В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина - Равномерная непрерывность функций одной переменной, страница 2

Пусть функция f (x ) равномерно непрерывна на каждом изсегментов [a; c ] и [c;b ] , где a < c < b . Тогда она равномерно непрерывна на сегменте[a;b ] .Возьмем любое число e > 0 . Поскольку функция f (x ) является равномернонепрерывной на сегменте [a; c ] , то $d1 > 0 , такое, что для любых x ¢, x ¢¢ Î [a; c ] ,удовлетворяющихнеравенствувыполняетсянеравенствоx ¢¢ - x ¢ < d1 ,ef (x ¢¢) - f (x ¢) < . Точно так же $d2 > 0 , такое, что для любых x ¢, x ¢¢ Î [c;b ] ,2удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенствоx ¢¢ - x ¢ < d2 ,ef (x ¢¢) - f (x ¢) < .2Пустьтеперьx ¢ Î [a; c ] ,c - x ¢ < d £ d1, x ¢¢ - c < d £ d1 ,откуда следует, чтоx ¢¢ Î [c;b ]иx ¢¢ - x ¢ < d = min (d1, d2 ) .Тогдаf (c ) - f (x ¢) < e 2; f (x ¢¢) - f (c ) < e 2 ,поэтомуf (x ¢¢) - f (x ¢) = f (x ¢¢) - f (c ) + f (c ) - f (x ¢) ££ f (x ¢¢) - f (c ) + f (c ) - f (x ¢) < eТаким образом, для произвольного e > 0 мы указали такое d , что если x ¢, x ¢¢ Î [a;b ]и x ¢¢ - x ¢ < d , то f (x ¢¢) - f (x ¢) < e , а это и означает что функция f (x ) равномернонепрерывна на всем сегменте [a;b ] .Замечание 1.

В утверждении3 можно заменить условие равномернойнепрерывности f (x ) на сегментах [a; c ] и [c;b ] на условие непрерывности функции наэтих сегментах.Замечание 2. Утверждение 3 справедливо и для сегментов, имеющих более однойобщей точки (перекрывающихся).Замечание 3. В формулировке утверждения 3 можно заменить один или обасегмента на полубесконечные промежутки. Так, например, утверждение 3 справедливодля объединения промежутков [b; c ] и [c; +¥) .Замечание 4.

Для объединения двух интервалов аналогичное утверждение, вообщеговоря, не имеет места.5sin xравномерно непрерывна наxинтервалах I 1 = (-1 < x < 0) и I 2 = (0 < x < 1) , но не является равномернонепрерывной на множестве I 1  I 2 , являющемся объединением этих интервалов.Пример 8. Покажем, что функция f (x ) =Решение. Заметим, что множество X = I 1  I 2 является всюду плотным, хотя точкаx = 0 и не принадлежит указанному множеству.sin xнаинтервалахxI 1 = (-1 < x < 0) и I 2 = (0 < x < 1) следует из утверждения 2 (см. пример 7), аотсутствие равномерной непрерывности функции f (x ) на множестве X можноsin xsin xусмотреть из следующих рассуждений. Поскольку lim= lim= 1, аx +0x +0xxsin xsin x= - lim= -1 , то взяв e = 1 и любое d > 0 , можно выбрать точки x ¢limx -0x0xxи x ¢¢ , лежащие по разные стороны от нуля, так что будет выполнено неравенствоx ¢¢ - x ¢ < d , а разность значений функции в этих точках будет сколь угодно близко кРавномернаянепрерывностьфункцииf (x ) =2, и, следовательно, больше e = 1 .

Это и означает, что f (x ) не является равномернонепрерывной на множестве X.Утверждение 4. Если функция f (x ) определена и непрерывна на [a; +¥) исуществует предел lim f (x ) = c , то функция f (x ) равномерно непрерывна наx +¥[a; +¥) .Доказательство. Зададим произвольное e > 0 Из условия lim f (x ) = c следует,x +¥"e > 0 $A = A (e) > 0 , такое, что "x ³ A выполняется неравенствоef (x ) - c < .

