Том 2 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 11

В вещ ествен н ом с л у ч а е ч е р т а к ом п л ек сн ого соп ряж ен и яи первой акси ом е м о ж е т б ы т ь опущ ена.В е щ е с тв е н н о е линейное п р о ст р а н ст в о со с к а л я р н ы м произведениемн а зы в а е т с яев к л и д о в ы мп р ост р ан ст в ом , а к ом п л ек сн ое - унит арны м .О б о з н а ч е н и е : Е и U со ответствен н о.П р и м е р 4 7 .1 . С к ал яр н о е произведение ге о м е т р и ч е с к и х в е к т о р о в , в в е ­денное в §24 на основани и м етр и к и , им ею щ ейся н а пр ям ой, на п л оск остии в п р о с т р а н с т в е , у д о в л е т в о р я е т всем а к си о м а м с к а л я р н о го произведения(т е о р е м а 2 4 .2 ) и п р ев р а щ а е т п р о ст р а н ст в а Vn, п = 1 ,2 , 3 , в ев к л и д о в ы про­с т р а н с т в а . А к си о м ати ч е ск о е определение ск а л я р н о го пр оизведения говорито т о м , ч т о э т о не ед и н ствен н ы й сп особ введения ск а л я р н о го произведения.П р и м е р 47 .2 .В ари ф м ети ч еск ом п р о ст р а н ст в е К " ск а л я р н о е про­и зведени е в е к т о р о в I = ( x i : X j ..........х п ) и у = ( y i , у з , .

. . , у „ ) м о ж ет б ы т ьввед ен о по п р ави л у( х .у ) = £ х , у ,( 4 7 .1 )( х , у) = Х Т У,( 4 7 .2 )ллш, ч т о то ж е сам ое,гд е А' = ( x i . i j ......... х „ ) т , Y = ( y i , y j ...........у „ ) т . Т а к о й сп особ введения ■каля р и ого произведения в А " будем н а з ы в а т ь с т а н д а р т н ы м .П р и м е р 4 7 .3 .В ар и ф м ети ч еском п р о ст р а н ст в е С " ск а л я р н о е про­изведени е вектор ов х = ( х i , x j ......... х „ ) и у = ( у ь У г ........... Уп) м о ж е т б ы т ьвведено по пр ави лу(*.У ) =(4 7 .3 )1*1§47.Скалярное произислснис.

Матрица Грама51или, что го же самое,( г ,у ) = Х т 7 ,(47.4)где X = ( i i , х з , . . . , r „ ) T , Y = (sFT, V i........ So)T . Такой способ введения скалярного мроизпедсния я С " будем назы вать стандартным.П рим ер47.4.В вещественном арифметическом пространстве Cj^скалярное произведение векторов i = (щ + «0........ ..i ^ ! , . . . , o i ' n +«/?(,) м ож ет б ы т ь введено по правилу+ 1 0 „) и у = (а\ +( * . У) = £ (< » ,< » ',+ 0,01)-•(47.5)1*1П р и м е р 47 .5 .

В пр остран стве матриц R " " 11" ( С " " " ’ ) скалярное про­изведение матри ц А = { а ,,), В = (Ь ,,) может бы ть введено по правилу(Л,В) = ' ^ ^ а „ Ь „(47.6)i=i j=iили, ч то т о же самое,(Л, В ) = Щ В Т А),если Л, В 6 I R " '* " , и(47.7)■=1 1=1или, ч то т о же самое,{А , В ) = И (В НЛ),если А, В 6 С " ” " ’ .

Э т и способы введения скалярного произведения в про­странствахи С т х " будем назы вать стандартными.П р и м е р 47.6.В пр остран стве многочленов степени не выше п с ве­щ ественн ы м и коэффициентами скалярное произведение многочленов р(() =1 и q{t) = $ 2 " _ 0 М ‘ м ож ет бы ть введено одним из следующих праннл:П(р,я)или= 5 ^ 0 .4 .(47.8)#|](р,я)=/р (< )9(0<".(47.9)■'llгде t\ < lj - произвольные фиксированные числа.

Скалярное произведение,введенное в Л/„ по правилу (4 7 .8 ), будем назы вать стандартным.П р и м е р 47.7.В комплексном линейном пространстве многочленовстепени нс выш е п скалярное произведение многочленов может бы ть введенопо правилу(Р.

