И.С. Ломов - Алгебра и геометрия, страница 2

Ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû. Ìíîãî÷ëåíû êàê ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ è êàê ôóíêöèè. Ýêâèâàëåíò7Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿíîñòü îïðåäåëåíèé ðàâåíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ äëÿ áåñêîíå÷íûõ ïîëåé.2 ñåìåñòðËèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì. Òåðìèíîëîãèÿ è ïðèìåðû. Ðàíã è áàçà ñèñòåìû âåêòîðîâ. Áàçèñ èðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òåîðåìà î íåïîëíîì áàçèñå.Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî,ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà. Êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè ñèñòåì âåêòîðîâ.Òåîðåìà î ìîíîòîííîñòè ðàçìåðíîñòè.

Ñóììà è ïåðåñå÷åíèå ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ. Ïðÿìàÿ ñóììà, êðèòåðèè ïðÿìîé ñóììû.Äîïîëíèòåëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.Ëèíåéíîå àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå. Ïåðåíîñ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïàðàëëåëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ. Ïåðåñå÷åíèå ëèíåéíûõàôôèííûõ ìíîãîîáðàçèé. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå.Åâêëèäîâî è óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâà. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîØâàðöà.Äëèíà âåêòîðà.

Óãîë â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Îðòîãîíàëüíûåâåêòîðû. Îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ è îðòîãîíàëüíûå (óíèòàðíûå) ìàòðèöû. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå. Ïîñòðîåíèå îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà. Ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ÃðàìàØìèäòà, QR-ðàçëîæåíèå ìàòðèöû. Ìàòðèöà Ãðàìà, êðèòåðèé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè. Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå.Çàäà÷à î ïåðïåíäèêóëÿðå. Èçîìåòðèÿ.Ëèíåéíîå àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå â åâêëèäîâîì è óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâàõ. Íîðìàëüíûé âåêòîð ëèíåéíîãî ìíîãîîáðàçèÿ.Óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè â åâêëèäîâîì è óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâàõ.Ðàññòîÿíèÿ â åâêëèäîâîì è óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâàõ.Ïîíÿòèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà.

Åâêëèäîâî (óíèòàðíîå) ïðîñòðàíñòâî êàê ìåòðè÷åñêîå. Ðàññòîÿíèå îò âåêòîðà äî ïîäïðîñòðàíñòâà è äî ëèíåéíîãî ìíîãîîáðàçèÿ Ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíåéíûìè ìíîãîîáðàçèÿìè.Ëèíåéíûå îïåðàòîðû. Îïðåäåëåíèå, ïðèìåðû. Ìàòðèöà ëè8Ïðîãðàììà êóðñàíåéíîãî îïåðàòîðà â ïàðå áàçèñîâ. Èçìåíåíèå ìàòðèöû ïðè ïåðåõîäå ê äðóãîé ïàðå áàçèñîâ. Ýêâèâàëåíòíûå ìàòðèöû. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ è åãî ñâÿçü ñ ëèíåéíûìïðîñòðàíñòâîì ìàòðèö. Ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ è åãîìàòðèöà.

Îáðàç è ÿäðî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Êàíîíè÷åñêàÿ ïàðàáàçèñîâ.Ëèíåéíûå ôîðìû (ôóíêöèîíàëû). Ñîïðÿæ¼ííîå ïðîñòðàíñòâî. Ëèíåéíûå ôîðìû è ãèïåðïëîñêîñòü.Àëãåáðà ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â îäíîìïðîñòðàíñòâå. Ìàòðèöà îïåðàòîðà â áàçèñå ïðîñòðàíñòâà. Èçìå-íåíèå ìàòðèöû ïðè ïåðåõîäå ê äðóãîìó áàçèñó. Ïîäîáíûå ìàòðèöû. Îáðàòíûé îïåðàòîð. Êðèòåðèè îáðàòèìîñòè.Ñòðóêòóðà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå.

Èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Ñóæåíèå îïåðàòîðà.Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí. Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.Ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ è àëãåáðàè÷åñêèåêðàòíîñòè ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ.Îïåðàòîðû ïðîñòîé ñòðóêòóðû. Êðèòåðèè ïðîñòîé ñòðóêòóðû.Äèàãîíàëèçóåìûå ìàòðèöû.Òðåóãîëüíàÿ ôîðìà ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå.Íèëüïîòåíòíûé îïåðàòîð. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íèëüïîòåíòíîãî îïåðàòîðà. Òåîðåìà î ïðÿìîé ñóììå íèëüïîòåíòíîãî è îáðàòèìîãî îïåðàòîðîâ.Êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Êîðíåâûå âåêòîðû è êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà.

Ðàñùåïëåíèå ïðîñòðàíñòâà â ïðÿìóþ ñóììóêîðíåâûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.Æîðäàíîâà ôîðìà ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà âêîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå. Êàíîíè÷åñêèé áàçèñ êîðíåâîãîïîäïðîñòðàíñòâà, ìàòðèöà ñóæåíèÿ îïåðàòîðà íà êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî â êàíîíè÷åñêîì áàçèñå. Æîðäàíîâ áàçèñ è æîðäàíîâà ôîðìà ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå.

Êðèòåðèé ïîäîáèÿ ìàòðèö. Òåîðåìà ÃàìèëüòîíàÊýëè.Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí.9Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿÈíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ìèíèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè.Ëèíåéíûé îïåðàòîð â åâêëèäîâîì è óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâàõ. Ñîïðÿæ¼ííûé îïåðàòîð. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèí-ñòâåííîñòü. Ìàòðèöà ñîïðÿæ¼ííîãî îïåðàòîðà.Òåîðåìà Øóðà î òðåóãîëüíîé ôîðìå ìàòðèöû îïåðàòîðà â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå. Áàçèñ Øóðà.Íîðìàëüíûé îïåðàòîð è íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà. Êðèòåðèé íîðìàëüíîñòè îïåðàòîðà â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå.

Óíèòàðíî èîðòîãîíàëüíî ïîäîáíûå ìàòðèöû. Êðèòåðèé íîðìàëüíîñòè êîìïëåêñíîé ìàòðèöû.Óíèòàðíûé è îðòîãîíàëüíûé îïåðàòîðû. Ñïåêòðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà óíèòàðíîãî îïåðàòîðà. Êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà ìàòðèöûîðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðà.Ñàìîñîïðÿæ¼ííûé îïåðàòîð è åãî ìàòðèöà. Ñïåêòðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñàìîñîïðÿæ¼ííîãî îïåðàòîðà â óíèòàðíîì è åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâàõ.Çíàêîîïðåäåë¼ííûå îïåðàòîðû è ìàòðèöû.

Ñïåêòðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà çíàêîîïðåäåë¼ííîãî îïåðàòîðà. Êâàäðàòíûé êîðåíüèç îïåðàòîðà.Ýðìèòîâî ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà. Ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèåîïåðàòîðà. Ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà è ñèíãóëÿðíàÿ ïàðà áàçèñîâ. Ïîëÿðíîå ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà.Áèëèíåéíûå è êâàäðàòè÷íûå ôîðìû. Áèëèíåéíàÿ ôîðìàâ ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå. Ìàòðèöà áèëèíåéíîé ôîðìû.

Îáùèéâèä áèëèíåéíîé ôîðìû. Ñèììåòðè÷åñêàÿ è êîñîñèììåòðè÷åñêàÿáèëèíåéíûå ôîðìû. Âûðîæäåííàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà.Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå. Èçìåíåíèåìàòðèöû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïðè ïåðåõîäå ê íîâîìó áàçèñó.Êîíãðóýíòíûå ìàòðèöû. Ïðèâåäåíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. Ìåòîä Ëàãðàíæà.Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû â âåùåñòâåííîì è êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâàõ.

