В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина - Равномерная непрерывность функций одной переменной

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. Ломоносова___________________________________________________________________ФИЗИЧЕСКИЙФАКУЛЬТЕТКАФЕДРА МАТЕМАТИКИВ.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. ШапкинаРавномерная непрерывность функций однойпеременной.Пособие для студентов I курсаМосква2010В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. ШапкинаРавномерная непрерывность функций одной переменной.Пособие предназначено для студентов 1 курса физического факультета МГУ,изучающих курс математического анализа в I семестре. В нем приведеныосновные определения и доказан ряд утверждений, касающихся свойстваравномерной непрерывности функций одной переменной.

Все утвержденияпроиллюстрированы примерами решения задач, а также приведены задачидля самостоятельного решения.Материал соответствует курсу лекций по математическому анализу, которыйчитается в 1-3 семестрах физического факультета.Определение. Числовое множество X называется всюду плотным, если любаяокрестность каждой точки множества, содержит точки множества X, отличные от этойточки.Отметим, что любой промежуток является всюду плотным множеством.Рассмотримфункцию f (x ) ,определенную на некотором всюду плотноммножестве X.Определение. Функция f (x ) называется равномерно непрерывной на множестве X,если "e > 0 $d > 0 , такое что "x ¢, x ¢¢ Î X , удовлетворяющих условию x ¢¢ - x ¢ < d ,выполняется неравенство f (x ¢¢) - f (x ¢) < e .Замечание 1.

Равномерная непрерывность – это свойство функции, рассматриваемоена множестве точек, а не в отдельных точках.Замечание 2. Если в определении равномерной непрерывности зафиксировать точкуx ¢ , то получится определение непрерывности функции f (x ) в точке x ¢ . Такимобразом, из равномерной непрерывности функции f (x ) на множестве X следует еёнепрерывность в каждой точке этого множества.Замечание 3.

Из непрерывности функции f (x ) на множестве X не следует еёравномерная непрерывность на этом множестве. Примеры будут рассмотрены ниже.Геометрическая интерпретация равномерной непрерывности функции.Еслифункцияy = f (x )равномерно непрерывна на X, то"e > 0 $d ( e) > 0 ,такое,чтоyпрямоугольник со сторонами d (e)и ε, параллельными осям Ox иOy , можно так переместить вдольграфика этой функции, сохраняяпараллельностьстороносям  xкоординат, что график не будетпересекатьсторонпрямоугольника, параллельных оси Ox , а будет пересекать лишь стороны,параллельные оси Oy .Рассмотрим несколько примеров, где равномерная непрерывность функцииустанавливается на основе определения.Пример 1.

Цех завода вырабатывает квадратные пластинки, стороны которых могутпринимать значения в пределах от 1 до 10 см. С каким допуском можно обрабатыватьстороны этих пластинок, чтобы независимо от их длины (в указанных границах)площадь их отличалась от проектной меньше, чем на 0.01см2?Решение.

Допуском называется величина предельно допустимого отклоненияразмеров детали от нормы. Обозначим допуск буквой d (см) и рассмотрим площадьпластинки S(см2) как функцию длины l стороны пластинки: S (l ) = l 2 , l Î [1;10] . Нашацель – по заданному e = 0.01 подобрать d , такое, чтобы "l1, l2 Î [1;10] , таких чтоy  f x l1 - l2 < d выполнялось неравенство S (l1 ) - S (l2 ) < e .Так какS (l1 ) - S (l2 ) = l12 - l22 = l1 - l2 ⋅ l1 + l2 < 20dl1 - l2 < d , то неравенствоS (l1 ) - S (l2 ) < 0, 01d = 0.0005 (см).1при условии, чтобудет выполнено, если взятьПример 2. Функция y = x является равномерно непрерывной на всей числовойпрямой, поскольку взяв любое значение e > 0 и положив d = e , получим, что"x ¢, x ¢¢ Î  из неравенства x ¢¢ - x ¢ < d следует y(x ¢¢) - y(x ¢) = x ¢¢ - x ¢ < e = d .Задача.

