Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами, страница 4

Этапы построения и элементы математической модели технической задачи оптимизациипроцесса управления для детерминированных систем с сосредоточенными параметрами инепрерывным временемЭтап Содержание этапаIНеформальное описание задачи и ее анализ; выбор иобоснование степени точности и детализации описаниясистемы физическими теориями.

Физическая постановка задачиIIФормирование ММ. Математическая постановка задачиIIЭлементы ММПримечанияФормулировкарассмотренногослучая или узкой задачи исследования в содержательных терминах.Установление физических законов,которым подчиняются различныеобъекты задачПодготавливают данные, на основекоторых в дальнейшем строитсяММ и формулируются специфические допущения, позволяющие использовать математические допущенияНа базе I этапаВыбор и перечисление переменных состояния (фазовыхкоординат), области их определения и интервала времени, на котором целесообразно рассматривать управляемый процесс. Выбор системы(или систем) координат, вкоторых целесообразно рассматривать процессы движения и управленияВектор(фазовых координат)состояния Выбор фазовых координат для конкретной задачи не является единственным (например, он зависит отTnnx = ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) , x ∈ X ⊂ R ,выбора системы координат)dim( x ) = nразмерность фазового пространства.Область определения x:Xn,отрезок времениT = {t , t0 ≤ t ≤ t1}Установление общих законов, которым подчиняетсяэволюция состояния рассматриваемойсистемы.Оценка области их применимости (области определения).ДУ движенияdx= f (x, y, t ) ;dtf = ( f1 , f 2 , ..., f n )T ;Здесь y – вектор пока неопределенных элементов в правой частиуравнений движения.область определения f:t ∈ T , x ∈ X n , y ∈ Y m1 .Выбориперечисление Управляющие переменныеуправляющих переменных к u = (u , u , ..., u m )T , u ∈ U m ⊂ R m .12Вектор неопределенных элементовy либо становится управлением u,области их определения, а Управляющие(проектные)также управляющих пара- параметрыметров и возмущений.a = (a1 , a2 , ..., an )T , a ∈ Ar ⊂ R r ;возмущениеw = ( w1 , w2 , ..., ws )T , w ∈ W s ⊂ R s ;либо известной функцией (t, x),либо управляющим параметром а.В стохастических задачах w – случайные функции.m + r + s = m1.Анализ технических ограничений на значение управляющих воздействий, фазовые координаты и управляющие параметры.IIОграничения типа равенствTψ (t , x) = (ψ1 , ψ 2 , ..., ψ µ ) = 0 ;k (t , x, u, a) = (k1 , k 2 , ..., k v )T = 0 .Ограничения типа неравенств.Выборфункциональныхклассов для управлений итраекторий.Определениедопустимыхтраекторий,управлений и управляющихпараметров.Формулировка начальных и Условие типаграничных условий (цели g (t , t , x(t ), x(t ), a) =0 101эволюции системы).T= ( g1 , g 2 , ..., g l ) = 0Иногда ограничения представляют~~в виде: u ∈U m ⊂ U m ; x ∈ X n ⊂ X n ;~a ∈ Ar ⊂ A r , где U m , X n , Ar –замкнутые ограничения области.Обычно u(t) – кусочно-непрерывные ограничения функции времениt, x(t) – непрерывные кусочногладкие функции времени.Формируются такжеграничные условиясвободные(l ≤ 2n + 2 + r );h(t 0 , x(t 0 ), a) = (h1 , h2 , ..., hl1 )T = 0;g(t1 , x(t1 ), a) = ( g1 , g 2 , ..., g l 2 )T = 0.IIIВыбор показателя оценкикачества управления, направленного на достижениепоставленной цели.Выбор вычислительного оператора (max, min, max min,min max, …), применениекоторого к показателю качества является математическим выражением технического понимания оптимальности системы.

Фиксацияаргументов этого оператора(u, a, t и т.д.). Формулировказадач оптимизацииКорректировка техническойпостановки задачи.РазличногородафункционалыJ[u, a], определение на решенияхсистемы:max J [u];u∈Umin J [u];u∈Umin max J [u];u∈U , t∈Tmin max J [u, w ]u∈U , w∈WЧисло переменных, вид уравнений, Аналитические трудности, изучекритерий, граничные условия и т.д. ние сформулированной модели могут заставить пойти на дальнейшиеупрощения.Эквивалент преобразования Переход к новым фазовым и (или) В частности, использование метоММ для удобства изменения управляющим переменным, гранич- дов штрафных функций, редукции кболее простым задачам и т.д.аналитическихчисленных ным условиям и т.д.методов решения задач оптимизации.Производится на базе содержательИзменение ММ для удобстваной (этап I) и математическойвычислений. Формулировка(этап II) формулировок задачпонятий «практически оптимальной системы», «практической точности получениярезультата» в конкретнойзадачеВектор z = (x, t)T , т.е.

