И.С. Ломов - Алгебра и геометрия

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòèìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÔàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè èêèáåðíåòèêèÀëãåáðà èãåîìåòðèÿÏîä ðåäàêöèåé ïðîô. È. Ñ. ËîìîâàÓ÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèåäëÿ ñòóäåíòîâ 1 êóðñàÌîñêâà 2015ÁÁÊ 22.143ÓÄÊ 512.6+514.1À45Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòàôàêóëüòåòà âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêèè êèáåðíåòèêè ÌÃÓ èìåíèÌ. Â. ËîìîíîñîâàÊîëëåêòèâ àâòîðîâ:Áîáûëåâà Î. Í., Áóäàê À. Á., Äàðüèí À.

Í.,Åñèêîâà Í. Á.,Èîíêèí Í. È., Êèì Ã. Ä., Êðèöêîâ Ë. Â.,Ëåáåäåâà Î. Ñ., Ìîðîçîâà Â. À., Íåñòåðåíêî Þ. Ð.Ïàíô¼ðîâ Â. Ñ.,Ðóáë¼â È. Â., Ðóäíåâ Ñ. Ã., Ñàçîíîâ Â. Â.,Ñìèðíîâ È. Í.,Òûðòûøíèêîâ Å. Å., Ôàëèí À. È.À75Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ: ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå/ ïîä ðåä. È. Ñ. Ëîìîâà Ì.: Èçäàòåëüñêèé îòäåë ôàêóëüòåòà ÂÌÊ ÌÃÓ èìåíè Ì. Â.

Ëîìîíîñîâà; ÌÀÊÑÏðåññ, 2015. XX ñ.ISBN 978-5-89407-539-6.ISBN 978-5-317-05025-2.Íàñòîÿùåå ïîñîáèå ñîäåðæèò ìåòîäè÷åñêèå ìàòåðèàëû, ñîïðîâîæäàþùèå ó÷åáíûé ïðîöåññ: ïðîãðàììó êóðñà, ïëàíû ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé, ýêçàìåíàöèîííûå âîïðîñû, îáðàçöû êîíòðîëüíûõ ðàáîò, çà÷¼òíûõ çàäàíèé.ÓÄÊ 512.514(075.8)ÁÁÊ512.14:22.151ÿ73ISBN 978-5-89407-539-6c Êàôåäðà îáùåé ìàòåìàòèêè,2015c Ôàêóëüòåò ÂÌÊÌÃÓ èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà, 2015ISBN 978-5-317-05025-2ÑîäåðæàíèåÑîäåðæàíèåÎá ó÷åáíîì ïëàíå4Ïðîãðàììà êóðñà51 ñåìåñòð .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 ñåìåñòð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58Ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿ13Êîëëîêâèóì30Êîíòðîëüíûå ðàáîòû34Çà÷¼ò40Ïëàí ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé, 1 ñåìåñòð . . . . . . . . . . .Ïëàí ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé, 2 ñåìåñòð . . . . . . . .

. . .Âîïðîñû ê êîëëîêâèóìó, 1 ñåìåñòð . . . . . . . . . . . . .Âîïðîñû ê êîëëîêâèóìó, 2 ñåìåñòð . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðíûå âàðèàíòû, 1 ñåìåñòð . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðíûå âàðèàíòû, 2 ñåìåñòð . . . . . . . . . . . . . .1 ñåìåñòð. Ïðèìåðíûé âàðèàíò çà÷¼òíîãî çàäàíèÿ â ãðóïïå1 ñåìåñòð. Îáðàçåö çàäàíèÿ çà÷¼òíîé êîìèññèè .

. . . . .2 ñåìåñòð. Ïðèìåðíûé âàðèàíò çà÷¼òíîãî çàäàíèÿ â ãðóïïå2 ñåìåñòð. Îáðàçåö çàäàíèÿ çà÷¼òíîé êîìèññèè . . . . . .ÝêçàìåíÝêçàìåíàöèîííûå âîïðîñû, 1 ñåìåñòð . . . . . . . .Âàðèàíòû çàäàíèé äëÿ êîíòðîëüíîãî òåñòèðîâàíèÿÝêçàìåíàöèîííûå âîïðîñû, 2 ñåìåñòð . . . . . . . .Âàðèàíòû çàäàíèé äëÿ êîíòðîëüíîãî òåñòèðîâàíèÿËèòåðàòóðà............Ëèòåðàòóðà .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13223032343640424345474750515354543Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿÎá ó÷åáíîì ïëàíåÄèñöèïëèíà ¾Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ¿ çíàêîìèò ñòóäåíòîâ ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿñîâðåìåííîé àëãåáðû è àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè.  ïðîöåññåîáó÷åíèÿ ñòóäåíòû äîëæíû óñâîèòü ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ñòðóêòóð, âíóòðåííþþ ëîãèêó, ñâÿçûâàþùóþëèíåéíóþ àëãåáðó è àíàëèòè÷åñêóþ ãåîìåòðèþ, ïðèîáðåñòèíàâûêè èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ çàäà÷.Äèñöèïëèíà îòíîñèòñÿ ê îáÿçàòåëüíûì êóðñàì äëÿ ñòóäåíòîâ ïåðâîãî êóðñà ôàêóëüòåòà ÂÌÊ ÌÃÓ. Èçó÷àåòñÿ âïåðâîì è âòîðîì ñåìåñòðàõ. Ïî ýòîìó êóðñó ÷èòàþòñÿ ëåêöèè (72 ÷àñà â ïåðâîì ñåìåñòðå è 64 ÷àñà âî âòîðîì) èïðîâîäÿòñÿ ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿ (3132 ñåìèíàðà â ïåðâîìñåìåñòðå è 2829 ñåìèíàðîâ âî âòîðîì). êàæäîì ñåìåñòðå ïðîâîäèòñÿ îäèí êîëëîêâèóì (â ôîðìåóñòíîãî ñîáåñåäîâàíèÿ ïî òåîðåòè÷åñêîìó ìàòåðèàëó) è 23êîíòðîëüíûå ðàáîòû ïî ðåøåíèþ çàäà÷.Ïî îêîí÷àíèè ñåìåñòðîâ â ðàìêàõ çà÷¼òíîé ñåññèè â êàæäîé ãðóïïå ïðîâîäÿòñÿ çà÷¼òû.

