e1 (Методички к лабам)

Московский государственный технический университет им. Н. Э. БауманаЛ. И. Баландина, В. И. Васюков, Г. В. Подгузов.ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯС ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОЙ ВАННЫМетодические указания к лабораторной работе Э-1 по курсу «Общая физика»Под редакцией М. Б.

Челнокова.Москва, 1992Описаны основные характеристики электростатического поля а также методика их измерения с помощью электролитической ванныДля студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ им Н.Э. БауманаЦель работы - изучить метод моделирования электростатических полей в электролитическойванне; построить эквипотенциальные и силовые линии заданного электрического поля; ознакомиться с изменением этого поля при внесении в него проводников.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬХарактеристики электростатического поляЭлектростатическое поле является частным случаем электромагнитного поля.

Оно создаетсязаряженными телами, когда эти тела и заряды на них неподвижны. Электростатическое поле в!каждой его точке характеризуется вектором напряженности E и потенциалом φ- Напряжен!ность электрического поля E является его силовой характеристикой и определяется как отно!шение силы F , с которой поле действует на внесенный в данную точку поля положительныйзаряд q0, к величине этого заряда:!!FE=q0(1)Потенциал φ электростатического поля - это энергетическая характеристика данного поля, численно равная работе А, которую совершают силы этого поля при перемещении единичного точечного положительного заряда q0 из заданной точки поля в бесконечность:ϕ= Aq0(2)В общем случае при перемещении в электрическом поле точечного заряда q из 1-й точки во 2ю, потенциалы которых равны соответственно φ1 и φ2, совершаемая силами этого поля работаопределяется по формуле(3)A12=q(φ1- φ2)В электростатическом поле работа при перемещении заряда не зависит от пути, по которомудвижется заряд, а определяется лишь начальным (1-м) и конечным (2-м) положениями заряда.Поле, отвечающее этому условию, принято называть потенциальным.Работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из 1-й точки во 2-ю, может быть вычислена также по формулеA 12 =∫(21)()2! !! !F , d l = ∫ q E, d l ,(4)1!где d l - элементарное перемещение заряда q.Сравнивая формулы (3) и (4), приходим к соотношению(2 !!ϕ1 − ϕ 2 = ∫ E, d l)(5)1При обходе замкнутого контура, в соответствии с (5), получим∫ (E , d l ) = 0!L!(6)!Криволинейный интеграл (6) называется циркуляцией вектора E .

Следовательно, можно сказать, что циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура!равна нулю Это утверждение называют теоремой о циркуляции вектора E .!Напряженность E и потенциал φ электрического поля, создаваемого точечным зарядом q определяется по формулам!E=1 q !er4πε 0 ε r 2(7)1 q4πε 0 ε r(8)ϕ=где ε0 - электрическая постоянная; ε - диэлектрическая проницаемость среды; г-расстояние от!!заряда до рассматриваемой точки поля; e r = r / r единичный вектор, направленный от заряда вданную точку.Если электрическое поле создается несколькими точечными зарядами, то, согласно принципусуперпозиции, результирующая напряженность и потенциал в любой его точке вычисляются поформулам! N !E = ∑ Ei(9)ϕ = ∑ ϕi(10)i =1Ni =1Отметим, что при наложении полей напряженности складываются векторно, а потенциалы - алгебраически.

Используя формулы (7) и (9), можно вычислить напряженность электрическогополя, создаваемого любыми заряженными телами. Для этого заряженное тело разбивают набесконечно малые части и, рассматривая их как точечные заряды, вычисляют напряженностьполя по принципу суперпозиции.Наряду с принципом суперпозиции для нахождения напряженности электрических полей заряженных тел, которые обладают симметрией, применяют теорему Гаусса.Теорема Гаусса утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля в вакуумечерез произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутриэтой поверхности зарядов, деленной на ε0:∫(S)! !1E, dS =ε0N∑qi =1i(11)!Теорема Гаусса в интегральной форме (11) связывает значения вектора E в точках некоторойзамкнутой поверхности с величиной заряда, находящегося внутри объема, ограниченного этойповерхностью, т.е.

связывает величины, относящиеся к разным точкам поля. Можно, однако,придать этой теореме форму, включающую величины, относящиеся к одной и той же точке поля:∂E y∂E x∂E zρ++=∂x∂z∂yε0(12)где ρ- объемная плотность электрических зарядов. Соотношение (12), выражающее теорему Гаусса в дифференциальной форме, носит название уравнения Пуассона.!Учитывая, что сумма частных производных в (12) есть дивергенция (расхождение) вектора E ,уравнение Пауссона можно записать в следующем виде:!ρdiv E =ε0(13)Графическое изображение электростатических полейДля графического изображения электростатических полей используются силовые линии и эквипотенциальные поверхности.Силовая линия электростатического поля - это линия, проведенная таким образом, что векторнапряженности поля в каждой точке линии направлен по касательной.