Докажите с помощью определения, что функция f (x ) = sin x равномернонепрерывна на (-¥, +¥) .1Пример 3. Покажем, что функция y =является равномерно непрерывной наxполупрямой x ³ 1 . Возьмем любое e > 0 и подберем для него значение d (e) , такое,чтобы "x ¢, x ¢¢ Î [1; +¥) , удовлетворяющих неравенству x ¢¢ - x ¢ < d , выполнялосьx ¢¢ - x ¢11x ¢¢ - x ¢=<, то приx ¢ x ¢¢x ¢ ⋅ x ¢¢1⋅111x ¢¢ - x ¢ < d для выполнения неравенства< e достаточно взять d = e .x ¢ x ¢¢Задача. Докажите с помощью определения, что функция f (x ) = e x равномернонепрерывна на (0,1) .1Выше было показано, что функция y =является равномерно непрерывной наx1полупрямой [1;+¥) .

Однако, функция y =не является равномерно непрерывной наxинтервале (0;1) . Для того, чтобы доказать это, построим отрицание к определениюравномерной непрерывности.неравенство11< e.x ¢ x ¢¢ПосколькуФункция f (x ) не является равномерно непрерывной на промежутке X, если$e > 0 , такое, что для любого сколь угодно малого положительного числа δ найдутсяточки x ¢, x ¢¢ Î X такие, что x ¢¢ - x ¢ < d , но f (x ¢¢) - f (x ¢) ³ e .1при x Î (0;1) .

Воспользуемся отрицаниемxк определению равномерной непрерывности.Возьмем e = 1 и любое d Î (0;1) . Подберем такие значения x ¢, x ¢¢ Î (0;1) , чтобы11выполнялись неравенства x ¢¢ - x ¢ < d и> e.x ¢ x ¢¢dx ¢ = d < 1, x ¢¢ =.Тогдаx ¢, x ¢¢ Î (0;1) ,Дляэтогоположимd +1d2111 d +11x ¢¢ - x ¢ =< d , при этом= = > 1 = e . Таким образом,x ¢ x ¢¢ddd(d + 1)1функция y = не является равномерно непрерывной на интервале x Î (0;1) .xПример 4.

Рассмотрим функцию y =Пример 5. Покажем, что функция y = x 2 не является равномерно непрерывной навсей числовой прямой. Возьмем e = 1 и любое положительное число δ. Положим211 ddx ¢ = , x ¢¢ = + . Тогда x ¢¢ - x ¢ = < d , аdd 2222221 æ1 d öd(x ¢¢) - (x ¢) = 2 - ççè + ÷÷÷ø = 1 + > 1 = e .dd 24Это и означает, что функция y = x 2 не является равномерно непрерывной на всейчисловой прямой.Задача.

Докажите с помощью отрицания к определению равномерной1не является равномерно непрерывнойнепрерывности, что функция f (x ) = sinxфункцией на (0;1) .Пример 6. Докажем с помощью отрицания копределению равномернойнепрерывности, что функция f (x ) = x sin x не является равномерно непрерывнойфункцией на (-¥; +¥) .1Решение.Возьмемилюбоеd > 0.Положимe=21Тогда при достаточно большом n имеем:x ¢ = 2pn, x ¢¢ = 2pn +, n Î ,2pnf (x ¢¢) - f (x ¢) = x ¢¢ sin x ¢¢ - x ¢ sin x ¢ =æ1 ÷ö æ1 ö÷= çç2pn +sin çç2pn +÷÷ - 2pn sin (2pn ) =è2pn ø è2pn ø1x ¢¢ - x ¢ =<d, ææ 1 ö÷æ 1 ö÷1 ö÷ æ 1 ö÷12pn= çç2pn += 2pn sin çç+>sin ççsin çç÷÷÷èè 2pn ø 2pnè 2pn ø÷2pn ø è 2pn øæ 1 ö÷ 1> 2pn sin çç> =eè 2pn ø÷ 2112pn = 1 , откудаЗдесь мы воспользовались тем, что lim (2pn ) sin= lim1n ¥n¥2pn2pn11следует, что при достаточно большом n справедливо неравенство 2pn sin> .2pn 2Полученные неравенства доказывают, что функция f (x ) = x sin x не являетсяравномерно непрерывной функцией на (-¥; +¥) .Исследование равномерной непрерывности с помощью определения бываетдостаточно трудоемким, поэтому далее будут сформулированы достаточные, а внекоторых случаях и необходимые, условия равномерной непрерывности функции.Утверждение 1.

