥ª²®° ¬¨ ¡ §¨± , ¯®«³· ¥¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ° ¢¥±²¢ :(a1; x1a1 + : : : + xn an ) = (a1 ; b)::: ::: ::: :::(an ; x1a1 + : : : + xn an ) = (an ; b);².¥.