4-Введение к лаб. работам на законы сохранения (Методические разработки к лабораторным работам), страница 2

Как легко видеть из рис. 2, плечомсоставляющей F y будет величина x , а плечом составляющей F x величина y , причем x и y равны соответствующим координатам точкиA.Следовательно,M z  F y x  Fx y .(12)Здесь у второго члена стоит знак минус, потому что момент составляющейF x , как это можно видеть на рис. 2, отрицателен. Заметим, что в выражении(12) знак момента силы для правой декартовой системы координатполучается автоматически в зависимости от величин x , y , Fx и F y и ихзнаков.9МОМЕНТ ИМПУЛЬСАМомент импульса L (момент количества движения) материальнойточки относительно некоторой оси определяется аналогично моменту силыотносительно оси (см.

рис. 3). Нужно только во всех рассуждениях и во всехформулах для момента силы (8) – (12) заменить составляющие вектора силыF составляющими вектора импульса K  mv материальной точки. Проделавэто, мы получим(13)LQS  rK  sin  rmv  sin ,(14)LQS  K  l  mv  l ,(15)LQS  rK  rmv ,LQS  r , K  ,(16)(17)Lz  K y x  K x y  mv y x  mv x yQK=mVK=mVLADK=mVP 900rK= m V900lO+SРис. 3Рассмотрим теперь в качествепримера два частных случаявычисления момента импульса.1).

Найдем момент импульсаматериальной точки с массой m ,движущейся прямолинейно спостоянной скоростью v ,относительно оси,перпендикулярной направлениюдвижения точки. Проведем черезтраекторию точки плоскость,перпендикулярную оси (см. рис.4). Так как скорость точки vлежит в этой плоскости, то v   v .Согласно формуле (14) моментимпульса точки равенL  mvl ,где l - плечо – кратчайшее расстояниеот оси до линии, по которой направленасоставляющая импульса точки K   K .Из рис 4 видно, что несмотря наизменение радиуса-вектора r (r1  r 2 ) при движении точки плечоl остается постоянным. Следовательно,в этом случае момент импульса L впроцессе движения не изменяется.(18)LK=mVr2Olr1K=mVРис.

4102) Найдем момент импульса материальной точки, движущейся поокружности радиуса r с постоянной скоростью v , относительно оси,проходящей через центр окружности перпендикулярно плоскости, в которойлежит эта окружность (рис. 5). Поскольку скорость все время лежит вплоскости, перпендикулярной оси, и перпендикулярна радиусу-вектору r , тов этом случае v   v . Воспользовавшись формулой (15) , найдемL  mvr .(19)Как известно, скорость v точки, движущейся по окружности радиуса r ,связана с ее угловой скоростью  соотношением v    r . Используя этосоотношение, получимL  mr 2  J ,(20)где величина J  mr 2 носит название момента инерции материальной точки.Заметим что и в этом случаеL  const , поскольку всевеличины, входящие вLформулы (19) и (20)K = m Vпостоянны.Если угловуюOrскорость, как это принято,считать вектором  ,направленным вдоль оси,положительное направлениекоторой определяется поправилу правого буравчикаРис.

5(ручку буравчика нужновращать по направлениюдвижения точки), то формуле (20) можно придать векторный вид(21)L  mr 2   J .Вектор L направлен в ту же сторону, что и  . То же направлениеполучается и по формуле (16).УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙТОЧКИПусть материальная точка массы m движется под действием силыF . Если выбрана прямоугольная декартова система координат, в которойописывается движение точки, то момент силы и момент импульса точкиотносительно оси Z выражаются формулами (12) и (17).