Çàêîí èíåðöèè, ñèãíàòóðíîå ïðàâèëî ßêîáè, ôîðìóëû ßêîáè. Çíàêîîïðåäåë¼ííûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû.Êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà. Îáùèé âèä ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì è óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâàõ.10Ïðîãðàììà êóðñàÊâàäðàòè÷íûå ôîðìû â åâêëèäîâîì è óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâàõ. Ïðèâåäåíèå ê ãëàâíûì îñÿì. Îäíîâðåìåííîå ïðèâåäåíèåïàðû êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.Ãåîìåòðèÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì è ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ãèïåðïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà â åâêëèäîâîìïðîñòðàíñòâå. Îáùåå óðàâíåíèå. Èíâàðèàíòû ãèïåðïîâåðõíîñòè.Ïðèâåä¼ííûå óðàâíåíèÿ ãèïåðïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.Àëãåáðàè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà â òð¼õìåðíîìïðîñòðàíñòâå.

Îáùåå è ïðèâåäåííûå óðàâíåíèÿ. Ýëëèïñîèäû, ãèïåðáîëîèäû, ïàðàáîëîèäû, êîíóñ, öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè.Ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå.Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà. Íîðìû üëüäåðà â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ýêâèâàëåíòíîñòü íîðì â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Íîðìà è ìåòðèêà.Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ.Íåïðåðûâíîñòü è îãðàíè÷åííîñòü îïåðàòîðà. Íîðìà îïåðàòîðà.Ñïåêòðàëüíàÿ íîðìà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Ìàòðè÷íûå íîðìû.Åâêëèäîâà íîðìà.

Óíèòàðíî (îðòîãîíàëüíî) èíâàðèàíòíûå íîðìû.Ýêñòðåìàëüíûå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñàìîñîïðÿæ¼ííîãî îïåðàòîðà. Îòíîøåíèå Ðýëåÿ. Âàðèàöèîí-íûå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà. Âàðèàöèîííûå ñâîéñòâà ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë. Òåîðåìà ÊóðàíòàÔèøåðà.Ëèíåéíûå îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ â íîðìèðîâàííîìïðîñòðàíñòâå. Àëüòåðíàòèâà Ôðåäãîëüìà. Òåîðåìà Ôðåäãîëü-ìà. Íîðìàëüíîå ðåøåíèå, åãî ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòüäëÿ ëþáîãî ðàçðåøèìîãî óðàâíåíèÿ.

Ïñåâäîðåøåíèå. Íîðìàëüíîåóðàâíåíèå. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ. Ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå è ïñåâäîðåøåíèå. Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.Äîïîëíèòåëüíàÿ ïðîãðàììà1. Âåùåñòâåííûé àíàëîã æîðäàíîâîé ôîðìû.2. Êâàçèäèàãîíàëüíàÿ ôîðìà ìàòðèöû íîðìàëüíîãî îïåðàòîðà11Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿâ åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.3. Íîðìà è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.

Òîæäåñòâî ïàðàëëåëîãðàììà è êðèòåðèé åâêëèäîâîñòè íîðìû.4. Çàäà÷à î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè â êîíå÷íîìåðíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ.5. Ñîîòíîøåíèå ðàçäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë.12Ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿÑåìèíàðñêèå çàíÿòèÿÍèæå ïðèâîäÿòñÿ ïëàíû ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé. Íîìåðà çàäà÷äàíû ïî çàäà÷íèêàì [8, 9].

Çàäà÷è ðàçáèòû íà òðè ãðóïïû: À äëÿ ðåøåíèÿ â àóäèòîðèè, Ä äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ(äîìàøíÿÿ ðàáîòà), Ð äîïîëíèòåëüíûå çàäà÷è íà óñìîòðåíèåïðåïîäàâàòåëÿ (ðåçåðâ).  ñïèñêå çàäà÷ òîëüêî äëÿ ïåðâîé çàäà÷èóêàçûâàåòñÿ å¼ ïîëíûé íîìåð (íàïðèìåð, 5.16), äëÿ ñëåäóþùèõçà íåé çàäà÷ óêàçûâàþòñÿ òîëüêî ïîñëåäíÿÿ ÷àñòü íîìåðà (íàïðèìåð, âìåñòî 5.17 óêàçûâàåòñÿ 17).Ïëàí ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé, 1 ñåìåñòðÑåìèíàð  1Îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè1. Ýëåìåíòàðíàÿ òåõíèêà ìàòðè÷íûõ îïåðàöèéÀ: 1.1, 3, 7, 18, 19(á,å), 35, 36, 23, 25Ä: 1.4, 6, 8, 11, 15, 19(âä), 20(àã), 27(á,â), 37, 38, 2.1, 4, 52.

