А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1, страница 13

уравнений рассмотрен в леммеСледствие3.6.6.О3.6.4.Система линейных уравненнй несовместна то­гда и только тогда, когда в её стулемчатом виде найдётся «экзотиче­ское» УРCJвнение.Теорема3.6.7(критерий определённости системы линейныхуравнений по её ступенчатому виду). Система линейных уравне­ний является определённой тогда 11 только тогда, когда в её ступен­чатом виде:а) нет «экзотических'> уравнений (критерий совместности);б).,. ='/1(т.

е. все неизвестные главные, другим словамиствуют свободные неизвестные).-отсут­100Глава3.Счсгены линейных уравненийДоказательство.1)При условии совместности, если т< n,т. е. имеется хотя быодно свободное нсизвестное. то ему можно придать как минимум дваразличных значения из поля К. После дополнения значений свобод­ныхперсменныхтемыIXI>2)мы1,значениямиполучаемзаведомоглавныхдвапеременныхразличныхдорешениярешениясистемы,сис­т.е.система является неопределённой.Если же 11рИ условии совместности т = 'п, т, е. нет свободныхнеизвесгн ых. ТО главные неизвестные определяются в методе Гауссаоднозначно (через свободные члены системы), таким образом, систе­ма линейных уравнений является определённой.Упражнение3.6.8.DПроцесс при ведения к ступенчатому видуможно продолжить на расширенную матрицу системыкажите,(a.ijlbi).По­что система совместна тогда и только тогда, когда ступенча­тый вид расширенной матрицы системы(aijlb.i.)содержит столько жененулевых строк, сколько и ступенчатый вид матрицы(ajj)(все ли­деры строк ступенчатого вида расширенной матрицы находятся средистолбцов матрицы коэффициентов (aij)).Замечание3.6.9.Любая ненулевая матрица А Емощью элементарных преобразований строкможет быть привелена1(I-ro,Mm.,n(I<) спо­2-го и 3-го типаглавному ступенчатому виду.

Действитель­но, вначале приведем матрицу А к ступенчатому виду. С помощьюэлементарных преобразований 3-го типа сделаем все лидеры нену­левых строк 0.111' (J,2l2"") (17'1", 1 ~II< l2 << l1"~ 'Н, равнымиединице. После этого, применяя элементарные преобразования строкг-го типа, добьёмся того, что в lt-М столбце единственный неиулевойэлемент-это (t,-I,.=1,затеманалогично добьёмся сиспользова­нием элементарных преобразований строк [-го типа того, что един­ственный неиулевой элемент в [1·_с1'1 столбцев 11-'1 столбце -это (111,-это 0,.,.-1,1',-'_1 =1,.= 1 (эта процедура часто называется обрат­ным ходом метода Гаусса).

Таким образом, мы привели матрицу Ак главному ступенчатому виду. Позже (см.9.5.1)будет доказано, чтоглавный ступенчатый вил. матрицы определён однозначно.Если совместная система линейных уравнений(8частности, од­нородная система) привецена к главному ступенчатому виду.

то мы3.7.сразу (без последовательнойнийвпредыдущиеподсгановкиуравнения)главныхнеизвестныхглавногоступенчатого видаи101Некоторые следствия из метода Гауссауже полученныхполучаемчерез свободные:единственноеl-е уравнениевыраже­выражение(1 :( 1 :(г)имеет видпоэтому(3.3)8=j/+l8=/=j/+1,···,j,-(для однородной системы (,l = О), В правой части присутствуют лишьсвободные переменные. Таким образом, главный ступенчатый вид од­нородной системы ровносилен (с заменой знака) выражению главныхнеизвестных через свободные (по этому ступенчатому виду).В частном случае, при т= п, главный ступенчатый вид опреде­лённой системы линейных уравнений имеет формуо{,1ь:ООгде (bJ J .

. Ь n )13.7.-единственное решение.Некоторые следствия из метода ГауссаСледствие 3.7.1. Над полем действительных чисел К =lR:(и надлюбым бесконечным полем) число решений системы линейных урав­нений может быть равно О (несовместнан система),1(опредеЛёинаясистема) и 00 (неопредеЛёниая система).Замечание3.7.2.ментов система 1:1Над конечным полем+ .(;2 =1:2 = {O,l}О имеет ровно два решения.из двух эле­102ГлаваСледствие1)nСистемы линейных уравнений(квадратные системы линейных уравнений).3.7.3Пусть т =3.(т. е.

