Lektsia__14_Konspekt (лекции мжг Харитонов pdf), страница 2

Физическая природа второйвязкости долгое время оставался непознанной. Для несжимаемой жидкости, для которой∂Vy ' ∂Vz '∂V+) равна нулю, вторая вязкость не играет роли.дивергенция вектора скорости ( x ' +∂x '∂y '∂z '3. Вывод закона Стокса в произвольной системе координат.Обратите внимание: закону трения Стокса в главной системе координат соответствуют триуравнения – зависимости нормальных напряжений от скоростей относительных линейныхдеформаций, три напряжения от трёх скоростей деформаций.В произвольной системе координат в общем случае закон трения Стокса должен будетотображать зависимость уже шести напряжений от шести скоростей деформаций. Для того, чтобыполучить закон трения Стокса в общем виде, достаточно в уравнениях (36-38) заменитькоординаты и величины в главной системе координат на аналогичные величины в произвольнойсистеме координат.

Иными словами, нам нужно иметь соотношения для координат, скоростей,напряжений, скоростей относительных линейных и угловых деформаций в системах координат,которые можно совместить простым поворотом осей координат.5Соотношения координат при повороте осей координат.Обозначим направляющие косинусы главных осей координат следующим образом:axx ' = cos(0 x, 0 x ')Тогда нужные нам соотношения можно записать так:x ' = ax ' x ⋅ x + ax ' y ⋅ y + ax ' z ⋅ z(39)y ' = a y ' x ⋅ x + a y ' y ⋅ y + ay ' z ⋅ z(40)z ' = az ' x ⋅ x + az ' y ⋅ y + az ' z ⋅ z(41)иx = ax ' x ⋅ x ' + ay ' x ⋅ y ' + az ' x ⋅ z '(42)y = ax ' y ⋅ x ' + ay ' y ⋅ y ' + az ' y ⋅ z '(43)z = ax ' z ⋅ x ' + ay ' z ⋅ y ' + az ' z ⋅ z '(44)Учтём, что орты систем координат связаны соотношениями:i = ax ' x ⋅ i ' + ay ' x ⋅ j ' + az ' x ⋅ k 'j = ax ' y ⋅ i ' + ay ' y ⋅ j ' + az ' y ⋅ k 'Свойства скалярного произведения позволяют получить несколько соотношений, которыепотребуются нам чуть позже.

Из равенств(45)(i ⋅ j ) = 0; (i ⋅ k ) = 0; (k ⋅ j ) = 0следует:ax ' x ⋅ ax ' y + a y ' x ⋅ ay ' y + az ' x ⋅ az ' y = 0(46)ax ' y ⋅ ax ' z + a y ' y ⋅ ay ' z + az ' y ⋅ az ' z = 0(47)ax ' z ⋅ ax ' x + a y ' z ⋅ ay ' x + az ' z ⋅ az ' x = 0(48)ax ' x ⋅ a y ' x + ax ' y ⋅ ay ' y + ax ' z ⋅ ay ' z = 0(49)a y ' x ⋅ az ' x + ay ' y ⋅ az ' y + ay ' z ⋅ az ' z = 0(50)az ' x ⋅ ax ' x + az ' y ⋅ ax ' y + az ' z ⋅ ax ' z = 0(51)Из равенств(i ⋅ i ) = 1; ( j ⋅ j ) = 1; (k ⋅ k ) = 1следует:ax2' x + a y2' x + az2' x = 1a2x' y+aa2x'za2x'xa2y'x+aa2z'x+a(52)2z' y+a=1(53)2z'z+a=1(54)2y' y+a2y'z+a2x' y+a=1(55)2y 'z=1(56)2z'z=12x' z2y' y+a2z'y+a(57)Маленький секрет. Как не перепутать индексы в этих простых и важных соотношениях ?Я с самого начала нарисовал «шпаргалку», которой всё время пользовался, вот она:xyzx ' a x ' x a x ' y ax ' z(58)y ' a y ' x a y ' y ay ' zz ' az ' x az ' x az ' xЗапомнить, как построена «шпаргалка», нетрудно, а как пользоваться ею, я показывал насвоём примере.

