Lektsia__8_Konspekt (лекции мжг Харитонов pdf)

Лекция № 8. Динамика вязкой жидкости.Ламинарный (на переднем плане) и турбулентныйрежимы течения при движении подводной лодки.План лекции.1. Уравнение Бернулли для реальной жидкости, коэффициенты Буссинеска и Кориолиса2. Местные гидравлические потери. Теорема Борда3. Потери на трение по длине трубопровода4. Кинематика ламинарного потока5. Гидравлические потери при ламинарном течении.

Закон Пуазейля6. Турбулентное течение. Кинематика турбулентного потока1. Уравнение Бернулли для реальной жидкости, коэффициенты Буссинеска и КориолисаУравнение Бернулли (52) в конспекте лекции № 6 справедливо для условий теоремы Бернуллидля установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости.pV2pV2z1 + 1 + 1 = z2 + 2 + 2ρ ⋅ g 2⋅ gρ ⋅ g 2⋅ gОно выполняется вдоль элементарной трубки тока, причём, значения скорости, давления икоординаты в этом уравнении должны относиться только к одной и той же элементарной трубкетока, к одной и той же траектории. Для разных траекторий, проходящих через поперечное сечениепотока, например, через поперечное сечение трубопровода, трёхчлен Бернулли может приниматьразные значения для разных точек в одном и том же сечении трубопровода.В практических задачах применение уравнения Бернулли для элементарной трубки токаидеальной жидкости не представляет интереса по ряду причин.1) Первая и главная причина – реальные жидкости обладают вязкостью, которая обусловливаетпоявление при движении жидкости внутреннего трения и перехода части кинетической энергиижидкости в тепловую энергию.

Следовательно, в действительности, в отличие от теоремы Бернулли,полная механическая энергия реальной, вязкой жидкости не остаётся постоянной при её движении,а уменьшается. В гидравлике это уменьшение полной механической энергии вследствие тренияжидкости получило название гидравлических потерь. Можно было бы перефразировать теоремуБернулли для реальной жидкости примерно в таком виде:1полная механическая энергия жидкости на входе в трубопровод равна полной механическойэнергии на выходе из него плюс гидравлические потери на участке трубопровода междувходом и выходом.Формально «подправить» уравнение Бернулли не сложно: достаточно добавить в правую частьhпот . Однако, создать методикууравнения ещё одно слагаемое – гидравлические потеривычисления этих потерь – задача чрезвычайно ответственная, сложная и трудоёмкая.2) Вторая трудность применения уравнения Бернулли, полученного для элементарной трубкитока идеальной жидкости, заключается в том, что в инженерной практике очень часто удобнееиспользовать не распределение скорости по поперечному сечению трубопровода, недействительные скорости в каждой точке, а среднюю скорость потока в трубопроводе.

Средняяскорость определяется просто и понятно: средняя скорость равна частному от деления объёмногорасхода на площадь поперечного сечения трубопровода :QVср =(1)SПри этом полезно помнить, что объёмный расход жидкости Q через поперечное сечение Sтрубопровода может быть вычислен интегрированием:Q = ∫ V ⋅ dS(2)SОднако, простая подмена действительной скорости в уравнении Бернулли на среднюю скоростьV2потока не корректна, ибо действительная кинетическая энергия жидкостидля всего потока2gможет существенно отличаться от кинетической энергии этого же потока жидкости, вычисленнойпо средней скорости.Следовательно, при переходе к средней скорости придётся ввести в уравнение Бернуллипоправочный коэффициент.

Этот коэффициент был назван коэффициентом Кориолиса. Конкретныеего значения пришлось определять в ходе трудоёмких экспериментов, и лишь в одном частномслучае коэффициент Кориолиса удалось вычислить аналитически.Лемма о трёх интегралах.а) Первый интеграл связан с понятием средней скорости.

