Романов А.С., Семиколенов А.В. - Перенос энергии излучением, страница 6

В данном случае «лишнее» условие служит для определения постоянной a .Для динамических переменных аналогично получаем:βr − ση∂r 1 ∂v∂v 1 ∂θ+= 0 , αv − ση += 0,∂η a ∂η∂η a ∂η(6.27)с граничными условиями при η = 0v=0Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».(6.28)33и при η = 1v =0, r =0(6.29)Как видно, здесь функции v ( η,t ) , r ( η,t ) также явно не зависят от t . Интегрируя сучетом граничных условий (6.28), получимηv = ηα σαηβ−1+  ∂v−1+  ∂θ11η  σd η , r = ηβ ση  σdη.∫∫aσ 1∂ηaσ 1∂ηВычислим значения функций v ( η,t ) , r ( η,t ) на стенке, то есть при η = 0 .

Применяяправило Лопиталя, найдемv η=0 = lim v ( η) = −η→01 ∂θ1 ∂θ≠ 0 , v η=0 = lim v ( η) = −≠ 0.η→0aα ∂η η= 0aα ∂η η= 0Как видно, условия непроницаемости стенки для газа оказываются невыполненными.Невыполнение граничного условия в асимптотическом представлении функцииv ( η,t ) означает, что вблизи границы η = 0 есть тонкий пограничный слой, в котором функ-ция v ( η,t ) меняется от значений O(1) на внешней границе слоя до нуля при η = 0 .

Оценитьтолщину этого динамического пограничного слоя можно, считая, что стенка ( η = 0 ) являетсяисточником динамических возмущений, скорость которых равна местной скорости звука12uC ∼ T ( 0, t ) . Тогда, сравнивая законы движения тепловой волны x f ∼ t σ , с законом распро-странения звуковых возмущений xС ∼ tk +22, найдем толщину динамического пограничногослоя: η ∼ t β 2 .Для выяснения асимптотического характера решения в области динамического пограничного слоя перейдем к новой независимой переменной η* =ηи новым зависимым динаεмическим переменнымr * = ε −δ r , v* = ε −ω ⋅ vполагая ε = O ( t β 2 ) и считая, что r * и v* имеют порядок O(1) внутри динамического пограничного слоя. При этом предполагается, что в пределах динамического пограничного слояθ ( η,t ) ≈ θ ( 0,t ) , θ′η ≈ θ′η |η= 0 , θ′′ηη ≈ θ′′ηη |η=0 .То есть, в соответствии с предполагаемым характером процесса, динамические возмущенияслабо влияют на лучистый теплоперенос.Тогда из уравнений (6.25) получим систему уравнений движения газа в новых переменныхОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

«Перенос энергии излучением».34∗ ∗∂r ∗ ε ω−1 ∂v∗ β  ω+δ−1 ∂ ( r v )   δ ∂r ∗ aε δ ∗ ∂r ∗ +t εβε r − ση ε++ t ε−η= 0,a ∂η∗a∂η∗∂η∗   ∂t∂η∗ δ ∗∗ δ∂v∗ θ′η β  ε 2 ω−1 ∗ ∂v∗ε δ−1∂r ∗   ω ∂v∗ a ω ∗ ∂v∗ +t εαε v − ση ε+ +t v+θ− ε η=0,∂η∗ a∂η∗ a (1 + t β ε δ r ∗ ) ∂η∗   ∂t a∂η∗  aω ∗∗ ω∗k θ − σεη θ′η −ω1ε ω−1 ∂v∗   ∂θ a n ′′β ε∗′( θ ) ηη + t  a v θη + ( γ − 1) a θ ∂η∗  + t  ∂t − a θ′η  = 0 .a 2 (1 + t β ε δ r ∗ )Запишем полученную систему в символической форме, выписывая в квадратныхскобках только малые параметры, определяющие асимптотический характер соответствующих слагаемых:ε δ  + ε δ  + ε ω−1  + t β ε δ+ω−1  + t ε δ  = 0 ,000ε ω  − ε ω  + ε 0  + t β ε 2 ω−1  + t β ε δ−1  + t ε ω  = 0 ,000ε0  − [ ε ]0 − ε 0  + t β ε ω  + t β εω−1  + [t ] = 0 .00Здесь индексом «0» отмечены слагаемые, на основе которых найдено «нулевое» приближение (6.27).

