Романов А.С., Семиколенов А.В. - Перенос энергии излучением, страница 7

В процессе расчетов оно выбиралось в пределах от10-4 до 4⋅10-4. Введение неравномерной сетки по ξ обусловлено двумя причинами. С однойстороны, на фронте тепловой волны велики градиенты всех искомых функций, что вынуждает использовать мелкий шаг по переменной ξ . С другой стороны, при приближении к особойточке ξ → −∞ «движение» по интегральной кривой «замедляется» и шаг по ξ необходимоувеличивать.Таким образом, при реализации метода последовательных приближений возникаетнеобходимость перехода от неравномерной сетки по η к равномерной и обратно. Для этогоиспользовалась линейная интерполяция.vn=2, k=0, t=0,3n=2, k=0, t=0,3r10,514S2300,5S24-0,5ηS030,51η10Рис. 6.11.ηηS0,51Рис. 6.12.На рис.

6.11, 6.12 в качестве примера сплошными линиями приведены построенныеуказанным способом проекции интегральной кривой на плоскости {v, η} и {r, η} для n = 2 ,k = 0 и t = 0,3 . Штриховыми линиями обозначены проекции нескольких интегральных кривых при r (0, t ) ≠ r0 . Причем линии на этих двух рисунках, помеченные одинаковыми цифрами, соответствуют одной интегральной кривой. Штриховая линия, помеченная буквой S ,Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».39является линией особых точек. Как видно, интегральная кривая в особой точке испытываетслабый разрыв.Такой характер интегральных кривых сохраняется лишь конечное время.

Приt > t ∗ (k , n) > 0 интегральная кривая вблизи особой точки «опрокидывается» и в пространствепеременных Ωt (η , v, r , t ) = Ω× R+ образуется складка. Пример такой в проекциях вблизи особой точки представлен на рис. 6.13, 6.14 (обозначения совпадают с обозначениями на рис.6.11, 6.12).vrt > t*(k, n)t > t*(k, n)SS0,500,70,450,5ηS0,70ηSη0,7510,70η0,75Рис. 6.14.Рис. 6.13.Исходя из физических соображений, необходимо рассматривать только однозначныерешения краевой задачи. Поэтому при t > t ∗ (r, n) решение должно содержать сильный разрыв по динамическим переменным. Оно, вообще говоря, скачком переходит с одной интегральной кривой на другую.Для расчета положения скачка и его величины можно воспользоваться известнымисоотношениями Гюгонио (адиабата Гюгонио), считая при этом, что температура непрерывнана скачке.

Здесь получим соотношения на скачке непосредственно из динамических уравнений для газа.Пусть скачок наблюдается при η = ηW ( t ) . Тогда значения параметров газа до скачка:v |ηW + 0 = v + , r |ηW + 0 = r+ однозначно связаны с их значениями за скачком: v |ηW −0 = v − , r |ηW −0 = r− .Интегрируя первые два уравнения из системы (6.30) в пределах от ηW − δ до ηW + δ , δ > 0 изатем переходя к пределу δ → 0 , получимaσηW [ r ] − [ v ] − t β [ vr ] = 0 ,aσηW [ v ] −tβ 2 v  − θW ln (1 + t β r )  = 02Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».40где θW = θ |η=ηW , а квадратные скобки означают величину скачка для заключенной в них 1 + t β ⋅ ( r− + [ r ]) функции. Так, например, ln (1 + t r )  = ln (1 + t r+ ) − ln (1 + t r− ) = ln .β+1tr−βββЕстественно полагать, что непосредственно после возникновения скачок динамических переменных мал: [ v] 1, [ r ] 1 .

Тогда, учитывая в разложении логарифма лишь квадратичные по [ v] и [ r ] слагаемые, получим искомые соотношения на скачке:[ v] =−12χ ⋅ ( χ 2 − t β θW ) ⋅ ( χ 2 + t β θW ) ,βt[ r ] = [ v] ⋅ (1 + t β r+ ) ⋅ ( χ 2 − t β [ v ])где χ = aσηW − t β v + .Из последнего уравнения системы (6.30), аналогично получается выражение, определяющее скачок производной функции θ ′(η , t ) при η = ηW : 1n ( θn − 2 ) θ′ − a ⋅ ( γ − 1) ⋅ t β [ v ] = 0 ,W 1 + tβr η которое используется при проведении численных расчетов.Задавая положение скачка ηW (t ) , будем определять v + и r+ по известной ветви интегральной кривой, а v − и r− тогда найдутся из соотношений на скачке. Так как ηW (t ) заранеенеизвестна, то все возможные значения r− , v − ,ηW образуют линию W в пространстве переменных Ω .

Точка пересечения этой линии с поверхностью Ω1 определяет положение скачка.На рис. 6.15, 6.16 приведен качественный вид рассматриваемых кривых вблизи особой точки. Штриховая линия, помеченная на обоих рисунках буквой W , является линией скачков, тоесть она рассчитана по соотношениям на скачке.Результаты численных расчетов показали, что с вычислительной точностью скачокосуществляется на ту интегральную кривую, которая является непрерывным решением краевой задачи.

Соответственно, на рис. 6.15, 6.16 указаны скачки динамических переменныхv, r осуществляющиеся между точками A, A′ .Расчеты, проведенные в широком интервале изменения показателей 1 ≤ n ≤ 5 ,0 ≤ k ≤ 3 (то есть был включен и случай линейной теплопроводности), полностью подтвер-ждают разобранный случай. Таким образом, можно считать установленным возможный режим возникновения изотермического разрыва при интенсивном тепловом воздействии наидеальный нелинейно теплопроводный газ.

Сильный разрыв по динамическим переменным(скачок) образуется в результате эволюции слабого разрыва, который существует лишь ограОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».41ниченное время. Дальнейшая эволюция изотермического разрыва и превращение его в ударную волну связна с выходом разрыва на границу тепловой волны. Провести анализ такогопроцесса возможно только численными методами. Очевидно, что интенсивность возникающей ударной волны в значительной степени определяется процессом ее зарождения.vrWWA′SA′SAηWAηSηРис. 6.15ηWηSηРис. 6.16Рекомендуемая литература1. Седов Л.И.

Механика сплошной среды. Т. 1 и 2. М.: Наука, 1970.2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 тт. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с3. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Ч. 1 и 2 . М.: Наука, 1991.4. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматлит, .2008. 686 с.Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

«Перенос энергии излучением»..