Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Идеальная и вязкая жидкости

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаИДЕАЛЬНАЯ И ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТИПод редакцией А.М. МакароваРекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Бауманав качестве учебного пособия по курсу«Нелинейные процессы переноса»МоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2008УДК 532.135:532.5(075.8)ББК 22.253:22.365И292Рецензенты: А.В Колесников, П.И. ПластининИдеальная и вязкая жидкости: Учеб.

пособие / А.С. РомаИ292 нов, А.В. Семиколенов, С.Н. Тараненко, А.П. Шахорин. — М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. — 64 с.: ил.В учебном пособии представлены основы феноменологическогоописания процессов переноса импульса и энергии в жидких средах, проявляющих нелинейные механические и физико-химические свойства.Для студентов старших курсов, обучающихся по специальности«Техническая физика» и изучающих курс «Нелинейные процессы переноса».УДК 532.135:532.5(075.8)ББК 22.253:22.365 Романов А.С., Семиколенов А.В.,Тараненко С.Н., Шахорин А.П., 2008 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008ВВЕДЕНИЕРазвитие современных технологий требует анализа процессов переноса различных физических величин (массы, энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда и т.

п.), происходящих в значительном интервале изменения потенциалов переноса. Коэффициентыпереноса при этом не являются постоянными, а существенно зависят отпотенциалов переноса, их градиентов и других величин, определяющихфизическое и физико-химическое состояние вещества и интенсивностьпроцессов переноса.Например, при увеличении ионной температуры воздушной плазмы нормальной плотности от 5⋅105 до 5⋅106 K, т. е. в 10 раз, средняядлина пробега излучения увеличивается приблизительно в 100 раз.Соответственно коэффициент лучистой теплопроводности увеличивается в 105 раз.Другой наглядный пример — изменение вязкости суспензии бентонитовой глины, применяемой в нефтедобыче.

При незначительномувеличении скорости деформации, сопровождающемся разрушениемнадмолекулярной структуры, ее вязкость увеличивается почти в 109раз.Примеры, подобные рассмотренным, можно продолжить, и всеони показывают, что усреднение физических и физико-химическихсвойств вещества не является эффективным средством анализа процессов переноса. Факт зависимости коэффициентов переноса от потенциалов переноса и других величин, характеризующих интенсивность переноса, приводит к понятию нелинейной среды — физическойсистемы, свойства которой зависят от ее состояния.Исследование нелинейных и высокоинтенсивных процессов переноса приводит к выявлению широкого круга феноменов, вообще неимеющих места в линейной среде.

Среди них — пространственнаялокализация, временная ограниченность, фронтовой характер переноса и многое другое. Указанные эффекты, так или иначе, могут иметьместо вне зависимости от конкретной природы рассматриваемой нелинейной физической системы. То есть эти явления реализуются, например, и при переносе импульса, и при переносе энергии, и придиффузии, и при лучистом теплопереносе. Причиной этому являетсяфундаментальность законов сохранения соответствующих физическихвеличин — массы, энергии, импульса, момента импульса, числа час-3тиц, электрического заряда, энергии электромагнитного излучения и т.п.Целью предлагаемого пособия является наглядный физическиобоснованный вывод известных соотношений, описывающих движение идеальной, ньютоновской вязкой и неньютоновской нелинейновязкой жидкостей.Для нелинейно-вязкой жидкости дана классификация ее нелинейных свойств.

В частности, представлены модели Оствальда — де Виляи Шведова — Бингама, сыгравшие заметную роль в развитии теориитечения нелинейно-вязких жидкостей. Основные особенности теченияэтих жидкостей рассмотрены на примере течения Пуазейля.Рассмотрена задача о тепловом взрыве в теплопроводящей неподвижной среде, также демонстрирующая нетривиальную роль нелинейности.Исходя из фундаментальных законов сохранения приведены выводы известных уравнений для идеальной и вязкой жидкостей, данаклассификация нелинейно-вязких сред. Рассмотрено несколько примеров, иллюстрирующих проявление нелинейных свойств.Для освоения данного курса необходимо знание основ тензорногоисчисления и теории уравнений математической физики.41.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ1.1. Сплошные средыВсе тела состоят из отдельных частиц, но в любом даже физическималом объеме их очень много, поэтому макроскопические тела частоможно рассматривать как материальную среду, сплошь заполняющуюпространство. С математической точки зрения сплошная среда представляется как непрерывный континуум, заполняющий некоторуючасть пространства. Любая точка этой части пространства соответствует некоторой точке среды.Сплошной средой можно считать не только вещество, но и электромагнитное поле, очевидно, заполняющее все пространство.

