e1 (Методички к лабам), страница 2

4) оказывается,что поверхностная плотность заряда σ различна в разных точках поверхности: она близка к нулю внутри углубления (точка b), наибольшее значение на остриях (точка а) и имеет промежу!точное значение в точках боковой поверхности. Так как величину напряженности поля E вблизи поверхности проводника можно определить по формулеE=σε 0ε(18)то напряженность поля у поверхности проводника сложной формы весьма неодинакова. Онаособенно велика возле участков с малым радиусом кривизны, т.е. у заострений.аbРис.4Физические основы метода моделирования электрических полей в электролитической ваннеВ соответствии с выражением (17) составляющие вектора Е по координатам можно выражатьчерез потенциалыEx = −∂ϕ∂ϕ∂ϕ, Ey = −, Ez = −.∂x∂y∂zПодставляя эти выражения в уравнение Пуассона (12), мы получаем общее уравнение, которому удовлетворяет потенциал, в следующем виде:∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕρ=−++.ε0∂x 2∂z 2∂y 2(19)Если между проводниками нет заряженных тел, то во всех точках поля р=0 и уравнение (19) переходит в более простое:∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ= 0,++∂y 2∂x 2∂z 2(20)называемое уравнением Лапласа.

Вычисление потенциала в этом случае сводится к нахождению такой функции φ(х, у, z), которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет дифференциальному уравнению (20), а на самих проводниках принимает заданные значения.Если форма электродов, создающих поле, настолько сложна, что распределение потенциалатрудно вычислить, то его всегда можно определить экспериментально. Этой цели может служить метод, связанный с использованием электролитической ванны.Ортогональность силовых линий и эквипотенциальных поверхностей значительно облегчаетэкспериментальное и теоретическое исследование электростатического поля. Найденное положение поверхностей равного потенциала позволяет построить силовые линии поля. Экспериментально оказывается проще определить расположение эквипотенциальных поверхностей, таккак большинство приборов пригодных для изучения электростатических полей, измеряет разности потенциалов, а не напряженности поля.Сложность электростатических измерений привела к разработке особого метода изучения электростатических полей путем искусственного воспроизведения их структуры в проводящих средах, по которым пропускается стационарный (постоянный) ток Проводящая среда должна бытьоднородной и обладать малой проводимостью.Изучение поля стационарного тока вместо поля стационарных зарядов дает возможность пользоваться токоизмерительными приборами, которые проще и надежнее, чем приборы для электростатических измерений Данные экспериментальных исследований нашли широкое применение при изучении сложных электростатических полей.

При этом большое значение имеетправило подобия электростатических полей, а именно если размеры электродов, создающих поле, и все расстояния между электродами изменены в одной пропорции, то структура поля неизменяется.При экспериментальном изучении электростатического поля используется полная аналогияраспределения потенциала, как в электростатическом поле, так и в проводящей среде, по которой течет стационарный электрический ток (такая среда условно обозначается как «поле тока»).Эта аналогия дает возможность изучать вместо электростатического поля между заряженнымителами поле стационарного тока между электродами при условии, что их потенциалы поддерживаются постоянными и проводящая среда имеет значительно большее удельное сопротивление, чем материал электродов. Такой метод называется моделированием электростатическогополя.Метод моделирования основан на подобии эквипотенциальных поверхностей в однородномэлектролите и в вакууме при сохранении подобия формы электродов и их потенциалов.

Это подобие основано на том, что токи в электролитах подчиняются закону Ома и связаны с напряженностью поля Е соотношением!!j = γE(21)!где j - плотность тока; γ - удельная проводимость электролита.Возьмем в проводящей среде произвольную замкнутую поверхность S, ограничивающую объемV (рис. 5). Количество электричества, ежесекундно вытекающего из объема V через поверхность S, представляется интегралом∫jndS.SТу же величину можно представить как скорость изменения заряда dq/dt.

(Где q = ∫ ρ dV - заVряд, содержащийся в объеме V). Учитывая, что поверхность с течением времени неизменна, заменим полную производную частной и, приравнивая эти выражения, получим−∂∂t∫ ρ dV =V! !(∫ j , d S ).SЗнак «минус» показывает, что электрический ток поддерживается только убыванием электрических зарядов в данном объеме. Заменив поверхностный интеграл объемным (по формуле Остроградского-Гаусса), получим−Откуда следует, что∂∂t∫ ρ dV =V!div∫ j dV .V!∂ρ+ div j = 0∂tЭто уравнение принято называть уравнением непрерывности, или уравнением неразрывности.Если токи стационарны, те не зависят от времени,!div j = 0 .SVjdSnРис.5Для случая декартовых координат имеемили с учетом (21)∂jX∂jY∂jZ= 0++∂x∂y∂z(22)∂E X∂E Y∂E Z++= 0∂x∂y∂z(23)Из формулы (23) следует, что напряженность поля в проводящей среде электролита удовлетворяет тому же уравнению, что и напряженность поля в вакууме (см. формулу (12)).