Поэтому для любых значений x ¢, x ¢¢ , удовлетворяющих условиям4x ¢ ³ A, x ¢¢ ³ A ,выполненонеравенствочтоf (x ¢¢) - f (x ¢) =e= f (x ¢¢) - c - f (x ¢) + c £ f (x ¢) - c + f (x ¢¢) - c < .2Итак,f (x ¢¢) - f (x ¢) <e, если x ¢ ³ A, x ¢¢ ³ A .2(1)На отрезке [a; A] непрерывная функция f (x ) является равномерно непрерывнойсогласно теореме Кантора.

Поэтому для заданного e найдется d > 0 , такое, чтоef (x ¢¢) - f (x ¢) < , если x ¢, x ¢¢ Î [a, A] и x ¢¢ - x ¢ < d(2)2Пусть теперь x ¢ £ A, x ¢¢ ³ A и x ¢¢ - x ¢ < d .Тогда A - x ¢ < d, x ¢¢ - A < d и, следовательно, в силу (1) и (2) получаем:e ef (x ¢¢) - f (x ¢) £ f (x ¢¢) - f (A) + f (A) - f (x ¢) < + = e . (3)2 26Из (1), (2) и (3) следует, что "x ¢, x ¢¢ Î [a, +¥) , удовлетворяющих условиюx ¢¢ - x ¢ < d , выполнено неравенство f (x ¢¢) - f (x ¢) < e , а это и означает, что функцияf (x ) равномерно непрерывна на [a, +¥) .Пример 9. Покажем, что функция f (x ) = e -x равномерно непрерывна напромежутке [0;+¥) .

Действительно, эта функция определена и непрерывна на всейчисловой оси, а также lim e -x = 0 . Следовательно, согласно утверждению 4, этаx +¥функция равномерно непрерывна на [0;+¥) .Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность функциюf (x ) = x tg1наx[1;+¥) .Утверждение 5. Если функция f (x ) определена и непрерывна на (-¥; +¥) и$ lim f (x ) = c , а также $ lim f (x ) = d , то функция f (x ) равномерноx +¥x =-¥непрерывна на (-¥; +¥) .Доказательство аналогично доказательству утверждения 4.Пример 10. Докажем, что функция f (x ) = arctg x равномерно непрерывна навсей числовой прямой.

Действительно, эта функция определена и непрерывна на всейppчисловой прямой, а также $ lim arctg x =и $ lim arctg x = - . Следовательно,x +¥x -¥22согласно утверждению 5, эта функция равномерно непрерывна на всей числовойпрямой.Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность на всей числовой прямой2функцию f (x ) = e -x .Утверждение 6.

Пусть ограниченная монотонная функция f (x ) непрерывна наинтервале (на всей числовой прямой). Тогда f (x ) равномерно непрерывна на этомпромежутке.Доказательство. Рассмотрим сначала случайинтервала. Пусть a < b и()ограниченная монотонная функция f x непрерывна на интервале (a, b ) . Тогда, в силумонотонности и ограниченности функции $ lim f (x ) = A и $ lim f (x ) = B .x b -0x a +0ìïA, x = a;ïïïx Î (a;b );Положим g (x ) = ïí f (x ),ïïïB, x = b.ïïîТогда функция g (x ) , определенная на сегменте [a;b ] , непрерывна на этом сегментеи совпадает с f (x ) на интервале (a;b ) . Согласно утверждению 2, функция f (x )равномерно непрерывна на интервале (a;b ) .Пусть теперь монотонная ограниченная непрерывная функция f (x ) задана на всейчисловой прямой (-¥; +¥) .

Тогда существуют lim f (x ) и lim f (x ) , следовательно,x -¥x +¥согласно утверждению5, функция f (x ) является равномерно непрерывной на(-¥; +¥) .7Задача. Докажите, чтонепрерывная, монотонная и ограниченная наполубесконечном промежутке функция f (x ) равномерно непрерывна на этомпромежутке.Задача. Докажите, что функция f (x ) = arccos x является равномерно непрерывнойна (-1;1) , пользуясь монотонностью функции f (x ) .Задача. Докажите, что функция f (x ) = arcsh x является равномерно непрерывнойна (-1;1) .Совет.

