В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина - Равномерная непрерывность функций одной переменной, страница 3

Пусть функция y = f (x ) определена и непрерывна напромежутке [a; +¥), a > 0 и её график имеет наклонную асимптоту приx  +¥ . Тогда f (x ) равномерно непрерывна на указанном промежутке.Доказательство. По условию у графика функции y = f (x ) существует наклоннаяасимптота при x  +¥ , поэтому функцию f (x ) можно представить в видеf (x ) = kx + b + a (x ) , где k и b – числа, a (x )  0 при x  +¥ .Если k = 0 , то $ lim f (x ) = b и, следовательно, функция f (x ) равномерноx +¥непрерывна на промежутке [a; +¥) в силу утверждения 4.Пусть k ¹ 0 . Зададим произвольное e > 0 . Так как a (x )  0 при x  +¥ , тоee$A = A (e) , такое что a (x ) < при x ³ A . Положим d1 =и рассмотрим любые84kx ¢ и x ¢¢ , удовлетворяющие условиям x ¢ ³ A , x ¢¢ ³ A , x ¢¢ - x ¢ < d1 .x¢x ¢¢Длятакихиимеемf (x ¢¢) - f (x ¢) = k (x ¢¢ - x ¢) + a (x ¢¢) - a (x ¢) £e eeee Итак,£ k ⋅ x ¢¢ - x ¢ + a (x ¢¢) + a (x ¢) < k ⋅ d1 + + = k ⋅+ = .8 84k4 2ef (x ¢¢) - f (x ¢) < , если x ¢ ³ A , x ¢¢ ³ A , x ¢¢ - x ¢ < d1 .(4)2На сегменте [a, A] функция f (x ) является равномерно непрерывной согласнотеореме Кантора.

Поэтому для заданного e найдется d2 > 0 , такое что9e, если x ¢, x ¢¢ Î [a, A] и x ¢¢ - x ¢ < d2 .(5)2Положим d = min (d1, d2 ) и возьмем любые x ¢ и x ¢¢ , удовлетворяющие условиямf (x ¢¢) - f (x ¢) <x ¢ £ A , x ¢¢ ³ A , x ¢¢ - x ¢ < d . Тогда, используя (4) и (5), получим (аналогично тому,как было получено неравенство (3) на основе (1) и (2)):f (x ¢¢) - f (x ¢) < e(6)Из (4), (5) и (6) следует, что "x ¢, x ¢¢ Î [a, +¥) , удовлетворяющих условиюx ¢¢ - x ¢ < d , выполняется неравенствоf (x ¢¢) - f (x ¢) < e , а это и означает, чтофункция f (x ) равномерно непрерывна на [a; +¥) .Пример13.Исследуемнаравномерную1f (x ) = 2x - 1 +на [a; +¥), a > 0 .x +1непрерывностьфункцию1 0 при x  +¥ , то у графика функцииx +1y = f (x ) существует наклонная асимптота при x  +¥ : y = 2x - 1 .

Поэтому,1согласно утверждению 9, функция f (x ) = 2x - 1 +равномерно непрерывна наx +1[a; +¥) .Решение. Так как a (x ) =Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность функцию f(x )x4=3 на(1 + x )[a; +¥), a > 0 .Утверждение 10. Пусть функция f (x ) непрерывна на всей числовой прямой ипериодична с периодом T. Тогда функция f (x ) равномерно непрерывна на всейчисловой прямой.Доказательство. По условию функция f (x ) непрерывна на всей числовой прямой.Выберем отрезок [0;2T ] . Согласно теореме Кантора функцияf (x ) являетсяравномерно непрерывной на этом отрезке. Значит, "e > 0 $d > 0 такое, что длялюбыхx ¢, x ¢¢ Î [0;2T ]из неравенстваx ¢¢ - x ¢ < dследуетf (x ¢¢) - f (x ¢) < e .Рассмотрим теперь любые две точки x ¢, x ¢¢ , связанные соотношением x ¢¢ - x ¢ < d .Возможны два варианта.1) Точки x ¢, x ¢¢ лежат в пределах одного отрезка [kT ; (k + 1)T ] , k Î  .2)Точкиx ¢, x ¢¢лежатнасоседнихотрезках:x ¢ Î [kT ; (k + 1)T ] ,x ¢¢ Î [(k + 1)T ; (k + 2)T ] , k Î  .Как в первом, так и во втором случае, x ¢ - kT , x ¢¢ - kT Î [0;2T ] , и при этом(x ¢ - kT ) - (x ¢¢ - kT ) < d ,поэтому f (x ¢) - f (x ¢¢) = f (x ¢ - kT ) - f (x ¢¢ - kT ) < e , аэто и означает, что функция f (x ) является равномерно непрерывной на всей числовойпрямой.10Пример 14.