Будем считать, что β > 2 , тогда из символических уравнений следуетω = 0, δ = −1 , и одновременно можно записать искомую систему уравнений, являющуюсяследствием уравнений движения газа, асимптотически равномерно при 0 < η < 1 описывающих процесс с точностью до величин порядка O(t ) :β r − σηαv − σηk θ − ση∂r 1 ∂v t β ∂ ( vr )++= O (t ) ,∂η a ∂η a ∂η(6.30)∂v 1 ∂θ t  ∂vθ∂r  = O (t ) ,++ v +∂η a ∂η a  ∂η (1 + t β r ) ∂η ∂θ 1θ∂ 2 θn t β  ∂θ∂r − 2+ v+ ( γ − 1) θ  = O ( t ) ,2β∂η a (1 + t r ) ∂ηa  ∂η∂η и которая должна решаться с выписанными ранее граничными условиями (6.26), (6.28),(6.29).Рассмотрим вначале эту систему при η → 1 , то есть вблизи фронта тепловой волны.Выполнение граничных условий означает, что все функции ϑ , r , v → 0 при η → 1 исправедлива асимптотическая форма уравнений (6.30) вида:2n∂θ 1 ∂ ( θ )∂r 1 ∂v∂v 1 ∂θ=0.−σ += 0 , −σ += 0 , −σ − 2∂η a ∂η∂η a ∂η∂η a ∂η2Откуда, интегрируя с учетом граничных условий, получим:Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

«Перенос энергии излучением».351θθ n −1 2 n −1a σ ⋅ (1 − η )  , v =θ=, r= 2 2.σaa σ nКак видно, производная∂θне существует при n > 2 . Поэтому в этом случае для числен∂η η=1ного интегрирования необходимо пользоваться этими асимптотическими представлениями вокрестности границы η = 1 .Предположим теперь, что функция θ ( η,t ) известна, тогда функции v ( η,t ) и r ( η,t )определяются из уравнений (6.30), которые в каноническом виде записываются∂r R ( η, v ,r,t ) ∂v P ( η, v ,r,t ),,==∂η Q ( η, v ,r ,t ) ∂η Q ( η, v ,r ,t )(6.31)гдеR ( η,v,r,t ) = (1 + t β r ) ⋅ ( aαv + θ′η ) + aβr ⋅ ( aση − t β v ) ,P ( η,v,r ,t ) = aβt βr ⋅ θ+ ( aση − t β v ) ⋅ ( aαv + θ′η ) ,β(1 + t r )2Q ( η,v,t ) = ( aση − t β v ) − t β ⋅θ .Точка ( ηS , v S ,rS ) пространства переменных Ω ( η, v ,r ) в которой выражения R, P, Qодновременно обращаются в нуль, является особой точкой для системы уравнений.

Благодаря наличию особой точки появляется возможность удовлетворить всем граничным условиямпо динамическим переменным (6.28), (6.29) при выборе соответствующей интегральной кривой.Для обнаружения характера интегральной кривой необходимо установить тип особойточки системы уравнений (6.31). Исследовать тип особой точки в общем случае затруднительно, поэтому понизим точность асимптотических уравнений (6.31), ограничиваясь слагаемыми O(1) в символической записи системы уравнений. В этом приближении первых двауравнения системы (6.30) упрощаютсяβr − σηαv − ση∂r 1 ∂v+=0,∂η a ∂η(6.32)∂v 1t β θ ∂r+ θ′η += 0.∂η aa ∂ηИнтегрируя первое уравнение системы (6.32) с учетом граничных условий (6.28),(6.29), найдемОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