Однако, чтобы показать это совпадение, нужно доказать, что для обоих полей одинаковы условие на границе раздела электродов. В общем случае, эти граничные условия различны, так как вектор на!пряженности электрического поля в вакууме E 0 всегда перпендикулярен к поверхности про!водника, а вектор напряженности поля в проводящей среде E этому условию может и не удовлетворять. Но если удельная электропроводимость среды намного меньше электропроводимости вещества электродов, то потенциал во всех точках каждого электрода будет практически!одинаковым.

В этом случае вектор E всегда перпендикулярен к поверхности электродов любой!!формы. Поэтому можно принять, что E 0 и E не только удовлетворяют одинаковому дифференциальному уравнению, но и одинаковым граничным условиям, а это значит, что оба полясовпадают.Одним из недостатков данного метода является то, что при постоянном токе происходит электролиз и на электродах выделяются составляющие электролита. В результате напряжение между электродами в течение опыта несколько изменяется и измерения становятся неточными.Чтобы этого не произошло, в настоящей лабораторной работе применяется переменный токпромышленной частоты (50 Гц), который можно считать квазистационарным. Квазистационарным называется ток, для которого сила тока в данной точке изменяется незначительно (в пределах погрешности регистрирующего прибора) за время τ передачи электромагнитного возмущения по всей проводящей среде.

В нашем случае за время τ=L/v (где L- размер ванны, v- скорость электромагнитной волны в среде) мгновенное значение силы тока в данной точке электролитической ванны будет практически одинаковыми, т.е. справедливо соотношение (22),приведенное для постоянного тока.ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬОписание лабораторной установки.Схема экспериментальной установки представлена на рис.6.В кювету (ванну) 7, наполненную электролитом (водой), погружены металлические электроды4 и 8 заданной конфигурации. В электродах от блока питания 1 подводится переменное напряжение.

Вольтметр 3 подключен к одному из электродов (потенциал этого электрода мы принимаем равным нулю) и к зонду 6 - металлической игле, укрепленной в специальном держателе.Положение зонда 6, т.е. координаты какой-либо точки электростатического поля, определяетсяс помощью координатных линеек 5 и 9 или с помощью миллиметровой бумаги, помещенной надно ванны.123220 В456789Рис. 6Выполнение экспериментаЗадание 1. Подготовить установку к работе.1.Через середину листа миллиметровой бумаги размером 400х300 мм2, провести линию симметрии.

Справа и снизу карандашом нанести деления линеек 5 и 9 (см. рис. 6) в соответствии сих расположением на установке. Поместив электроды на миллиметровке в местах, соответствующих их положению в электролитической ванне, обвести карандашом их контуры.2.

Установить электроды в ванну. Собрать схему установки в соответствии с рис. 6.3. Наполнить ванну 7 (см. рис. б) водой так, чтобы электроды 4 и 8 были погружены в нее на 3/4их высоты; установить зонд 6 так, чтобы он был погружен в воду на глубину ~ 10 мм.Задание 2. Построить силовые и эквипотенциальные линии электростатического поля.1. Включить блок питания 1 (см.

рис. б). На вольтметре 2 выставить напряжение u=9 В.2. Установить зонд 6 на линию симметрии ванны 7; далее проверить потенциалы электродов 4(φ-0) и 8 (φ=9 В). Если потенциалы электродов не соответствуют указанным, откорректироватьих.3. Перемещая зонд 6 вдоль линии симметрии, найти координаты точек, в которых φ1=l В, φ2=2В, ..., φ8=8 В. Нанести координаты этих точек на миллиметровку.4.

Операции п.3 повторить для линий, параллельных линии симметрии и отстоящих от нее на 20мм, 40 мм и т.д. Измерения продолжать до тех пор, пока не кончится поле справа от линиисимметрии. Отключить источник питания.5. Все точки с одинаковым потенциалом соединить плавной линией.6. Построить серию силовых линий, начиная с точек, лежащих на электроде 8 (см.