Исследуйте на равномерную непрерывность на всей числовой прямойфункцию f (x ) = sin2 x .Решение. Функция f (x ) является непрерывной на множестве (-¥; +¥) ипериодической с периодом p , а значит, согласно утверждению 10, она равномернонепрерывна на этом множестве.Задача. Докажите, что функция f (x ) = 2 sin x - cos x является равномернонепрерывной на промежутке (-¥; +¥) .Утверждение 11.

Равномерно непрерывная на ограниченном промежуткефункция ограничена на этом промежутке.Доказательство.В случае сегмента ограниченность функции следует непосредственно изнепрерывности равномерно непрерывной функции и 1-й теоремы Вейерштрасса.Пусть теперь функция f (x ) является равномерно непрерывной на интервале (a;b ) .Тогда, согласно утверждению 2, существует непрерывная на отрезке [a;b ] функцияg (x ) , совпадающая с f (x ) на интервале (a;b ) . Согласно 1-й теореме Вейерштрасса,функция g (x ) ограничена на отрезке [a;b ] , а, значит, и на интервале (a;b ) , то естьфункция f (x ) является ограниченной на интервале (a;b ) .Замечание.

Функция, равномерно непрерывная на неограниченном промежутке,может быть неограниченной на этом промежутке (см. пример 2).Утверждение 12. Сумма и произведение двух равномерно непрерывных наограниченном промежутке функций равномерно непрерывны на этом промежутке.Докажем утверждение для произведения функций.

(Доказательство для суммыпредлагается провести самостоятельно в качестве упражнения).Пусть функции f (x ) и g (x ) равномерно непрерывны на ограниченном промежуткеX. Тогда, согласно утверждению 11, эти функции ограничены на рассматриваемомпромежутке, то есть существуют числа M 1 и M 2 , такие что f (x ) < M 1, g (x ) < M 2 ,"x Î X .

Согласно определению равномерной непрерывности, "e > 0 $d1 > 0 , такое,"x ¢, x ¢¢ Î X , удовлетворяющих условиюef (x ¢¢) - f (x ¢) <;2M 2x ¢¢ - x ¢ < d1 , верно неравенствочто$d2 > 0 , такое, что "x ¢, x ¢¢ Î X , удовлетворяющих условию x ¢¢ - x ¢ < d2 , верноeнеравенство g (x ¢¢) - g (x ¢) <.2M 1Выберем d = min (d1, d2 ) .Тогда"x ¢, x ¢¢ Î X ,удовлетворяющихусловиюf (x ¢¢) g (x ¢¢) - f (x ¢) g (x ¢) == f (x ¢¢) g (x ¢¢) - f (x ¢) g (x ¢¢) + f (x ¢) g (x ¢¢) - f (x ¢) g (x ¢) ££ ( f (x ¢¢) - f (x ¢)) g (x ¢¢) + (g (x ¢¢) - g (x ¢)) f (x ¢) ££ g (x ¢¢)eeee+ f (x ¢)< M2+ M1= e,2M 22M 12M 22M 111x ¢¢ - x ¢ < d ,получаема это и доказывает равномерную непрерывность произведения f (x ) g (x ) напромежутке X.Замечание 1.