я) = 5 Z “ ,6*ib O(47.10)52Г л а ва Х Ш .Евклидовы и у н и т а р н ы е п р о с т р а н с т вСкалярное произведение, введенное в комплексном п р о стр а н стве М п по это.му правилу, будем ивзыввть стандартны м.П р и м е р 47.8. В функциональном п р остран стве С [0 , I] скалярн ое про.к тел ен к е функций / (х ) и у (х ) может б ы ть задано равен ство м :(/.s) = / /(т)у(*И *JoТеорем а4 7 .1 .Скалярное произведение о б л а д а е т следующимисвойст вами:I ) (к ,у + я) = ( * . » ) + ( * .

* ) . V r ,y , I € Е (U );I ) ( я ,а х ) = а ( х , у), V x,y 6 Е (U), Ча £ R / с о о т в е т с т в е н н о С);3 ) ( в ,х ) = ( х ,в ) = 0, Ч х £ Е (U );4 ) ( х .в ) — 0 для лю бого вект ора у 6 Е (U) т о гд а и т о л ь к о т о гд а ,когда х = в ;5) лю бое п од п р остр ан ство L евклидова /унитарного^ п рост ран ст ваявляется евклидовым / со о т в е т с т в е н н о унит арным) п рост ран ст вом .Т е о р е м а 4 7 .2 . .Для любых в е к т о р о в х ,у € Е ( I I ) им еет м ест онеравенст воl(*.y )| J < ( * .* ) ( У . у)или, в другой форме,I (* .* )(*.у )(у. у)> 0.I (У ,* )Э то неравенство называется н еравенст вом К о ш и - Б у н д о в с к о г о .Т е о р е м а 4 7 .3 .

Н еравенст во К о ш и -Б у н я к о в ск о го об р а щ а е т с я вр авен ст во т огда и т о л ь к о т о г д а , к огд а вект ор ы х и у кол л и н еарн ы .Ллиной вект ора х в евклидовом и унитарном п р о ст р а н ст в е н а зы ваетсячислоI1 ! =Вектор х называется нормированным, если его дл и н а равна единице:1*1= *•Из аксиом скалярного произведения сл ед ует, чтоI) любой вектор г евклидова (и унитарного) п р о стр а н ств а и м еет длину,при этом И > 0 , Vr е Е (U) и |х| = 0 о х = 0;2} |аг| = |а||г|, Vr 6 Е (£/), Vo £ ДО (со о тв е т ств е н н о С ).С помощью длин векторов неравенство К ош и -Ьуи якон ского м ож ет б ы т ьпереписано в видеК*.У)1 < 1*Му1Т е о р е м а 4 7 .4 . В евклидовом (унит арном ) п р ост р ан ст в е дл я лю.бых вект оров х ,у имеют м ест о н еравен ст ва1 М -М 1 < 1 * + у|< W + M -(4 7 .li)Неравенства (47.11) называю тся н е р а в е н ст ва м и т р еу го л ьн и к а в евкл и ­довом ( унитарном) прост ранст ве.Матрицей Грома системы вект оров a i , .

. . , a * евкл и д ова (унитарн ого)пространства называется матрица(a i.a i)(o i,a 2)...(а ь , a *)(a * ,a 2)...С ( а ь . . . , а 4) =(a * ,a * )§4 7.Скалярное произволение. Матрица I рана53О пределитель матрицы Грам а напивается определит елем f рама.Т е о р е м а 4 7 . 5 . Система лект оров а *, .. ,а» «пклиаово (ун и тар ­ного) п рост ран ст ва линейна зависима т огда и т о л ь к о т огда, когдаdel G ( a i , . ..,< !* ) = 0 .Матрица 1'рама системы вект оров евклидова(ун ит арн ого) п рост ранст ва эрмит ова.Т еор ем а4 7 .0 .Т е о р е м а 4 7 .7 , Определитель Грома линейно независимой систе­мы векторов в евклидовом (унитарном) п р остр он г.твс полож и телен.Е сли G ( e i , e ? l .

. . ( e t,) — (y(J) - матрица Грам а базиса «^пространства V,т о скалярное произведение векторов г = £ " и 1 1 ,е * и У =с их координатами соотношением(*■»> = £ £ * ' * ■ » ' “ ‘ t o -1»1 j . tУ,С| С В 13 а И 0(47.12)если V - евклидово пространство, иУч**У) ~ * Г С У^( * , у) = 5 2(47.13).«I ;=«iесли V - унитарное пространство.Евклидовы пр остран ства Е\ и £ j называю тся изоморфными, если су­щ ест ву ет биективное отображение tp : Ei —> £ 3 1 которое сохраняет законыкомпозиции и скалярное произведение, т .е . если:1)+У )=v ( * )Vi, у 6 £1 ;+2) ¥> (ar) = o c ^ ( i) ,V i е Ei , Va 6 К ;3) (v>(i),¥>(y)) = (*,»),С ам о отображениеVi,y€£i.при этом называется изоморфизмом евклидовыхпрост ран ст в или иэометрией.Точно т ак же определяется изоморфизм унитарных пространств Ui и Uj(с очевидным отличием в свойстве 2: a € L ) .