Учтите, что функция f (x ) = arcsh x является обратной по отношению кнепрерывной монотонной функции g (x ) = sh x , а значит, и сама является непрерывноймонотонной функцией.Утверждение 7. Если функция f (x ) определена, но не ограничена в любойпроколотой окрестности точки x 0 , то она не является равномерно непрерывнойни в какой проколотой окрестности этой точки.Доказательство. Рассмотрим произвольную проколотую окрестность точки x 0(обозначим ее w ) и возьмем e = 1 . Пусть d > 0 – произвольное число, столь малое,dчто проколотая-окрестность точки x 0 (обозначим ее wd / 2 ) содержится в w .2Очевидно, что расстояние между любыми двумя точками из wd / 2 меньше d . Выберемкакую-нибудь точку x ¢ из wd / 2 .

В силу неограниченности функции f (x ) в wd / 2найдется точка x ¢¢ , такая, чтопри этомf (x ¢¢) > f (x ¢) + 1 . Таким образом, x ¢¢ - x ¢ < d , ноf (x ¢¢) - f (x ¢) ³ f (x ¢¢) - f (x ¢) > 1 = e , что и означает отсутствиеравномерной непрерывности функции f (x ) в проколотой окрестности w .Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность функцию f (x ) = ctg x на(-1;1) .Утверждение 8. Если функция f (x ) имеет на промежутке X ограниченнуюпроизводную, то f (x ) равномерно непрерывна на этом промежутке.Доказательство:Ограниченностьпроизводнойфункцииf (x )напромежутке X означает, чтосуществует такое число M > 0 ,для которого¢()f x < M "x Î X .e.

Рассмотрим любые двеMточки x ¢, x ¢¢ Î X , удовлетворяющие условию x ¢ - x ¢¢ < d . Заметим, что для функцииЗададим произвольное число e > 0 и положим d =f (x ) на отрезке éëx ¢; x ¢¢ùû выполнены все условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдетсяe= e.такая точка x Î (x ¢; x ¢¢) , что f (x ¢¢) - f (x ¢) = f ¢ (x ) x ¢¢ - x ¢ < M ⋅ d = MMСогласно определению равномерной непрерывности функция f (x ) являетсяравномерно непрерывной на промежутке X.-1 xПример 11. Исследуем функцию f (x ) = eна равномерную непрерывность на1 -1 xинтервале (0;1) .

Производная f ¢ (x ) = 2 eограничена на интервале (0;1) ,x8поскольку она положительна, а её максимальное значение на интервале (0;1)141 -1 xдостигается в точке x = и равно 2 . Отметим, что lim 2 e= 0 . Таким образом,x0x2e4всюду на указанном интервале 0 < f ¢ (x ) £ 2 . Согласно утверждению 8, функцияe-1 x()f x =eравномерно непрерывна на интервале (0;1) .Пример 12.

Исследуем функцию f (x ) = x на равномерную непрерывность наполупрямой [0; +¥) .Решение. Сначала рассмотрим промежуток [1; +¥) . На этом промежутке функция1£ 1 . Согласноf (x ) = xимеет ограниченную производную:f ¢ (x ) =xутверждению 8 функция f (x ) = x является равномерно непрерывной напромежутке x Î [1; +¥) . Пусть теперь x Î [0;1] . На этом сегменте, функция f (x ) = xявляется равномерно непрерывной по теореме Кантора. Отсюда следует (в силуутверждения 3 и замечания 3 к утверждению 3), что функция f (x ) = x являетсяравномерно непрерывной на объединении множеств [0;1] и [1; +¥) , то есть наполупрямой [0; +¥) .Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность на (1; +¥) функциюf (x ) = ln x .Утверждение 9.