Такаяидеализация позволяет применить для исследования движения реальных тел и полей аппарат непрерывных функций, дифференциальное иинтегральное исчисление.Для описания движения сплошной среды используют макроскопические термодинамические переменные, например, давление р, плотность ρ, температуру Т. Тем самым предполагается наличие, по крайней мере, локального термодинамического равновесия. В этом случаедвижение возникает как следствие изменения термодинамических переменных от точки к точке.Развиваемый подход имеет свои ограничения там, где локальноеравновесие отсутствует, например, вблизи испаряющейся поверхностижидкости, в узких капиллярах при адсорбции, вблизи фронта ударнойволны и т.

п., т. е. когда характерные параметры физических и физико-химических процессов не позволяют считать эти процессы локально равновесными.При наличии локального термодинамического равновесия возможно установить необходимые соотношения непосредственно междутермодинамическими переменными, оставляя за рамками анализа соответствующее молекулярно-кинетическое обоснование. Например,для вектора плотности потока теплоты в неподвижной теплопроводной среде постулируется закон Фурьеq ∼ grad T ,илиq = −λ grad T ,5где λ > 0 — коэффициент теплопроводности, определяемый экспериментально.Такой подход к описанию движения, когда в основу теории закладывается представление о макроскопическом явлении как таковом,называют феноменологическим.1.2.

Описание движения сплошной средыДвижение в механике всегда определяется по отношению к какойлибо системе отсчета, состоящей из тела — некоторого объекта, считающегося неподвижным, и системы координат, снабженной часами.Простейшей и наиболее часто используемой является декартова прямоугольная система координат. Время в классической механике считается абсолютным. С помощьюyсистемы координат устанавливаетyMся соответствие между положением точки в пространстве и тремя ееМкоординатами (рис. 1.1):rMjrM = {xM , yM , z M }.xMkОixzMzРис.

1.1. Соответствие междуточками пространства и тройкамичисел — их координатамиПоскольку в дальнейшем изложении мы будем пользоватьсядекартовой прямоугольной системой координат, для описания векторов или тензоров будут взятытолько нижние индексы, пробегающие значения i = 1, 2, 3, и правило суммирования по повторяющемуся индексу, например:τii = τ11 + τ22 + τ33 = τ xx + τ yy + τ zz ,r = {xi } = {x, y, z} , u = {ui } = {u x , u y , u z } ,(ui ∇ i ) = u x∂∂∂+ uy+ ux∂x∂y∂zи т. д.Выделяют две точки зрения на описание движения сплошной среды: Лагранжа и Эйлера.6По Лагранжу, выделяется точка сплошной среды, т. е. рассматриваются координаты ее начального положения {a, b, c} при t = 0. Тогдав любой последующий момент времени ее координаты описываютсятак: x = x(a, b, c, t ), y = y(a, b, c, t ), z = z (a, b, c, t ).Нахождение функцийx = x(a, b, c, t ) , y = y ( a, b, c, t ) , z = z(a, b, c, t )является основной задачей механики.

Переменные a, b, c, t носят название переменных Лагранжа.По Эйлеру, наблюдаются характеристики движения среды в разные моменты времени в данной точке пространства, в которую приходят разные точки среды в разные моменты времени. Геометрическиекоординаты xi и время t носят название переменных Эйлера. Мы будемизучать законы движения среды в переменных Эйлера.Оба подхода к описанию движения сплошной среды эквивалентны, если законы движения заданы достаточно гладкими функциями,имеющими необходимое число производных.Пусть, в соответствии с подходом Эйлера, задано распределениескоростей точек среды в пространствеui = ui ( x, y, z , t ) .Тогда проекции скорости некоторой точки среды могут быть найдены из соотношений dx dt = ux ( x, y, z, t ), dy = u y ( x, y, z, t ), dt dz dt = u z ( x, y, z, t ).Если рассматривать эту систему как систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, то, разрешая ее относительно x,7y, z, мы получим координаты частиц среды как функций трех пространственных постоянных a, b, c и времени t.