Сделаем двазамечания: 1) под силой F следует подразумевать сумму всех сил,действующих на точку; 2) если желательно моменты вычислять11относительно какой-либо определенной оси, то всегда можно выбратьсистему координат так, чтобы ось Z совпадала с данной осью.Найдем уравнение, связывающее производнуюdLzdtмомента импульсаточки по времени с моментом силы M z , аналогичное 2-му закону Ньютона,который связывает производную импульсаdKи силойdtF , действующейна нее.Продифференцируем выражение (17) по времени, учитывая, что отвремени могут зависеть координаты точки и проекции ее скорости. Врезультате получитсяdv ydLzdvdxdymx  mv y m x y  mv x.dtdtdtdtdtКак известно,dv ydv xdxdy ay , ax и vx , vy ,dtdtdtdtгде a x и a y - проекции ускорения на оси координатные оси X и Y .Следовательно,dLz ma y x  ma x y .dtС другой стороны, согласно 2-му закону Ньютона, ma x  Fx и ma y  Fy .ПоэтомуdLz F y x  Fx y .dtСравнив это выражение с формулой (12), находим искомое уравнениеdLz Mz .dt(22)Поскольку, как уже говорилось, ось может быть выбрана произвольно, ана точку может действовать несколько сил, то уравнение справедливо и вболее общем виде в векторной формеdL Mi .dti(23)Таким образом, производная по времени момента импульсаматериальной точки относительно некоторой оси равна суммемоментов всех сил (относительно той же оси) , действующих наэту точку.

Уравнение (23) мы будем называть уравнением моментов дляматериальной точки.Возвращаясь к примерам, рассмотренным на стр. 10-12 , можноотметить, что в первом случае на точку не действуют никакие силы, так как12она движется прямолинейно и равномерно. При этом импульс точки остаетсяпостоянным.

Более того, если силы равны нулю, то равен нулю момент сил.Согласно уравнению (23) должна быть равна нулю и производная моментаимпульса. Следовательно, момент импульса также должен оставатьсяпостоянным в согласии с выводом, сделанным ранее.Во втором случае, когда точка движется по окружности, закон сохраненияимпульса не выполняется, так как на точку обязательно должна действоватьсила, сообщающая ей центростремительное ускорение.

Хотя скорость точкии постоянна по величине, ее направление все время меняется. Следовательно,изменяется по направлению и импульс точки. С другой стороны, сила,действующая на точку, направлена по радиусу. Плечо этой силы равнонулю. Поэтому равен нулю и момент силы. Таким образам, в данном случае всоответствии с уравнением (23) момент импульса точки остаетсяпостоянным, как это было показано выше.УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ ДЛЯ СИСТЕМЫМАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕКМоментом импульса L системы материальных точек относительнонекоторой оси мы будем называть сумму моментов импульсов относительнотой же оси всех точек,2составляющих эту систему,т.е.

L   Li , где Li f21iQf 21f 12D1f 12r1l r2 21PO 12SРис. 6момент импульса точки сномером i .Покажемпредварительно, чтомоменты внутренних силпопарно равныи противоположны. Пусть1 и 2 точки системы,взаимодействующие междусобой ( см. рис. 6). Точка 1действует на точку 2 силойf 21 , а точка 2 на точку 1– силой f 12 . Эти силы,согласно 3-му законуНьютона, равны повеличине и направлены поодной прямой впротивоположные стороны.Найдем моменты  12 и  21этих сил относительно оси13QS .

Для этого проведем плоскость P , перпендикулярную оси QS (дляпростоты рисунка плоскость P мы провели через точку 1 ). Составляющиеf 12 и fэтих сил, лежащие в плоскости P , как легко видеть, такжеравны по величине и направлены по одной прямой в противоположныестороны. Поэтому плечом l и для той и для другой составляющей будетодин и тот же перпендикуляр OD , проведенный в плоскости P от оси клинии, по которой направлены f 12 и f 21 (несмотря на то, что радиусвекторы r 1 и r 2 точек 1 и 2 не равны между собой). Таким образом,момент 12  f 12 l силы f 12 равен по величине моменту  21  f 21 l силыf 21 .

Так как f 12 и f 21 направлены противоположно, то моменты  12 и 21 вращают в разные стороны. Следовательно,  12    21 .Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек. На точку сномером i со стороны точек 1, 2, 3,…, N действуют внутренние силы,которые создают относительно некоторой заданной оси моменты сил i 1 ,  i 2 ,...,  iN .

Кроме того, на эту же точку могут действовать и внешниесилы. Пусть M i - момент суммы этих сил относительно той же оси.Напишем для каждой точки системы уравнение моментов относительноданной оси:21d L1  12   13  ...   1 N  M 1 ,dtd L2  21   23  ...   2 N  M 2 ,dt........................................................(24)........................................................d LN  N 1   N 2  ...   N , N 1  M N .dtСложим теперь эти уравнения. При сложении левых частей получимd L1 d L 2d LNddL. ...