Действительная скорость V и средняяскорость Vср отличаются на величину отклонения Vоткл :V = Vср + Vоткл(3)где Vср есть величина постоянная для данного сечения, а V и Vоткл могут быть различными дляразных точек одного сечения.Преобразуем уравнение (2):Q =∫ V ⋅ dSS=∫ (Vср+ Vоткл ) ⋅ dS =SУчитывая уравнение (1)∫VсрS⋅ dS + ∫ Vоткл ⋅ dS = Vср ⋅ S + ∫ Vоткл ⋅ dSSS( Q = Vср ⋅ S ), получаем:∫VотклS⋅ dS = 0(4)б) Второй интеграл связан с количеством движения.Действительное количество движения K массы жидкости, прошедшей за промежуток времениdt через поперечное сечение S , может получено интегрированием по всему поперечному сечениюследующего выражения:2K =∫ V ⋅ dt ⋅ dS ⋅ ρ ⋅VS= ρ ⋅ dt ⋅ ∫ (Vср + Vоткл ) 2 ⋅ dS =S22= ρ ⋅ dt ⋅ ∫ (Vср2 + 2 ⋅ Vср ⋅ Vоткл + Vоткл) ⋅ dS = ρ ⋅ dt ⋅  Vср2 ⋅ S + 2 ⋅ Vср ⋅ ∫ Vоткл dS + ∫ Vоткл⋅ dS SSS(5)2Среднее слагаемое в круглых скобках равно нулю в силу (4), а выражение ρ ⋅ dt ⋅ Vср ⋅ S можноинтерпретировать как количество движения, вычисленное по средней скорости.

Продолжимупрощение выражения (5):2Vоткл⋅ dS ∫22SK = ρ ⋅ dt ⋅ Vср ⋅ S 1 + = ρ ⋅ dt ⋅ Vср ⋅ S ( 1 + η ) = Kср ⋅ α 02Vср ⋅ S Здесь приняты следующие обозначения:K ср = ρ ⋅ dt ⋅ Vср2 ⋅ S - количество движения, вычисленное по средней скорости∫V2отклη =⋅ dS(7)(8)SVср2 ⋅ Sα0 = 1 + η(6)- коэффициент Буссинеска(9)в) Третий интеграл связан с понятием кинетической энергии жидкости. Кинетическая энергиямассы жидкости M , прошедшей через сечение S за промежуток времени dt равна:V2V2ρ ⋅ dtE = ∫⋅ dM = ∫⋅ ρ ⋅ V ⋅ dt ⋅ dS =⋅ ∫ V 3dS222 SSSПродолжим упрощение выражения (10):(10)ρ ⋅ dtρ ⋅ dt23⋅ ∫ (Vср + Vоткл )3 dS =⋅ ∫ (Vср3 + 3 ⋅ Vср2 ⋅ Vоткл + 3 ⋅ Vср ⋅ Vоткл+ Vоткл) ⋅ dS(11)2 S2 Sρ ⋅ dt 3⋅ Vср ⋅ S можноВторое слагаемое в круглых скобках равно нулю в силу (4), а выражение2интерпретировать как кинетическую энергию жидкости, вычисленную по средней скорости.Продолжим упрощение выражения (11), :23 ⋅ ∫ Vоткл⋅ dS 3ρ ⋅ dt ⋅Vср ⋅ S E =⋅ 1 + S 2(12) = Eср ⋅ (1 + 3 ⋅η ) = Eср ⋅ α2V⋅Sсрρ ⋅ dt3⋅ ∫ Vоткл⋅ dS как малая величина и введеныВ выражении (12) было отброшено слагаемое2 Sобозначения:ρ ⋅ dt 3Eср =⋅ Vср ⋅ S - кинетическая энергия, вычисленная по средней скорости(13)2E =α = 1 + 3 ⋅η3- коэффициент Кориолиса(14)Очевиден физический смысл коэффициента Кориолиса: он выражает отношение действительнойкинетической энергии к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости.Докажите самостоятельно, что между коэффициентами Буссинеска и Кориолиса существуетследующая зависимость:α = 3 ⋅α 0 − 2(15)3) Третья проблема перехода от уравнения Бернулли, полученного для элементарной трубкитока, к уравнению, справедливому для всего поперечного сечения потока, заключается в том, чтоpдля разных точек поперечного сечения координата z (геометрический напор)иρg(пьезометрическая высота) принимают различные значения.Если, однако, мы применяемуравнение Бернулли к расчёту трубопровода конечных размеров и выбираем сечения на участках,где движение жидкости близко к равномерному, параллельно струйному течению ( Vx = V = const), то в силу уравнения Бернуллиpzi + i = const по всему поперечному сечению трубопровода(16)ρ⋅gИтак, уравнение Бернулли можно применять к движению реальной вязкой жидкости втрубопроводах конечных размеров, выбирая сечения на ровных участках, внутри которых течениежидкости можно считать, близким к равномерному течению, в следующей редакции (здесьсимволами V1 и V2 обозначены средние скорости в сечениях 1-1 и 2-2):p1V12p2V22z1 ++ α1= z2 ++ α2+ hпотρ⋅g2⋅ gρ⋅g2⋅ g(17)2.