Считая, что a, b, cзадают значения координат частиц при t = 0, приходим к искомымсоотношениям, индивидуализирующим частицу, например:T = T ( x, y, z, t ) ⇒ T = T ( x(a, b, c, t ), y (a, b, c, t ), z (a, b, c, t ), t ) .Для эффективной работы с законами сохранения, действующими всплошной среде, и получения на их основании соответствующих математических соотношений используют известные теоремы математического анализа. Сформулируем их здесь без доказательств, с которыми можно ознакомиться по учебникам математического анализа.Особенно важно выяснить условия, налагаемые на дифференциальныесвойства функций, рассматриваемых в этих теоремах. В случае нелинейности процессов переноса эти условия могут быть нарушены и,например, переход от интегральных уравнений сохранения к дифференциальным, строго говоря, станет невозможным.Теорема Стокса.

Эта теорема позволяет перейти от контурногоинтеграла к интегралу по поверхности. Пусть в некоторой области определено непрерывно дифференцируемое векторное поле A( r ) .Рассмотрим интеграл вдоль некоторой кривой С в этой области (рис.1.2): ΓC = ∫ A, dl .()A2CДля замкнутой кривой (контура)ΓC =∫ (C A, dl .dl)C1Значение интеграла для замкнутой криРис. 1.2. К определению инвой называют циркуляцией. теграла от векторного поля AЕсли для всех контуров ∫ A, dl = 0 ,(C)вдоль кривой С (1, 2 — на-чальная и конечная точкито говорят, что векторное поле A — по- кривой; dl — касательныйтенциальное, и для него можно опреде- вектор к кривой С )лить потенциал, такой, что A = gradϕA ,при этом82 Γ C = ∫ A, dl = ϕ A 2 − ϕ A1 .()1Вне зависимости от потенциальности поля можно перейти от циркуляции к интегралу по поверхности. При интегрировании выбираемположительное направление: направление обхода при интегрированиипо контуру и ориентация внешней нормали к поверхности должныбыть согласованы в соответствии с правилом правого винта.

Такимобразом, по теореме Стокса, для любой поверхности S, границей которой является контур C, справедливо соотношение (рис. 1.3) ∫ A, dl = ∫∫ rotA, n dS = ∫∫ rotA, dS ,()C()(S)Sгде dS = n ⋅ dS — вектор, имеющий направление n и модуль dS ,CРис. 1.3.

Связь направления обхода позамкнутому контуру С и ориентации поверхности S, охваченной этим контуром( n — вектор единичной нормали к элементарной площадке dS, направление которого согласовано с направлением обходапо правилу правого винта)SndSi ∂rotA = ∇ × A =∂xAxj∂∂yAy ∂AZ ∫∫ ( rotA, n ) dS = ∫∫ Sk∂  ∂Az ∂Ay =i −+∂z∂z  ∂yAzS ∂y−  ∂Ax ∂Azj−∂x ∂z  ∂Ay ∂Ax  + k  ∂x − ∂y  ,∂Ay   cos n , i +∂z ( )  ∂Ay ∂Ax   ∂A ∂A +  x − Z  cos n, j +− cos n , k  dS .∂x ∂y  ∂z ∂xВекторное поле B называют соленоидальным, если имеет местоусловиеdivB = 0 ,( )( )9где ∂B∂By ∂Bz∂divB = x ++=Bi .∂x∂y∂z ∂xiНепосредственной проверкой можно установить, что поле rotAвсегда является соленоидальным, т.

е. чтоdiv rotA = 0 .()Теорема Гаусса — Остроградского. Эта теорема позволяет переходить от интеграла по поверхности к интегралу по объему (рис. 1.4):nРис. 1.4. Задание ориентации замкнутой поверхности S внешней единичной нормалью n . Поверхность охватывает объем VdSVS∫∫ ( A, dS ) = ∫∫∫ divAdV ,SVили, в другой записи:∫∫  AxS cos n, i + Ay cos n, j + Az cos n , k  dS = ∫∫∫ ∇ i Ai dV .( )( )( )VИспользуя теорему Гаусса — Остроградского, можно получитьформулу дифференцирования по времени интеграла, взятого по подвижному объему.