Lektsia__14_Konspekt (лекции мжг Харитонов pdf)

Лекция № 14. Закон трения СтоксаПлан лекции1. Закон трения Стокса (обобщённый закон трения Ньютона).2. Вывод закона Стокса в главной системе координат.3. Вывод закона Стокса в произвольной системе координат.1. Закон трения Стокса (обобщённый закон трения Ньютона).Джордж Габрие́ль Стокс (1819 —1903) — английскийфизик-теоретик, математик ирландского происхождения.Работал в Кембриджском университете в должностипрофессора, заведующего кафедрой математики (как иИсаак Ньютон), внёс значительный вклад в гидро- игазодинамику, оптику и математическую физику,президент Лондонского королевского общества, членпарламента Англии от Кембриджского университета,член Военно-медицинской Академии Петербурга.

ЛекцииСтокса оказали чрезвычайно сильное влияние наформирование Максвелла как учёного. Кстати, Максвеллне пропустил ни одной лекции Стокса. Джордж Габрие́льСтокс был увлекающимся человеком, высочайшимпрофессионалом в математике. Закон трения Стокса,гипотеза Стокса – его фундаментальный вклад в механикужидкости и газа. В честь Джорджа Стокса названаединица кинематической вязкости стокс, Ст, м2/с.Вы уже знакомы с законом Ньютона для внутреннего трения в жидкости, которыйсвязывает между собой напряжение τ внутреннего трения (напряжение сдвига) и градиентскорости V .dV(1)τ = µ⋅dyЭта зависимость была получена опытным путём и предложена Исааком Ньютоном в1687 году для одномерного движения несжимаемой жидкости.

Коэффициентпропорциональности µ , Па.с , называют коэффициентом динамической вязкости.Формула (1) отражает гипотезу И.Ньютона о том, что напряжения сдвига придвижении жидкости прямо пропорциональны скорости угловой деформации. Обобщение этойгипотезы на случай трёхмерного пространства осуществил Джордж Стокс. Полученный им законназывают обобщённым законом Ньютона или законом Стокса для внутреннего трения вжидкости.Связь между напряжённым состоянием жидкости и скоростью её деформации зависит отсвойств жидкости и может быть найдена только эмпирическим путём. Закон трения Стоксаустанавливает соотношение напряжённого состояния жидкости и скоростями деформаций впредположении, что эта связь является линейной, аналогично закону Ньютона.1Это означает, что каждый элемент тензора напряжений может быть выражен черезэлементы тензора деформаций линейным образом.

Вспомним выражения этих тензоров из лекций2 и 5:PxxП = PyxPzxPxyPyyPzyPxzPyzPzzε x ε xyE = ε yx ε yε zx ε zyТогда имеем 9 линейных уравнений с постоянными коэффициентамиε xzε yzεz(2)ai . Например, одно из них:Pxx = a0 + a1 ⋅ ε x + a2 ⋅ ε xy + a3 ⋅ ε xz + a4 ⋅ ε yx + a5 ⋅ ε y + a6 ⋅ εyz + a7 ⋅ εzx + a8 ⋅ εzy + a9 ⋅ εz(3)Физический смысл каждого из коэффициентов ai , кроме a0 , означает динамическуювязкость жидкости. В законе Ньютона для одномерного движения жидкости есть только одинкоэффициент пропорциональности – динамическая вязкость. А для трёхмерного пространстваимеем восемьдесят одну вязкость одной и той же жидкости при одной и той же температуре !На первый взгляд это кажется парадоксальным, так как мы привыкли иметь дело соднозначным определением динамической вязкости опытнымпутём с помощью вискозиметра, принцип действия которогооснован на измерении времени протекания заданного объёмажидкости через трубку при заданной разнице давлений.

Однако,коэффициенты могут и совпадать по величине, и поэтому сходуотказываться от дальнейших выкладок из-за кажущеёсяабсурдности ситуации преждевременно. Во-первых, мы знаем,что оба тензора (2) являются симметричными тензорами исодержат в общем случае лишь по шесть несовпадающихвеличин. Следовательно, не 81, а 36 коэффициентов ! Но и это невсё.Вспомним, что в главных осях координат каждый изтензоров (2) принимает диагональный вид и содержит в общемслучае лишь по три несовпадающих величины. Естественно ожидать, что закон внутреннеготрения жидкости не зависит от выбора системы координат, и вязкости должны бытьинвариантными величинами относительно поворота осей координат в конкретной точке.В главных осях координат (а Вы знаете, что главные оси тензора напряжения и тензорадеформаций совпадают) искомых коэффициентов пропорциональности будет только 9.