(Теорема Кантора).sinНепрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте.Доказательство. Пусть f (x ) непрерывна на [a;b ] . Предположим, что f (x ) не являетсяравномерно непрерывной на [a;b ] . Тогда $e > 0 , такое что "d > 0 $ x ¢, x ¢¢ Î [a;b ] , длякоторых x ¢¢ - x ¢ < d , но f (x ¢¢) - f (x ¢) ³ e .Возьмем последовательность {dn }  0, dn > 0 (например, dn =31).nСогласно нашему предположению, "dn $ x n¢ , x n¢¢ Î [a;b ] , для которых x n¢¢ - x n¢ < dn , ноf (x n¢¢) - f (x n¢ ) ³ e .Рассмотрим последовательность{x n¢ } .Она ограничена, и поэтому по теореме{x n¢ } ,Больцано-Вейерштрасса из неё можно выделить подпоследовательностьkсходящуюся к некоторой точке с Î [a, b ] . В силу того, что x n¢¢ - x n¢ < dn и dn  0 ,имеем: x n¢¢k  c при nk  ¥ .

По условию f (x ) непрерывна в точке с, поэтомуf (x n¢k )  f (c ) , f (x n¢¢k )  f (c ) при nk  ¥ , и, значит, lim f (x n¢¢k ) - f (x n¢k ) = 0 .nk ¥С другой стороны, в силу неравенстваf (x n¢¢) - f (x n¢ ) ³ eполучаем, чтоf (x n¢¢k ) - f (x n¢k ) ³ e , откуда следует, что lim f (x n¢¢k ) - f (x n¢k ) ³ e > 0 . Полученноеnk ¥противоречие доказывает теорему.Очевидно, что с помощью этой теоремы вопрос о равномерной непрерывностифункции на сегменте сводится к вопросу о непрерывности функции на этом сегменте.Утверждение 2. (О связи равномерной непрерывности функции на интервале ина отрезке).

Функция f (x ) равномерно непрерывна на интервале (a;b ) тогда итолько тогда, когда существует непрерывная на сегменте [a;b ] функция g (x ) ,совпадающая с f (x ) на интервале (a;b ) .Доказательство:Достаточность. Пусть существует функция g (x ) , непрерывная на [a;b ] исовпадающая с функцией f (x ) на интервале (a;b ) . По теореме Кантора g (x ) являетсяравномерно непрерывной на сегменте [a;b ] , а, значит, и на интервале (a;b ) , чтоследует непосредственно из определения равномерной непрерывности. А посколькуфункция g (x ) совпадает на (a;b ) с f (x ) , то f (x ) равномерно непрерывна на (a;b ) .Необходимость. Пусть a < b и функция f (x ) равномерно непрерывна на интервале(a;b ) . Покажем, что при этих условиях существует lim f (x ) .

Возьмем произвольноеx a +0e > 0.Поопределениюравномернойнепрерывности$d > 0 ,такоечто"x ¢, x ¢¢ Î (a;b ) , удовлетворяющих условию x ¢ - x ¢¢ < d , выполняется неравенствоf (x ¢) - f (x ¢¢) < e . Выберем точки x ¢, x ¢¢ таким образом, чтобы 0 < x ¢ - a < d ;0 < x ¢¢ - a < d .Очевидно,чтовэтомслучаеf (x ¢) - f (x ¢¢) < e . Таким образом, функция f (x )x ¢ - x ¢¢ < d,и,удовлетворяет условию Коши вточке x = a справа.

Значит, $ lim f (x ) [см. Ильин Позняк I часть,x a +0значит,гл.8, § 1].Обозначим этот предел буквой A . Точно так же можно показать, что $ lim f (x ) = B .x b -0ìïA, x = a;ïïïx Î (a;b ); Функция g(x ) определена на сегментеВведем функцию g (x ) = ïí f (x ),ïïïB, x = b.ïïî[a;b ] , непрерывна на этом сегменте и совпадает с функцией f (x ) на интервале (a, b ) .Утверждение доказано.4sin xнаxинтервале (0;1) . Поскольку на отрезке [0;1] существует непрерывная функцияsin xìïï, x ¹0ï, которая совпадает с f (x ) на интервале (0;1) , то, согласноg (x ) = í xïï1,=0xïîутверждению 2, функция f (x ) является равномерно непрерывной на интервале (0;1) .Пример 7. Исследуем на равномерную непрерывность функцию f (x ) =Задача. Исследуйте на равномерную непрерывность функцию f (x ) = e-1 xна (0;1) .Утверждение 3.