число уравнений равно числу неизвестных).Тогд.а следующие условия эквивалентны:а)система определённая (т. е. имеет единственное решение);о)./. = п В ступенчатом виде (т. е. нет свободных неиэвест­ных);В)соответствующая однородная система имеет только однорешение (О,... , О).2) Альтернатива Фредгольма: при т = n либо система линейныхуравнений определённая, либо соответствующая ей однороднаясистемаимеет ненулевое решение.доказательство.1)Если в ступенчатом видеполучаемl'r = n, то, учитывая, что m.

= п,= n = т.. Следовательно, нет «экзотических» уравнений,и поэтому система совместна. Из критерия определённости с этимзамечанием получаем. что утверждения а) и б) эквивалентны (и дляоднородной системы эквивалентны утверждения б) и в)),2)С учётом1) альтернативаФредгольма соответствует дляследуюшеи альтернативе: либо т3.8.=п, либо')' <'/' :о:; nп,ОПримеры применения метода Гаусса1)"'1,1:1 { ;1:1 -(),,'22-22Х2 + Х3 + Х4 = 1.2";2 + "'3 - Ч = -1.2:1.'2+ ХЗ + 5Х4=5.-~ I-~)[)5~eО-21ОООО-~I-~) (~44-21ОООО-~ I_~)() I о1033.8. При меры применения метода Гауссав ступенчатом виде нет «экзотических» уравнений, следовательно,система совместна.вестные -Главные неизвестныеХ2, 1::з.

Если .Т2= 0.,=Хз-Xl,Ь, то ~'41,=:С4, свободные неиз­Х]1= + 20. - Ь -= 20. - Ь. Таким образом, множество решений имеет видх =Ь,а,Ь,{(20 -1)1=I а,Ь Е IR}.2)+ Х2 + :Ез0,г, 1{ ОХ1 + Х2(0 111)-1 О1 1I 1)(ОО--;= 1,Хз = О.-О-2 -1Система совместна, главные неизвестныевестная-Xj.=Ясно, что Х21= "2'Хз.- Х2, хз, свободная неиз­Если Х]=а, то множестворешений имеет вид3){(~1О-1+ Х2 - 8хз =+ ОХ2 + Хз =ОХ 1Х]'Т[-Х2+0 хз=0.-81-17)1 10 --; (1О-17,10,О11-1-~О 110)-81110)-17 --; (1 1-8-17-1 -10-27О--;01110)-1; --;ОО1О1-1ОО-9Система совмес.тна (нет «э кэотических уравнсний»).

все неизвестные;[·1, :1:2, .тзглавные, ;I·;З= 3,12= 7,(7,7,3).имеет единственное решение:1;1= 7.4){Х!+ 2Х23хз = -2,= 7,5,г j + 3:1:2 - 4;J'з = 2.3.т[-Г2-+ 2.Т;jСистема определённая,104Глава(~53.Системы линейных уравнений-~3Возникло «экзотическое уравнение». Значит, система несовместна.Глава4Линейное пространствострок над полемСистематическоерассмотрениестроки+(a.-i.l1.") a.;nJ Е К" i-ro уравнения an:1~lстрокаматрицыкоэффициентов+ йin.Xn =Ь.;(i-яА(Uij) коэффициентов системы линейныхуравнений), строки (ан, ... , G.ino Ь.;) Е кnН всех коэффициентов;-го уравнения (включая свободный член Ь; i-й строки расширеннойматрицы А=((1:1, ...уравнений,изполя=,0::11.)сКоперациямиестественнопространстваПустьК(a;j, Ь;) системы линейных уравнений), строки nЕ х ~ К.", являющейсн-сложенияподвело=решением системы линейныхинасумножениякнаопределениюэлементылинейногострок кл.поле (например, К =поле действительных чи­IR'.

-сел). РассмотримК " = {(Х[,.... С>n)I С>;Е К}-совокупность всех упорядоченных строк О: = (U'1'элементов О:;., i =., й , ,) длиныследующие операции.1)n1' .... п, поля К, На множестве К." определеныСложение строк (бинарная операция): если:'-1/1)Етоо:+ (] =(01 + ,.'31," . О:n1+ /3/1)'1(/1106Глава 4.Линейное пространство строк над полем2) для каждого элемента .\ Е К (унарная) операция УМilоже'LUестрок "а элемент .\ Е К: еслиО' = (О']",,0',,),то.\0'4.1.(О'=(.\O'J",".\а,,),Свойства операций(1,1) АссоциаmиВilость+ ,6) + I = О' + (,6 + 1)'сложения строк: если СУ,(3, IЕ К", тоДействительно, на i-M месте в (О' +,6) + "( и в О' + (,6 + 1) имеем(ai+,6i)+Ii = а" + (,6i+"(i) (ассоциативность сложения в поле К), О(1,2) Коммитативность сложения строк: если а,(3 Е К", тоа+13 =13+0',Действительно, на i-M месте вa+(iи вимеем(i+aa;+(ii = (i;+<>i(коммутагивность сложения в поле К),(1,3)ОНулевая строка (О"", О) в К" является нейтральным эле­ментом для операциисложенияв К",поскольку (0'11 _") О'n)++ (0"..