По этойпричине вывод закона трения Стокса проведём сначала для главной системы координат, в нейопределить коэффициенты будет проще, а лишь потом перенесём полученный результат напроизвольную систему координат.Особое внимание обратим на коэффициент a0 в уравнении (3). Рассмотренные ранеечетыре вида движения жидкости характеризуются следующими величинами:- поступательное (чисто параллельное) перемещение жидкости определяетсясоставляющими Vx , Vy , Vz скорости V ;- вращательное (как твёрдое тело) движение определяется составляющими ω x , ω y , ωzугловой скорости ω ;- линейное (или объёмное) расширение (сжатие) определяется скоростью линейнойотносительной деформации ε x , ε y , ε z или ε W ;- искажение геометрической формы определяется скоростями относительной угловойдеформации ε xy , ε yz , ε zx .Только два последних движения вызывают деформацию элемента жидкости; первые же двадвижения даже в самом общем случае вызывают только смещение элемента жидкости из егопервоначального положения.2Тензор напряжения для покоящейся жидкости имеет вид:Π st−p 00= 0 −p 000 −pилиΠ st1 0 0= − p⋅ 0 1 00 0 1Девиатор тензора напряжений.Девиатором тензора напряжений называют тензор, которомуравная разницы матрицы текущего напряжённого состояниянапряжённого состояния:p*xx p*xy p*xzpxx pxy pxz−p 0***D ≡ p yx p yy pyz = pyx pyy pyz − 0 − pp*zx pzy* pzz*pzx pzy pzz00(4)соответствует матрица D ,и матрицы статического00−p(5)Нормальные напряжения девиатора тензора напряжений и нормальные напряжения тензоранапряжений связаны соотношениями:p*xx = pxx + p ; p*yy = pyy + p ; p*zz = pzz + p(6)Свойства девиатора тензора напряжения:1) Матрица девиатора тензора напряжения симметрична , поскольку симметричны матрицы,разницей которых она является, см.

(5);2) Девиатор тензора напряжения покоящейся жидкости тождественно равен нулюDst−p 00−p 00−p 00≡ Π st − 0 − p 0 = 0 − p 0 − 0 − p 0 = 000 −p00 −p00 −p(7)3) В главной системе координат девиатор тензора напряжений имеет диагональный вид, таккак матрицы тензора напряжений в главных осях и тензор напряженного состоянияпокоящейся жидкости имеют диагональный вид;4) Элементы девиатора тензора напряжений не зависят от величин Vx , Vy , Vz и ω x , ω y , ωz .Действительно, эти величины определяют поступательное и вращательное движениежидкости; такое движение представляет собой движение квазитвёрдого тела, которое несопровождается ни линейными, ни угловыми деформациями.2. Вывод закона Стокса в главной системе координат.В главнойдиагональный вид.системе координат ( 0, x ', y ', z ' ) девиатор тензора напряжений D ' принимает p*x ' x '00 D' =  0p*y ' y '0 (8)* 00pz ' z ' Как было уже отмечено, из всех величин, определяющих движение и напряжённоесостояние жидкости ( Vx ' , Vy ' ,Vz ' , ω x ' , ω y ' , ωz ' , ε x ' , ε y ' , ε z ' , ε x ' y ' , ε y ' z ' , ε z ' x ' ), лишь три величины влияют наэлементы девиатора тензора напряжений в главной системе координат.

Это величины ε x ' , ε y ' , ε z ' .Заметим, что скорости угловых деформаций ε x ' y ' , ε y ' z ' , ε z ' x ' в главной системе координат равнынулю.3Следовательно, линейная зависимость напряжений от скорости угловых деформаций***является прямо пропорциональной зависимостью напряжений px ' x ' , p y ' y ' , pz ' z ' от скоростейугловых деформаций ε x ' , ε y ' , ε z ' . Запишем эти зависимости в общем виде:p*x ' x ' = a11 ⋅ ε x ' + a12 ⋅ ε y ' + a13 ⋅ ε z '(9)p*y'y'= a21 ⋅ ε x ' + a22 ⋅ ε y ' + a23 ⋅ ε z '(10)p*z 'z '= a31 ⋅ ε x ' + a32 ⋅ ε y ' + a33 ⋅ ε z '(11)Теперь наша задача упростилась, нам надо найти значения всего лишь 9 коэффициентов,но сделать это без ещё одного очень важного допущения мы не сможем.Этим допущением является допущение об изотропности жидкости.

До сих пор мы нигде неиспользовали это допущение. Теперь же в дальнейшем будем оговаривать, что все полученныениже формулы имеют силу лишь для изотропных жидкостей, для которых можно считать всесвойства независимыми от направления в пространстве. Очевидно, что это допущение не являетсяобременительным, поскольку анизотропия свойственна лишь неньютоновским жидкостям,которые мы не рассматриваем, и жидким кристаллам.Для изотропных жидкостей уравнения (9-11) сохраняются при любом выборе направленийкоординатных осей, то-есть коэффициенты aij перед скоростями угловых деформаций должнысохранять свои значения при любом направлении координатных осей. Это так же естественно, какутверждать, что динамическая вязкость в законе трения Ньютона одинакова при движениижидкости в трубе в любом направлении: вправо, влево, вверх или вниз под углом.

