А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1, страница 12

(i) = (i)' -с(А)== (i)' - c(k)'.2)Если it k(i)'то и)=(А)'.(k)= (i)',О3.4.93Элементарные прсобрезоьгнняЗамечание3.4.5.Утверждение верно и с включением в числоэлементарных преобразований элементарного преобразования 3-готипа. Если 0'1 с Е К и (i)'Теорема3.4.6.то 0'1 с 1 Е К и (i)= c(i),=C1(i)'.После последовательного применения конечногочисла элементарных прео6разований 1-го или 2-го типа к системелинейных уравнений получается система линейных уравнений, экви­валентная первонэчэльноЙ.доказательство.

Заметим, что достаточно рассмотреть случайперехода от системы1к системе11при помощи одного элементар­ного преобразования и доказать для множеств решений включениеХ[<:;:ХН (поскольку в силу доказанного предложения от системыможно вернуться к системеХН111и поэтому будем иметь включение<:;: X J , т. е. будет доказано равенство Х! = Хн).Случай 1, элементарное преобразование 1-[0 знпг:(-i)' = (i)+c(k),k. Пусть 1 = (11, ...

, ln) Е Х[ - решение первой системы. Прове­рим, что оно удовлетворяет новому i-My уравнению:ii="(а...~1-] + са;,.·)1·) ) = Ь·'1. + cbk.,j=1Действительно,n2:=(0.;) + r:G.kj)l) =2:= a.;)lj + с 2:= а.;)) = Ь; + cbj=1j=1k·.1=1Случай 2, элементарное преобразование 2-[0 типа:(Ас)' =(i), i '1 Ас. Утверждение очевидно.Замечание3.4.7.(11, .... 1,,)(k),ОУтверждение верно и для элементарного пр е­образования 3-го типа:решение(i)'(i)'=2:=с,! О. Действительно.

подставляяc(-i).Е Х[ в новоеi-e уравнениеХ) = clJi, .CQ.·i-i.1=1получаем= cb'i,.оГлава 3. Снстемы линейных уравнений94Приведение системы линейных уравнений3.5.с помощью элементарных преобразованийк ступенчатому видуОпределение 3.5.1 (определение ступенчатой матрицы (систе­мы)). Под ступенчатой системой линейных уравнений понимаетсясистема линейных уравнений со ступенчатой матрицей коэффици­ентов, т. е.:1)все нулевые строки находятся в маТРИllе ниже ненулевых строк;2) если (О, ... ,О, a'ik,' .. ,a'in)' a·;.kiО- первый ненулевой элементa,·s = О дляв -i-и строке (называемый лидером '/-й строки).

товсех i<мест (т,цахrS),~ т"1 :(:.'3 ~k (элементы0,"'5=расположенных в строчках, ниже i-й,s = 1,2, ... , k).О для всехи в столб­Другими словами, лидер строки с большимномером стоит строго правее.Определение3.5.2.Ненулевая матрица АЕМт.n(К) имеетглавный ступенчатый ВИД, если матрица А имеет ступенчатый вид,все лидеры ненулевых строк 0.111,0.21."равны1и для каждого.i, 1,,;единственный иенулевой элементПримеры3.5.3..i (-... , О"",.(1 ,,; /1< ... < 1,. ,,;n)л, в !гм столбце матрицы Аэто (J,jl.? =1.Матрицаимеет ступенчатый вид (выделены лидеры строк), но не главный сту­пенчатый вид.Матрица1ООимеет главный ступенчатый вид.Нулевая матрица имеет ступенчатый вид3.5.95Приведеl-mе системы к ступенчатому ВИДУМатрица(О О О)1ООО11не является ступенчатой (нулевая строка находится выше иенулевыхстрок).Матрицы1) (1 1 1)(О1 1 О0001,0001О1 О ООО О1не являются ступенчатыми (лидер третьей строки находится не стро­го правее, чем лидер второй строки).Замечание3.5.4.Свойство быть ступенчатой матрицей алгорит­мически (с помощью компьютера) распознаваемо.Лемма(ч-3.5.5.Пусть алидер строки а,=(0,1,0,2"",а n), (3=-лидер строки(Ь"Ь 2 , ...