На неограниченном множестве утверждение, аналогичноеутверждению 12 для суммы равномерно непрерывных функций, также справедливо.Замечание 2. Произведение равномерно непрерывных функций на неограниченноммножестве может не быть равномерно непрерывным. Например, произведениефункций f (x ) = x и g (x ) = x , равномерно непрерывных на (-¥; +¥) , не являетсяравномерно непрерывной функцией на этом прормежутке (см. пример 2 и пример 5).Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность функцию f (x ) = sin 2x ⋅ sin 5xна (-¥; +¥)Задачи для самостоятельного решения.1.

Для данного e > 0 найдите какое-нибудь d > 0 ,определению равномерной непрерывности функции f (x ) , еслиa.f (x ) = x 2 - 2x - 1, - 2 £ x £ 5удовлетворяющееf (x ) = n x , 0 < x < +¥ , n Î  .b.2. Докажите с помощью отрицания к определению равномерной непрерывности,что функция f (x ) = ln x не является равномерно непрерывной функцией на (0;1) .3. Докажите, что сумма и произведение конечного числа равномерно непрерывныхна интервале (a;b ) функций равномерно непрерывны на этом интервале.p4. Докажите, что функция f (x ) = sinнепрерывна и ограничена на интервалеx(0;1) , но не является равномерно непрерывной на этом интервале.5. Докажите, что неограниченная функция f (x ) = sin x + xравномернонепрерывна на (-¥; +¥) .6. Исследуйте на равномерную непрерывность функцию1 f (x ) = e x cosна (0;1) ;x f (x ) = x 2 + 1 на (-¥; +¥) ;x2на (-1; 0) и на (0; +¥) ;x +1f (x ) = x cos x на (-¥; +¥) ;f (x ) = x 2 ln xf (x ) =f (x ) = e-xна (0;1) и на [1; +¥) ;на (-¥; +¥) .x3на (-¥; +¥) .x2 + 1x2 -1на (-¥; +¥) ;f (x ) = 2x +1x2 + x -1на (-¥; +¥) ;f (x ) = 22x - x + 12e x + e -xна (-¥; +¥) ;f (x ) = xe + e -xf (x ) = x 2 cos x на [0; p ] .f (x ) =12f (x ) = x 3 + x 2 + 1f (x ) = x + ln xf (x ) = x 2 + ln xf (x ) = x ln xна (-¥; +¥) .на [1; +¥) ;на [1; +¥) ;на (0;1) и на [1; +¥) ;7.

Модулем непрерывности функции f (x ) на данном множестве называетсяфункция w f (d ) = sup f (x ) - f (y ) , где x , y - любые две точки множества, связанныеусловием x - y < d . Докажите, что для равномерной непрерывности функции f (x ) наданном множестве необходимо и достаточно, чтобы lim w f (d ) = 0 .d +0ЛИТЕРАТУРА.1. Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н.

Чубариков. Лекции по математическомуанализу. Москва, «Высшая школа», 1999.2. В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин. Математическийанализ в вопросах и задачах. Изд-во «Лань», 2008.3. Н.Я. Виленкин, К.А. Бохан, И.А. Марон, И.В. Матвеев, М.Л. Смолянский, А.Т.Цветков. Задачник по курсу математического анализа. М.: «Просвещение», 1971.4. И.А Виноградова, С.Н. Олехник, В.А, Садовничий. Задачи и упражнения поматематическому анализу.

Книга 1. М.:Высш.шк.,2002.5. Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.М.:Астрель, 2005.6. В.А. Зорич. Математический анализ. Часть I. Издание второе, исправленное идополненное. М.: ФАЗИС 19977. В.А. Ильин Э.Г.

Позняк. Основы математического анализа. Часть I. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005.8. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач поматематическому анализу. Том 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость: Учеб.пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева. – 2-е изд. Перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.9. И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г.Гай, Г.П.

Головач. Справочное пособие повысшей математике. УРСС, 2001.13.