Воспользуемсясвойством изотропии и запишем уравнения (9-11) в другой системе координат, где ось 0 x 'заменена на ось 0 z ' , а ось 0 z ' заменена на ось 0 x ' . Тогда уравнения (9-11) в новой системекоординат примут вид:p*z ' z ' = a11 ⋅ ε z ' + a12 ⋅ ε y ' + a13 ⋅ ε x '(12)p*y ' y ' = a21 ⋅ ε z ' + a22 ⋅ ε y ' + a23 ⋅ ε x '(13)= a31 ⋅ ε z ' + a32 ⋅ ε y ' + a33 ⋅ ε x '(14)p*x'x'Коэффициенты aij , стоящие перед скоростями угловых деформаций, например, перед ε x ' ,должны быть одинаковыми в любой системе координат. Поэтому из сопоставления уравнений (9)и (14) следует:a11 = a33равенство коэффициентов перед ε x ' :(15)a12 = a32равенство коэффициентов перед ε y ' :(16)равенство коэффициентов перед ε z ' :a13 = a31(17)Запишем теперь уравнения (9-11) в системе координат, где ось 0 x ' заменена на ось 0 y ' , аось 0 y ' заменена на ось 0 x ' .

Тогда уравнения (9-11) в этой системе координат примут вид:p*y ' y ' = a11 ⋅ ε y ' + a12 ⋅ ε x ' + a13 ⋅ ε z '(18)p*x ' x ' = a21 ⋅ ε y ' + a22 ⋅ ε x ' + a23 ⋅ ε z '(19)p*z ' z ' = a31 ⋅ ε y ' + a32 ⋅ ε x ' + a33 ⋅ ε z '(20)Из сопоставления уравнений (13) и (18) следует:равенство коэффициентов перед ε x ' :равенство коэффициентов перед ε y ' :равенство коэффициентов перед ε z ' :4a12 = a23(21)a11 = a22(22)a13 = a21(23)Из сопоставления уравнений (14) и (19) следует:a21 = a32равенство коэффициентов перед ε y ' :a23 = a31равенство коэффициентов перед ε z ' :Подведём итоги:a11 = a22 = a33 = αa12 = a21 = a13 = a23 = a13 = a31 = βИсходные уравнения (9-11) принимают вид:p*x ' x ' = α ⋅ ε x ' + β ⋅ (ε y ' + ε z ' ) = (α − β ) ⋅ εx ' + β ⋅ (εx ' + εy ' + εz ' )(24)(25)(26)(27)(28)p*y'y'= α ⋅ ε y ' + β ⋅ (ε x ' + ε z ' ) = (α − β ) ⋅ ε y ' + β ⋅ (εx ' + εy ' + εz ' )(29)p*z'z'= α ⋅ ε z ' + β ⋅ (ε x ' + ε y ' ) = (α − β ) ⋅ εz ' + β ⋅ (εx ' + εy ' + εz ' )(30)Для коэффициентов α и β были введены новые обозначения:α − β = 2⋅µβ =λВ новых обозначениях уравнения (28-30) принимают вид:p*x ' x ' = 2 ⋅ µ ⋅ ε x ' + λ ⋅ (ε x ' + ε y ' + ε z ' )(31)(32)p*y ' y ' = 2 ⋅ µ ⋅ ε y ' + λ ⋅ (ε x ' + ε y ' + ε z ' )(34)(33)p*z ' z ' = 2 ⋅ µ ⋅ ε z ' + λ ⋅ (ε x ' + ε y ' + ε z ' )(35)В развёрнутом виде с учётом уравнений (6) получаем закон трения Стокса в главнойсистеме координат:∂Vy ' ∂Vz '∂V∂Vpx ' x ' = − p + 2 ⋅ µ ⋅ x ' + λ ⋅ ( x ' ++)(36)∂x '∂x '∂y '∂z '∂V∂V∂V∂Vpy ' y ' = − p + 2 ⋅ µ ⋅ y ' + λ ⋅ ( x' + y ' + z ' )(37)∂y '∂x '∂y '∂z '∂Vy ' ∂Vz '∂V∂Vpz ' z ' = − p + 2 ⋅ µ ⋅ z ' + λ ⋅ ( x ' ++)(38)∂z '∂x '∂y '∂z 'В законе трения Стокса коэффициент µ - это знакомая нам динамическая вязкость.Коэффициент λ получил название второй или объёмной вязкости.