состояние в момент t, называется событием (фазой). Множество всех возможных событий z образует пространство Z n +1 ⊂ R n +1 событий. Точка z ∈ Z n +1 является изображающей точкой пространства событий.2.2. УправлениеСистема S называется управляемой на отрезке (одно из определений управляемости) [t0 , t1 ] , если ее поведение приt > t 0 зависит только от начального состояния (t = t0 , x 0 = x(t0 )) , будущего поведения некоторого переменного вектора u(входа системы)u = (u1 , K , u m )T , m ≥ 1 ,называемого управляющим вектором (или просто управлением) u, и постоянного вектора a :a = (a1 , K , ar )T , r ≥ 0 ,называемого вектором управляющих (проектных) параметров.Вектор u принимает значение из некоторого множества U m m-мерного пространства R m с координатами u1 , u 2 , ..., u m .Это множество может быть всем пространством R m или его частью U m ⊂ R m .

U m – чаще всего компактное множествопространства R m .Множество U m называется множеством допустимых значений управления. Некоторые виды множества U m приведены на рис. 2. Постоянный вектор a обычно принадлежит некоторому замкнутому множеству A r ⊂ R r .2.3. Эволюция состояния системы.Дифференциальные уравнения движенияИзменение состояния (эволюция) системы S на временном интервале T = {t , t0 ≤ t ≤ t1} часто с хорошей степенью приближения описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:dx= f (t , x, u, a) ,(1)dtгде x = ( x1 , x2 , ..., x n )T – вектор состояния; u = (u1 , u 2 , ..., u m )T – управляющий вектор; a = (a1 , a2 , ..., a r )T – вектор проектныхпараметров.u2u2u0u2 M2u1mu1Mu2uRu10u1u2mu1m ≤ u1 ≤ u1M ; а) U 2 : u2 m ≤ u2 ≤ u2 M б) U 2 : {u12 + u 22 ≤ u R2 }u2u2uMu2u2u10uMв) U 2 : { u1 + u2 ≤ u M }u2uRu12г) U 2 : { f (u1, u2 ) ≤ 0}uRu 2 + u 22 = u R2 ; д) U 2 :  1 u1 + u 2 = u R u2u2 M2u1Mu 220u1u11u1Mu13u2 M4(u1M , u 2 M ), (u1m , u 2 M );е) U 2 : (u1M , u 2 m ), (u1M , u 2 m ) Рис.

2. Виды множества U2 допустимых управлений:а – в – замкнутые ограничения выпуклые области, содержащие начало координат; г – невыпуклая область, не содержащая начало координат; д – невыпуклые одномерные области U 12 , U 22 ; е – дискретное множество допустимых значений (1 – 4 изолированные точки)Система (1) образует существенную часть математической модели динамической системы S. В ММ, описываемой сисdxв левой части системы (1).темой ДУ, формальным признаком переменной состояния x является наличие ее производнойdtУправляющая переменная u входит только в правую часть системы (1) и не встречается под знаком производной (это формальный признак управляющей переменной).Предполагается, что вектор-функция f(t, x, u, a) определена для любых значений x ∈ X n , u ∈ U m , a ∈ A r , t ∈ T , непрерывна по совокупности переменных t, x, u, a и непрерывно дифференцируема по x, a.

Хотя гладкость является достаточножестким требованием и может быть заменена требованием измеримости и ограниченности. Так как поведение вектора u может быть произвольным (за исключением условия u ∈ U m ) и, кроме того, можно произвольно выбрать постоянный векторa ∈ Ar , то система уравнений (1) определяет управляемый процесс. Ход управляемого процесса будет определен на некотором интервале t0 ≤ t ≤ t1 , если на этом интервале вектор u задан в одной из двух форм:u = u(t ) = (u1 (t ), u 2 (t ), ..., u m (t ))T ;u = v (x, t ) = ( v1 (x, t ), v 2 (x, t ), ..., v m (x, t ))T .(2)(3)Вектор-функцию u(t) называют программным (временным) управлением, а вектор-функцию v(x, t) – координатнымуправлением или законом управления. Закон управления (3) физически выражает известный принцип обратной связи, согласно которому величина управляющего воздействия определяется на основании измерения текущего состояния системы x и,быть может, момента времени t.Каждому выбору векторов управляющих параметров a и управления u (вида (2), (3)) и каждому начальному состоянию(t 0 , x0 ) соответствует по (1) временная последовательность состояний x(t , x 0 , t 0 ) , которая называется фазовой траекторией (поведением, эволюцией, движением) системы S.

Пара вектор-функций {u(t), x(t)} или {v(x, t), x(t)} называется процессом управления или режимом.2.4. Функционал. Критерий качества управленияВеличина J [u (t )] называется функционалом функции u(t) на отрезке t0 ≤ t ≤ t1 , если каждой функции u(t), t ∈ [t 0 , t1 ] ,принадлежащейнекоторомуклассуфункций,поставленовсоответствиеопределенноечислоt( f (a), f ′( x),f (t ) и т.д.) из R.∫ f (t )dt , tmax≤t ≤t00Таким образом, функционал J[u(t)] – это отображение, в котором роль независимого переменного (функционального аргумента) играет функция u(t).