«Перенос энергии излучением».36ηr = ηβ σ1∂vξ−( 1+β σ ) d ξ .∫aσ 1∂ξТогда второе уравнение системы (6.32) записывается в видеη−1∂v  2β∂v=  a σαηv + aσηθ′η + ηβ σ θt β ∫ ξ−( 1+β σ )( ξ,t ) d ξ   a 2 σ2η2 − t β θ .∂η σ∂η1Для выяснения типа особой точки рассмотрим последнее уравнение вблизи особойточки, то есть при η → η S , v → v S . Для этого введем новые переменные τ = η − η S , u = v − v Sи линеаризуем последнее уравнение по переменным τ , u : 2β t βθS aσαη+u + BτSσ ηS ∂u ,=∂τ 2a 2 σ2 ηS − t β ( θ′η )  τS(6.33)где постоянная B вычисляется по формулеη β θS S∂v βB = a 2 σαv S + aσ ( ηθ′η )′η  + t β ηS β σ + ( θ′η ) S  ∫ ξ −(1+β σ )( ξ,t ) d ξ ,∂ηS σ σ ηS1а индекс « S » означает, что соответствующая величина определяется при η = η S , то есть вособой точке.

Переменная t в этих соотношениях выступает лишь как параметр.Уравнение (6.33) эквивалентно линейной автономной динамической системе видаdu  2β t βθS =  a σαηS + u + Bτ ,dξ σ ηS dτ= 0 ⋅ u +  2a 2 σ2 ηS − t β ( θ′η )S  τ.dξПоведение динамической системы вблизи точки равновесия u = τ = 0 определяется ее собственными числамиβ t β θSλ1 = a σαηS +; λ 2 = 2a 2 σ2 ηS − t β ( θ′η ) S .σ ηS2Производная θ′η < 0 во всей области определения 0 < η < 1 , поэтому λ1 > 0 , λ 2 > 0 и точкаравновесия динамической системы есть узел.Система уравнений (6.31) также может быть переписана в виде автономной динамической системыОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».37 ∂r ∂ξ = R ( η, v ,r,t )∂v = P ( η, v ,r ,t ) ∂ξ ∂η = Q ( η, v ,r ,t ) , ∂ξ(6.34)где ξ - переменная вдоль интегральной кривой.Положение точек равновесия динамической системы определяется системой алгебраических уравнений R = 0, P = 0, Q = 0 .

Ее особенностью является то, что при выполненииусловия Q = 0 первые два уравнения эквивалентны друг другу:1 + t βrt βθP ( η, v ,r,t )= R ( η, v ,r,t ) .Q =0Следовательно, эти алгебраические уравнения определяют не одну, а целую линию особыхточек в пространстве переменных Ω .Проведенное качественное исследование позволяет предложить метод последовательных приближений для численной реализации системы уравнений (6.30) с граничными условиями (6.26), (6.28), (6.29).

На начальном этапе расчетов движением газа пренебрегается ифункция θ ( η,t ) = θ ( η ) определяется как автомодельное решение задачи для температуры.Затем из системы (6.31) и граничных условий по динамическим переменным (6.28), (6.29)определяются функции v ( η,t ) и r ( η,t ) .

Далее по известным v ( η,t ) и r ( η,t ) из последнегоуравнения системы (6.30) определяется уточненная функция θ ( η,t ) и процесс повторяетсядо достижения необходимой точности.Последнее уравнение системы (6.30) интегрировалось методом Рунге-Кутта по схемечетвертого порядка точности по направлению от границы прогретой зоны η = 1 . Тогда выполнение граничного условия θ |η=0 = 1 позволяет определить величину a (t ) .Для численного интегрирования первых двух уравнений системы (6.30) удобнее перейти к динамической системе (6.32). Предельный переход η → η S соответствует переходуξ → −∞ . Поэтому для построения численного решения во всей области определения0 < η < 1 необходимо рассмотреть две задачи Коши для динамической системы, соответст-вующие двум наборам начальных условийпри η = 1 : v = 0, r = 0и при η = 0 : v = 0, r = r0 .Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».38Так как постоянная r0 заранее неизвестна, то вторая задача Коши определяет, вообщеговоря, однопараметрическое семейство интегральных кривых, образующих некоторую поверхность Ω1 в пространстве переменных Ω .

Причем поверхность Ω1 ограничена линиейособых точек, существование которой показано выше. Значение неизвестной постоянной r0определяется из условия сшивки решений обеих задач Коши в особой точке при ξ → −∞ .Для численного интегрирования указанных задач Коши применялся метод ломаныхЭйлера. Шаг по независимой переменной ξ задавался переменным по формуле∆ξi = (1 + δ ) ∆ξi−1 , где δ - малое число.