Силовым линиям приписывается такое же направление, как и вектору напряженности. Силовые линии начинаются наположительных и заканчиваются на отрицательных зарядах (свободных и связанных) и нигдене пересекаются.Эквипотенциальная поверхность - это поверхность, все точки которой имеют одинаковый по!тенциал.

Вектор E в каждой точке эквипотенциальной поверхности направлен по нормали кней.При изображении электростатического поля с помощью силовых линий и эквипотенциальныхповерхностей последние обычно проводятся так, чтобы разность потенциалов между двумя соседними поверхностями была всюду одинаковой. В этом случае по густотеэквипотенциальных поверхностей и силовых линий можно судить о численном значении напряженности поля в каких-либо его точках. На рис.1 в качестве примера показаны эквипотенциальные поверхности, и силовые линии полей, создаваемых заряженной сферой (рис. 1,а) ивозникающих между двумя заряженными проводящими электродами произвольной формы(рис, 1,б).Имея картину силовых линий электростатического поля, можно построить эквипотенциальныеповерхности, и, наоборот, но известной картине эквипотенциальных поверхностей можно построить силовые линии поля.

В данной работе силовые линии поля строятся по эквипотенциальным линиям (линиям пересечения эквипотенциальных поверхностей с плоскостью чертежа).Eφ1Nφ2EMaбРис.1Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля!Зная напряженность E электростатического поля в каждой его точке, разность потенциаловφ1-φ2 между 1-й и 2-й точками этого поля можно вычислить следующим образом:()! !ϕ 1 − ϕ 2 = ∫ E, d l = ∫ E l dlL(14)LЗдесь интегрирование ведется (в силу потенциальности электростатического поля) вдоль любойлинии L, соединяющей 1-ю и 2-ю точки.!Если известно значение потенциала в любой точке поля, то напряженность его E в какой-либоточке этого поля можно определить из соотношения!E = −gradϕ(15)где gradφ - градиент потенциала, под которым подразумевается вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку поля, и равный помодулю производной от φ по направлению нормали к этой поверхности.

То есть!dϕ !E=−ndϕ(16)В частности, в декартовой системе координат соотношение (15) имеет следующий вид:! ∂ϕ !∂ϕ !∂ϕ ! E = − i +j+k∂y∂ z  ∂x(17)Градиент потенциала характеризует быстроту возрастания потенциала в направлении нормалик эквипотенциальной поверхности, т.е. вдоль силовой линии. В формуле (15) знак «минус» показывает, что вектор напряженности направлен в сторону уменьшения потенциала.Как следует из зависимости (16), напряженность электрического поля можно найти, дифференцируя функцию φ по l, (где l -расстояние, измеряемое вдоль силовой линии). На практике этодифференцирование обычно проводится графическим способом, путем замены производнойdφ/dn отношением приращений δφ/δl (рис.

2).Графическое дифференцирование осуществляется следующим образом:1. Для выбранной силовой линии, например MN (см. рис. 1,б), строится графическая зависимость изменения потенциала φ вдоль этой линии.2. Полученная зависимость разбивается на малые участки (0-1; 1-2;...), на которых кривая заменяется хордой, проведенной через две точки этого участка.3. Отношение δφ/δl с целью получения более точного результата заменяется отношением Δφ/Δl(где Δφ и Δl выбираются в несколько раз большими, чем δφ и δl) (см.

рис. 2,а).4. Определяется модуль вектора напряженности электрического поля для данного участка δl поформуле:!∆ϕE =∆l(17,а)φaΔφδφ0lδlΔlНа рис.2,б, в соответствии с вышеизложенным, представлена графическая зависимость Е(l), построенная для силовой линии MN.|E|б0lРис.2Проводники в электростатическом полеПри внесении незаряженного проводника в электростатическое поле носители зарядов в немперераспределяются и возникают так называемые индуцированные заряды (рис.

3, а). Последние распределяются по внешней поверхности проводника, при этом электрическое поле в толще проводника отсутствует. Если внутри проводника имеется полость, то поле внутри нее также равно нулю. На этой основе широко применяется метод защиты чувствительных приборовот внешних электрических полей - так называемая электростатическая защита (чувствительныеприборы заключают в замкнутые металлические корпуса, которые соединяют с землей).EE=0EEабРис.3Отметим, что замкнутый полый проводник экранирует только поле внешних зарядов.

Еслиэлектрические заряды находятся внутри проводника, то индуцированные заряды возникают нетолько на внешней, но и на внутренней поверхности проводника (рис. 3,б). Однако внутри полости поле не будет равно нулю. Здесь будут проходить силовые линии, соединяющие заряд,заключенный в полости, с индуцированными зарядами на внутренней поверхности проводника.Индуцированные заряды на внешней его поверхности вызовут поле во внешнем пространстве.Поэтому замкнутая проводящая полость не экранирует поле электрических зарядов, помещенных внутри нее.При исследовании распределения зарядов на проводнике сложной формы (рис.