, Ь n ) Е К";(3, k ~ 1. Ст.о· + (3 = (С1"", Сп), С; = а; + Ь" 1 ~ i ~ n. Тогда:bl-лидер строки1) k ~ m;2)еслиk <т., ТОk = 1.Доказательство.1)Так кака = (О,(3 = (О,, О, ak,.·" а n ) ,,О, bl , ... ,Ь n ) ,а."Ь,"f О,"f о,k ~ 1. тоа+ (3 =(О,. ., О, а"и поэтому k ~ тn (если Ь!2)Пустьk< т..СУ+ ,6 =Если+ bk , ...

,о." + Ь".).= -ak, то а" + /'/ = О,k < 1, то ЬА, = О,(О, . . , О, ak,.··· а nи поэтому k = т, что противоречит kИтак,k = 1.<+ Ьn ) .И тогда kщ,< rn)."f О.т..О96ГлаваСледствие3.5.6.ПустьСнсгеыы линейных уравнений3.01,(31, ... ,(3·",Е К",01 =«("" ...

,0.,,),т(3.,=(/)'1, ... ,/)''')'1 :(; -i :(; т., и= L AjJj •А) Е К, u.k-лидерj=lстроки СУ,/)"Теорема-лидер строки О,. Тогда k3.5.7?шiп{!;}.О(алгоритм Гаусса). Всякую систему линейныхуравнений конечным числом элементарных преобразований }-го и2-го ТИПОВ можно привести J( ступенчатому виду (Т. е. к системелинейных уравнений, матрица коЭффициентов которой является сту­пенчатой матрнцеЙ).Докаеательство. Можно считать, что не все коэффициенты Щjравны нулю и, более того, что при хl (т. е.

в первом столбце матрицыкоэффициентов) есть иенулевой элемент o.jl'1 О(в противном случаеможно перейти к системе от переменных ;"2, ... ,х,,). Если 0.11 = О,то, переставляя l-е иj-eуравнения (строки расширенной матрицы)(т. е. совершая иреобразование 2-го типа), приходим к случаю, когдаn\1 '10.Для-i = 2, З, ... ,rn последовательно проведём преобразованияг-го типа(i)' = и) -- оп (1)all(здесь с = - ~), Тогда(/.11Рассматривая I1UJlучившиеся 2-е) ... 1 'l'h-е уравн~ния, еол и с.редикоэффициентов есть неиулевые (пустьлевым элементом a;k среди "~k"k - первый столбец с не ну­,a;"k)' повторим нашу процедуру:переставим второе уравнение (строку) с l-м уравнением (строкой) иобеспечим нули ниже коэффициента o.~k'Этот процесс остановится в том случае, когда все коэффициентыпрн переменных в оставшихся уравнениях равны нулю.Итак, окончательная получившаяся система линейных уравненийбудет иметь ступенчатый вид (т.

е. матрица коэффициентов при пе­ременных :1:1: ,"2." ;);" будет иметь ступенчатый вид).3.6.97Исследование ступенчатых систем линейных ураПIlСlJиflall Xl+0;/:1++.++.+.+ a2kXk + .+++ ... +.0"1+ ... + ..++ ... +.+ ..+ ... +.+ ...Замечания1)= h'Г+l'+D3.5.8.Важный инвариантс+ .. + 0:1:'/1ненулевыми«ступенек,>,r-число т уравнений в ступенчатом видекоэффициентами припеременных, т.~ т. Возможен случай т=е. числот (т.

е. блок уравне­ний с нулевыми коэффициентами при Xl,"" Х" отсутствует).Независимость числа r от способа приведения к ступенчатомувиду будет установлена позже (это-ранг матрицы коэффици­ентов).2)Можно было бы продолжить процесс приведения к ступенчато­му виду для расширенной матрицы системы линейных уравне­ний.Следствие3.5.9.Всякая система линейных уравнений эквива­лентна некоторой ступенчатой системе линейных уравнений.Следствие 3.5.10.