,0) = (<>J, .. ',O',,) для любой строки (0'], .. 0'",) Е КNО(1.4) Для любой строки (" Е К" существует противоположнаястрока О такая, что О'+О =Действительно, если О'(=(-l)а) имеем О'Таким+0 =образом,(О,, , . ,О),(aJ, , ' , . а",), то для О=(О,=(-0'1, , .. , -0'".)о.. ,0),свойства(1.1)-(1.4)означают, чтомножествострок К" с операцией сложения строк является коммутативнойгруппой,(2,1)Если1 Е К,Действительно,(> Е К", тодля1· о = й,о:(Пl,...

1 О'n)имеем= (10'], ... ,10',,) = (0]" .. ,0,,) = о,о'О(2,2) Если .\],.\2 Е К, О' = ("1,.", СУ,,) Е К", то .\](.\20')= (.\].\2)0<.Действительно, для с> = ("1."а,,) Е К" на ;-м месте в .\](.\20)И В (.\J.\2)" имеем .\](.\20'i) = (.\J.\Jo; (ассоциативность умножениявпмеК),(3,1).\(0+ 13)ОЕсли Х Е К, о' == л<>+ '\3'(oJ .. "(х,,.),(1=(в 1 ",(1,,) Е К", то4.1.107Свойства операцийДействительно,Ч".,+ (J.,)= ),0'.,(32) Если= Лl"на ',-м месте в+ ),р.,),("),1,),2 Е К, о =+ Л2".+ Л2)0'.,= ),10'"Определениеи в+ ,\()),,,+ ),2(>'4.1.1.+ '\'2)0'И В /\10'),2)" =+ /\2й(дистрибутивностьв поле К).МножествоVимеемD("1"", "л) Е К", то ()" +Действительно, на 'l-M месте в ('\'1(Л1+,6)(дистрибутивность в поле К).имеемDс операцией сложения и опе­рациями умножения на элементы л ПОЛЯ К, удовлетворяющее свой­ствам(1.1)-(14), (2.1), (2.2), (3.1), (32),называется линейным про­странстеом "ад полем К.Итогом наших проверок являетсяТеорема 4.1.2. Множество К" строи длиныnэлементов поля Кс операцией сложения и с операциями умножения на элементы лполя К является линейным пространством над полем К.Определение4.1.3.ЕслиТО совокупность всех линейных комбинаций строк 0'1) ...

,йт("1, ... ,"т) ={fл.,(.t .., I Л., Е К} С;; К ",/,=1называется линейной оболочкой строкЛемма(Щ,...4.1.4.Если (}~11Е. . . ; (}1n((1)·.)1(11,.тоа: m..линейнаяоболочка,О'т) является лнпейнын ПРОС1ранством (подпространствомв линейном пространстве строк Кл').Доказательство. Для Л.,, '(., Е К имеем:Lл"Ct.,+ L~(iЩ,:=1=0=L(),.,+i')"iЕ ("1,."т);i=1'/:=1LO' о, Е(0'1'"',О'т);i=1-(fл.iО'') = L(~),i)(.ti Е (ОI, .. ,О'т)./,=1'i=lDГ.!J(/НЯ 4,1084.2.Лl1нснное пространство строк над полемСвязь решений несднородной системылинейных уравнений с решениямисоответствующейоднородной системыПустьг.+ ..

+ o.luJ'n= fJ 1 ;+ ... + (I.m://.:1:n(J"ml:J:l= Ь т,(вообще говоря, неоднородная) совместная система линейных урав­нений с множеством решений Х{<;;!СП,а l1 Е l + " ' + al~E,:~o:(J,mlXl+ ... + аnИJ,Х н_= Осоответствующая ей однородная система линейных уравнений с мно­жеством решений Хал"ТеоремаЕ Х одн •11. =к».<;;4.2.1. Пусть Л Е К, ,., = ("'1,"" "'n),(! = ((31, ... , (3n) Е(иl1" .,'иn),'и = ('иl" _ .,'и н ) Е х. Тогда:1) если ",(3 Е Х одн , то" + (3 Е Х од н ,2)еслн О' Е ,/Уодн, ТО3)если о' Е .Х ою ! !4)если '11.,'/1 Е )(, ТО 'р)..0:'/1.