Из определения следует, чтоизоморфные евклидовы (унитарные) пространства изоморфны как линейныеп р остр ан ства.Т е о р е м а 4 7 .8 . Л еа евклидовых (унитарных) п р о ст р а н ст в а изолюрфны т о гд а и т о льк о т огда, когда равны их размерности.З А Д А Ч И4 7 . 1 . Д о к а за ть , что в евклидовом (и в унитарном) простран­ст в е для любого вектора х выполнено соотношение( в ,х ) = 0.4 7 . 2 .

Д о к а за ть, что в любом конечномерном вещественномили комплексном линейном пространстве можно определить ска­лярное произведение.4 7 .3 . П усть V - евклидово пространство со скалярным про­изведением ( х , у ). П оказать, что если положить( х ,у ) = A (z,y),54Глава X III.Евклидовы и у н и т а р н ы е пространствгис А - фиксированное положительное число, то для ( х , у ) такж евыполнены вес аксиомы скалярного произведения. Какой геометрнческнй смысл имеет переход о т ( х , у ) к {т,,у) в п ростран ствеI s геометрических векторов?4 7 .4 .

Д оказать, что если ( x ,y ) i н ( х , у ) 2 - л в а разл и ч н ы х ска­лярных произведения в одном и том ж е линейном п р остр ан ствеГ , то скалярным произведением в Г будет и величина* ) (*ii/ ) = ( * . y ) i + ( x , y h ;б) ( * . у ) = A (i,y )i + ( j { x , y ) i ,где А и ft - произвольные полож ительны е числа.4 7 .5 . П усть x l t x j и у !,у 3 - координаты век то р о в х и у в некотором базисе двумерного вещ ественного линейного п ростран ­с т в а V . Определить, можно ли скалярное произведение в V опре­делить формулой:а ) ( х ,у ) = х 2у ,;б ) ( х , у ) = 2 х , у 1 + 3 х 2у2;в ) ( х ,у ) = x iy , - 2 х ,у 2 - 2 x jy i + 5 х 2у2;г ) ( х .у ) = [ х ,х ,] [ р J ] [ j j j ;л ) ( * , » ) = [*» *а ]е ) ( х , у ) = (х 4 х 2] ^ _ з “ j ] |у‘ |; ж ) ( х , у ) = [х , х 2]' 1 2Vi ‘.0 9 ..

У а.'2 22 1У:.У а.4 7 .6 .Д о к а за ть, что в двумерном вещ ествен н о м линейноп ростран стве Г равенство( х , у ) = X? Л уе,Л = [ “ “ “ 1гa 2i a 22jгде I , и у, - координатные столбц ы в ек т о р о в х и у в некоторомбазисе е, зад ает скалярное произведение в V т о г д а и то л ь к о т о ­гд а, когда= А, а п > 0,d el /1 > 0.4 7 .7 .Д о к а за ть, что в п-мерном вещ ествен н ом линейном прстр ан стве Г равен ство( х , у ) = х [ А уе,А = (а ,3) е ®пхп,где х , и yt - координатные столбц ы век то р о в х и у в некоторомбазисе е, задает скалярное произведение в V, еслиПАт = Л,о„ > Y l K l . v * = iT n r=iIj47.С к ал я р н о епроизведение.

М атриц а Грама554 7 .8 .П усть i , , i 3 и j/|, j/j координаты векторов х и у в неко­тором базисе двумерного комплексного линейного пространстваV . О п ред ели ть, можно ли скалярное произведение в V опреде­л и ть формулой:а ) ( х , у ) = х ,з /1 + х ,у 2;б) ( х ,у ) = х ,]й ;») ( * , У) = «xiSv + i x 2у7;г) (х , у) = i r , y j - i x 2yl;д) (х,») = 1*1* и [ з “ i 3 o ‘ ] [ £ ] :е) (х,у) = [х, х,] J ° ] [| l]; ж) (х,у) = [х, x2j [jj “ ] [ * ] ;з ) ( * , ») = [ * . x 2] [ j j | ] [ j l ] jи) ( x , у) = x , уГ + t x ,y i - «х , у7 + X jy i,4 7 . 9 . П у сть x e и ye - координатные столбцы векторов xи у в некотором базисе е двумерного комплексного линейногоп р о ст р ан ств а V.