Êîíòðîëüíûå ðàáîòû è êîëëîêâèóì ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè çà÷¼òà. Ñòóäåíòû, íå ñäàâøèåçà÷¼ò â ãðóïïå, îáÿçàíû ñäàâàòü åãî ñïåöèàëüíîé çà÷¼òíîéêîìèññèè.Çà çà÷åòíîé ñåññèåé ñëåäóåò ýêçàìåíàöèîííàÿ ñåññèÿ. Ýêçàìåí ñäà¼òñÿ â óñòíîé ôîðìå. 201415 ó÷åáíîì ãîäó: ëåêòîðû ïî êóðñó Å. Å. Òûðòûøíèêîâ, Ã. Ä. Êèì, Â. Ñ. Ïàíô¼ðîâ; ïðåïîäàâàòåëè À. Á. Áóäàê, È. Â. Âîñòðèêîâ, Í. Á. Åñèêîâà, Í. È. Èîíêèí,À. À.

Êóëåøîâ, Î. Ñ. Ëåáåäåâà, Â. À. Ìîðîçîâà, È. Â. Ðóáë¼â, Ñ. Ã. Ðóäíåâ, È. Í. Ñìèðíîâ, À. È. Ôàëèí.4Ïðîãðàììà êóðñàÏðîãðàììà êóðñà1 ñåìåñòðÎñíîâû òåîðèè ìàòðèö. Îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû è ìàòðèöû ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïðèâåäåíèå ê ñòóïåí÷àòîé, òðàïåöèåâèäíîé è äèàãîíàëüíîé ôîðìàì.Îïðåäåëèòåëü. Ïåðåñòàíîâêè. Ïîñòðîåíèå îïðåäåëèòåëÿ nãî ïîðÿäêà. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ. Ìèíîðû è àëãåáðàè÷åñêèåäîïîëíåíèÿ. Òåîðåìà Ëàïëàñà.

Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö. Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ.Îáðàòíàÿ ìàòðèöà. Íåâûðîæäåííîñòü ìàòðèöû. Ïîíÿòèåîáðàòíîé ìàòðèöû. Êðèòåðèé îáðàòèìîñòè. Ìåòîä ÃàóññàÆîðäàíà îáðàùåíèÿ ìàòðèöû.Ìíîæåñòâà. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ. Áèíàðíîåîòíîøåíèå. Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè. Ôàêòîð-ìíîæåñòâî.Îòîáðàæåíèå. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé.

Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå. Êðèòåðèé îáðàòèìîñòè.Âíóòðåííèé è âíåøíèé çàêîíû êîìïîçèöèè. Àëãåáðàè÷åñêèåîïåðàöèè è èõ ñâîéñòâà. Îáîáù¼ííàÿ àññîöèàòèâíîñòü.Ãåîìåòðè÷åñêèå âåêòîðû. Íàïðàâëåííûå îòðåçêè è èõ ðàâåíñòâî. Ñâîáîäíûé âåêòîð êàê êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ. Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ íà ïðÿìîé, íà ïëîñêîñòè è âïðîñòðàíñòâå.

Êîëëèíåàðíûå è êîìïëàíàðíûå âåêòîðû. Ïðîåêöèèâåêòîðà. Ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ïðîåêöèé. Êîîðäèíàòû âåêòîðà èèõ ñâÿçü ñ ïðîåêöèÿìè âåêòîðà. Ëèíåéíîñòü âåëè÷èíû ïðîåêöèèâåêòîðà íà îñü.Ñêàëÿðíîå, âåêòîðíîå è ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ.Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Êîîðäèíàòû òî÷êè.

Ôîðìóëûïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.Ïîëÿðíûå, öèëèíäðè÷åñêèå è ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû.Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïîíÿòèå âå5Àëãåáðà è ãåîìåòðèÿùåñòâåííîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû. Àðèôìåòè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü è íåçàâèñèìîñòü. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè. Áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Êîîðäèíàòû âåêòîðà. Ïåðåõîä ê äðóãîìó áàçèñó. Ìàòðèöà ïåðåõîäà. Ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà è ëèíåéíûåàôôèííûå ìíîãîîáðàçèÿ.Ðàíã ìàòðèöû.

Òåîðåìà î áàçèñíîì ìèíîðå. Ðàíã ìàòðèöûè ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü å¼ ñòðîê è ñòîëáöîâ. Ðàíã ïðîèçâåäåíèÿìàòðèö. Èíâàðèàíòíîñòü ðàíãà ìàòðèöû îòíîñèòåëüíî ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ýêâèâàëåíòíûå ìàòðèöû, êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè. Ìåòîä Ãàóññà âû÷èñëåíèÿ ðàíãà ìàòðèöû.Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Êîìïàêòíûå ôîðìû çàïèñè ñèñòåìû. Îñíîâíàÿ è ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöû ñèñòåìû. Ñèñòåìà ñ êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé,ïðàâèëî Êðàìåðà. Èññëåäîâàíèå è ðåøåíèå ñèñòåìû îáùåãî âèäà.Òåîðåìà ÊðîíåêåðàÊàïåëëè.

Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû. Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé.Ýêâèâàëåíòíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé. Ìåòîä Ãàóññà èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.×èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé â ìåòîäå Ãàóññà.Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ìíîæåñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîéñèñòåìû. Îáùåå ðåøåíèå.

Ëèíåéíîå àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå ìíîæåñòâà ðåøåíèé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû. Îáùåå ðåøåíèå.Ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå. Àëãåáðàè÷åñêèå ëèíèè è ïîâåðõíîñòè. Èíâàðèàíòíîñòü ïîðÿäêà.Ðàçëè÷íûå âèäû óðàâíåíèÿ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. Êðèòåðèéïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðà è ïðÿìîé. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè.

Ïó÷îê ïðÿìûõ. Ïîëóïëîñêîñòè. Ðàññòîÿíèåîò òî÷êè äî ïðÿìîé. Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè.Ðàçëè÷íûå âèäû óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé. Ïó÷îê ïëîñêîñòåé. Ñâÿçêàïëîñêîñòåé. Ïîëóïðîñòðàíñòâà. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè. Óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè.6Ïðîãðàììà êóðñàÏðÿìàÿ â ïðîñòðàíñòâå.

Ðàçëè÷íûå âèäû óðàâíåíèÿ ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå. Ñâÿçêà ïðÿìûõ. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé, ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ.Ëèíèè è ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ýëëèïñ, ãèïåðáîëà è ïàðàáîëà. Îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè. Èíâàðèàíòû ëèíèè. Ïðèâåä¼ííûå óðàâíåíèÿ. Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè.Îáùåå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðèâåä¼ííûå óðàâíåíèÿ.

Ìåòîä âðàùåíèé. Ýëëèïñîèä, ãèïåðáîëîèäû,ïàðàáîëîèäû, êîíóñû è öèëèíäðû. Ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå.Êëàññèôèêàöèÿ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.Ãðóïïû. Îïðåäåëåíèå, îñíîâíûå ñâîéñòâà, ïðèìåðû. Ïîäãðóïïû, ñìåæíûå êëàññû, íîðìàëüíûé äåëèòåëü. Èçîìîðôèçì èãîìîìîðôèçì ãðóïï. Ôàêòîð-ãðóïïà. Êîíå÷íûå ãðóïïû. ÒåîðåìàËàãðàíæà.

Ãðóïïà âû÷åòîâ. Ñèììåòðè÷åñêàÿ è çíàêîïåðåìåííàÿãðóïïû. Ñòåïåíè ýëåìåíòà. Öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà, å¼ ïîäãðóïïû.Êîëüöî è ïîëå. Ïîíÿòèå êîëüöà è ïîëÿ. Îñíîâíûå ñâîéñòâàè ïðèìåðû. Äåëèòåëè íóëÿ. Èçîìîðôèçì êîëåö è ïîëåé. Àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå êîëüöà è ïîëÿ. Êîëüöî âû÷åòîâ. Õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ. Ïîëå âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ.

×èñëî ýëåìåíòîââ êîíå÷íîì ïîëå.Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü. Àëãåáðàè÷åñêàÿ è òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìûêîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü è èçâëå÷åíèå êîðíÿ.Êîðíè n-é ñòåïåíè èç åäèíèöû. Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè.Ìíîãî÷ëåíû. Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé íàäïîëåì. Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ, íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü, àëãîðèòì Åâêëèäà. Çíà÷åíèå ìíîãî÷ëåíà è êîðíè, òåîðåìà Áåçó. Àëãåáðàè÷åñêàÿ çàìêíóòîñòü ïîëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.Êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ÷èñåë. Êðàòíîñòü êîðíÿ. Ìíîãî÷ëåíû ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ôîðìóëû Âèåòà.