Каждую матрицу элементарнымипреобразова­ниями строк }-го и3.6.2-1'0 типаможчо привести к ступенчатому виду.Исследование ступенчатых системлинейных уравненийЛемма3.6.1.Однородная система линейных уравнений всегдасовместна.Доказательство.(О,... , О)Е К".Решением системы является нулевая СТРОЧI\3D98ГлаваЛемма3.Системы линейных уравненийЕсли система линейных уравнений содержит урав­3.6.2.нение0";1 +.+ О","= Ь "f О(назовём его «экзолнческнм» уравнением). то система несовместна.Доказательство.оь.ч.Д~ЯлюбойстрочкиЕ(k 1 •...

, k")К"О+O·kn=O"fb.ЗамечаниеЕсли матрица коэффициентов системы линей­3.6.3.ных уравнений нулевая (т. е. все коэффициенты равны нулю), то еёсовместность равносильна тому, что все свободные члены нулевые(при этом Х = к n ) .ОПо иенулевой ступенчатой матрице переменные Х1,.'" Х" разо­бьём на две группы: главные :l:il' J;i21·уголки ступенек (их.,._ 1 a;'i'r'штук), и свободныепеременных (их может и не быть совсем приЛемма3.6.4.«проходящие.все остальные-'г.,.

= n).Если в ступенчатой системе линейных уравненийнет «экзогнческнх» уравнений (т. е. если 'Г =Ь,.+\черезn -= ... = Ь"" = О),тn. или 'г<тn ито для любого набора значений для свобод­ных неизвестных существует (и единственный) набор значений дляглавных ненэнесгнык и эти наборы дают в СОВОКУПНОСТИ решениесистемы лннейных уравненнЙ.Доказательство. Так как значения для свободных неизвестныхзаданы,то,уравненияженных(см.рассматривая т-ечленыправееуравнениесо значениямиместа(г,t.)ипереносясвободных(еслионивправуюнеизвестных,есть),получаемчастьрасполо­уравнение(3,2))имеющее единственное решение ДЛЯ главного неизвестного;};tПоднимаясь в егнозначно(Т--=--1с/.(1,_(.l)-е уравнение, повторяем этот же приём и од­определяемзначениеглавногонеизвестногов«уголке)l)-го уравнения.

Продолжая процесс. доходим до 1-1'0 уравне­ния и определяем однозначно значение для первой главной перемен­ной J'i[(в(3.2) /1 = 1).Тем самым заданные значения свободных99Исследование ступенчатых систем линейных уравнений3.6.неизвестных оказались однозначно дополнены найденными значени-ями главных до решения системы линейных уравнений.Теорема3.6.5о(критерий совместности системы линейныхуравнений по её ступенчатому виду).1)Система линейных уравнений (п./"11);)из т уравнений с неиз­вестными Х1, .•.

) Х N совместна тогда и только тогда, когда в её2)ступенчатомвидет<=т: или т'/7/,нет«экзотических»и Ь'l'+1= ...уравr-тений(Т.е.или= Ь m = О).Для совместной системы свободным неизвестным можно при­даватьПРОИЗ80льные значения,при этом главныенеизвестныеоднозначно определяются (при заданных значениях свободныхнеизвестных), тем самым мы получаем все решения системылинейных уравнений.Доказательство.

Отметим, что исходная система и её ступенча­таясистемы эквивалентны.1) а)Ясно, что совместная система не может содержать «экзотиче­ское» уравнение (лемма3.6.2).Таким образом, при первом появлении«экзотического» уравнения в методе Гаусса процесс надо остановить:система несовместнаб) Если в ступенчатом виде нет «экзотических» уравнений, тоутверждение следует из леммы2)3.6.4.Алгоритм нахождения всех решений в случае отсутствия <'ЭК-эотичесних.