Местные гидравлические потери. Теорема БордаГидравлические потери неизбежны при любом течении реальной жидкости, но ихинтенсивность зависит от многих факторов. На ровных участках трубопровода гидравлическиепотери пропорциональны длине трубопровода, но иногда, на местных гидравлическихсопротивлениях локальные (местные) гидравлические потери могут быть очень большими.Местными сопротивлениями могут быть местные сужения поперечного сечения, например,вентили и задвижки, внезапные сужения и повороты, которые вызывают резкое изменениевеличины и направления скорости.Различают местные гидравлические потери hм и гидравлические потери по длинетрубопровода hтр .Величину местных гидравлических потерь принято определять по формуле Дарси:V2hм = ς м ⋅ м2⋅ gв которой приняты обозначения ς м - коэффициент местных потерь (коэффициент Дарси),Vм - средняя скорость в наиболее узком сечении местного гидравлического сопротивления.Анри Дарси (1803-1858) французский инженер-гидравлик,обосновавший закон Дарси (1856).

В 1833 г. муниципалитет г. Дижонобратился к молодому инженеру-гидрологу с предложением создатьпроект очистки городских вод и выделил 55 тысяч франков длястроительства очистных сооружений - сумма по тем временам весьмаи весьма солидная. Все водные источники, каналы, подземные водыэтого города были чрезвычайно загрязнены. Энергия, воля, научнаястрасть Дарси привели к созданию первой в Европе системыгородских очистных сооружений, расчет которых он производил наоснове открытой им формулы. Впоследствии именно г.

Дижон сталдля всей Европы эталоном очистных сооружений, красивыхфонтанных ансамблей, чистых источников.4(18)В 1856 г. Дарси опубликовал свои научные результаты по фильтрации различных природныхсред, используемых для очистки городских вод. Эти достижения обессмертили его имя, иблагодарные дижонцы выгравировали на его могиле слова: «Он задумал этот проект, сделалнеобходимые исследования, произвел все работы, благодаря которым в Дижоне появилась вдостатке чистая городская вода.

Бесконечная благодарность его таланту и самоотверженности отего родного города».Коэффициент Дарси приходится практически всегда находить опытным путём. Всеэкспериментальные данные, полученные за многие годы исследований в разных странах,систематизированы в гидравлических справочниках, среди которых наиболее популяренполучивший международное признание«Справочник по гидравлическим сопротивлениям»советского учёногоИсаакаЕвсеевича Идельчика, доктора технических наук, создателялаборатории аэродинамики НИИОГАЗ.Теорема Борда-Карно (1766 г.). Гидравлические потери при внезапном расширении потокаможно вычислить с помощью теоремы Борда-Карно :потери при внезапном расширении потока равны скоростному напору,вычисленному по «потерянной скорости».hрасш =(V1 − V2 ) 22⋅ g(19)Сопоставляя формулы (18) и (19) .

получаем:2hм = hрасш V  V2= 1 − 2  ⋅ 1 (20) V1  2 ⋅ gСледовательно, коэффициент Дарси длявнезапного расширения трубопровода равен:2ς расш2 V  S = 1 − 2  = 1 − 1  (21) V1  S2 Как следствие из уравнений ( 21) вытекает вывод: гидравлические потери при выходежидкости из трубопровода в бесконечно большой объём жидкости равны скоростному напору, акоэффициент Дарси равен 1.ς вых = 1(22)Эксперименты показали, что гидравлические потери при внезапном сужении поперечногосечения потока от S1 до сечения S 2 ( S1 > S2 ) равны:22 V  S ς суж = 0.5 ⋅ 1 − 1  = 0.5 ⋅ 1 − 2 (23) V2  S1 и , следовательно, коэффициент Дарси при входе жидкости из сосуда большой ёмкости втрубопровод равенς вх = 0.5(24)3. Потери на трение по длине трубопроводаЕсли гидравлическое сопротивление представляет собой участок трубопровода длиной l идиаметром d , то коэффициент Дарси в формуле (18) определяется следующим образом:lς = λ⋅(25)d5где λ — коэффициент сопротивления трения по длине трубопровода.Величину гидравлических потерь по длине трубопровода вычисляют по формуле ВейсбахаДарси:hтр = λ ⋅l V2⋅d 2⋅ g(26)Коэффициент сопротивления трения λ зависит от многих параметров, определяется вбольшинстве случаев экспериментальным путём.