Óìíîæåíèå íà ñòðîêè è ñòîëáöûÀ: 1.2(àã), 13Ä: 1.21, 40, 393. Äðóãîé âçãëÿä íà îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ ìàòðèöÀ: ïðèìåð 1.4; 1.10, 14Ä: 1.27(ã,å)4. Óìíîæåíèå íà äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöóÀ: 1.30, 31Ä: 1.28, 32Ð: 1.26, 36.1, 2.7, 10, 12, 15, 18, 29, 30, 31, 36, 51Ñåìèíàð  25. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû è ìàòðèöû ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèéÀ: 3.1(à,ä), 2, 7, 4Ä: 3.1(áã), 3, 6, 8, 19, 2013Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿÎïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ1. ÏåðåñòàíîâêèÀ: 4.1, 2(á,â,ä), 3(à), 6, 9(à)Ä: 4.2(à,ã,ç), 3(á), 5, 7, 8, 9(á), 10Ð: 3.16, 23, 12, 12.1Ñåìèíàð  32.

Îïðåäåëåíèå îïðåäåëèòåëÿÀ: 5.39(àã), 40, 42, 48, 57Ä: 5.39, 43, 44, 47, 49, 52, 56, 60, 613. Îïðåäåëèòåëè 2-ãî è 3-ãî ïîðÿäêîâÀ: 5.2, 9, 12Ä: 5.3, 10, 13, 16Ð: 5.19, 20, 8.3Ñåìèíàð  44. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿÀ: 5.21, 24, 29, 30, 68, 64(á), 70, 74Ä: 5.22, 25, 31, 33, 67, 64(à), 69, 75, 76, 815. Òåîðåìà ËàïëàñàÀ: 6.2, 8, 11, 15, 17Ä: 6.6, 7, 9, 12, 14, 16, 20, 27, 43, 44Ð: 5.79, 83, 84, 6.40, 41, 45, 8.4Ñåìèíàð  5Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ1. Ìåòîä ÃàóññàÀ: 7.1, 8, 16, 26, 20, 22, 27, 41Ä: 7.2, 13, 17, 24, 23, 28, 37, 42, 43, 462. Ìåòîä ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèéÀ: 7.48, 70, 56, 53, 54Ä: 7.59, 51, 55, 57, 72, 74, 76Ð: 7.44, 64, 66, 75, 75.114Ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿÑåìèíàð  63.

Îïðåäåëèòåëü ÂàíäåðìîíäàÀ: 7.82, 83, 91Ä: 7.84, 87, 89, 90, 934. Äðóãèå ìåòîäûÀ: 7.98, 107, 115, 117, 119, 125Ä: 7.99, 103, 110, 116, 121, 126, 8.27, 34, 42Ð: 7.92, 94, 96Ñåìèíàð  75. Ñìåøàííûå çàäà÷èÀ: 8.5(à), 6, 14, 15, 27, 33Ä: 8.5(á), 7(à), 8, 29, 13, 17, 18, 22(à)Îáðàòíàÿ ìàòðèöàÊðèòåðèé îáðàòèìîñòè. Ìåòîä ÃàóññàÆîðäàíà îáðàùåíèÿ ìàòðèöûÀ: 9.13, 5, 23, 26, 31, 35, 18, 19, 48, 50Ä: 9.4, 6, 12, 24, 28, 33, 36, 37, 43, 49, 52, 55, 62, 78(â,ã)Ð: 8.10, 11, 19, 22(á), 23, 25, 5054, 9.15, 16, 5658, 76, 77, 81, 82Ñåìèíàð  8Ãåîìåòðè÷åñêèå âåêòîðûËèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè. Äåëåíèå îòðåçêàâ äàííîì îòíîøåíèè.