Далее она нам снова пригодится.6Соотношение скоростей в главной и произвольной системах координат.Искомые соотношения можно получить из соотношений (39-44), используя определениескорости:dxdydzdx 'dy 'dz 'Vx =, Vy =, Vz =, Vx ' =, Vy ' =, Vz ' =(59)dtdtdtdtdtdtДифференцируя соотношения (39-44) по времени, получаем:Vx ' = ax ' x ⋅ Vx + ax ' y ⋅Vy + ax ' z ⋅ Vzи(60)Vy / = a y ' x ⋅ Vx + ay ' y ⋅Vy + ay ' z ⋅Vz(61)Vz ' = az ' x ⋅Vx + az ' y ⋅ Vy + az ' z ⋅ Vz(62)Vx = ax ' x ⋅ Vx ' + ay ' x ⋅Vy ' + az ' x ⋅ Vz '(63)Vy = ax ' y ⋅Vx ' + ay ' y ⋅Vy ' + az ' y ⋅Vz '(64)Vz = ax ' z ⋅Vx ' + ay ' z ⋅ Vy ' + az ' z ⋅ Vz '(65)Соотношение скоростей относительных линейных деформаций в главной ипроизвольной системах координат.Прежде всего, отметим, чтов главной системе координат угловые деформацииотсутствуют, и, следовательно,∂V∂V∂Vx '∂V∂V∂V= 0, y ' = 0, x ' = 0, z ' = 0, y ' = 0, z ' = 0(66)∂y '∂x '∂z '∂x '∂z '∂y 'Напомним, что проекции скорости на оси координат являются сложными функциямичетырёх независимых переменных и справедливо выражение:∂Vx ∂Vx ∂x ' ∂Vx ∂y ' ∂Vx ∂z '=⋅+⋅+⋅(67)∂x∂x ' ∂x∂y ' ∂x∂z ' ∂x∂Vy ∂Vy ∂x ' ∂Vy ∂y ' ∂Vy ∂z '=⋅+⋅+⋅(68)∂y∂x ' ∂y∂y ' ∂y∂z ' ∂y∂Vz ∂Vz ∂x ' ∂Vz ∂y ' ∂Vz ∂z '=⋅+⋅+⋅(69)∂z∂x ' ∂z∂y ' ∂z∂z ' ∂zОтметим, что∂x '∂y '∂z '∂x '∂y '∂z '∂x '∂y '∂z '= ax ' x ,= ay ' x ,= az ' x ,= ax ' y ,= ay ' y ,= az ' y ,= ax ' z ,= ay ' z ,= az ' z (70)∂x∂x∂x∂y∂y∂y∂z∂z∂zПродифференцируем уравнение (63) трижды: по x ' , по∂V∂Vx∂V∂V= ax ' x ⋅ x ' + ay ' x ⋅ y ' + az ' x ⋅ z ' = ax ' x∂x '∂x '∂x '∂x '7y ' и по z ' :∂V⋅ x'∂x '(71)∂V∂V∂Vx∂V∂V= ax ' x ⋅ x ' + ay ' x ⋅ y ' + az ' x ⋅ z ' = ay ' x ⋅ y '∂y '∂y '∂y '∂y '∂y '(72)∂V∂Vx∂V∂V∂V= ax ' x ⋅ x ' + ay ' x ⋅ y ' + az ' x ⋅ z ' = az ' x ⋅ z '∂z '∂z '∂z '∂z '∂z '(73)Подставим в уравнение (67) выражения (68-71) :∂V∂Vx∂V∂V= ax2' x x ' + ay2 ' x y ' + az2' x z '∂x∂x '∂y '∂z 'Повторив предыдущие выкладки с уравнениями (64) и (65), получим:∂Vy∂V∂V∂V= ax2' y x ' + ay2 ' y y ' + az2' y z '∂y∂x '∂y '∂z '∂V∂V∂Vz∂V= ax2' z x ' + ay2 ' z y ' + az2' z z '∂x∂x '∂y '∂z '(74)(75)(76)Соотношение скоростей угловых деформаций в главной и произвольной системахкоординат.На лекции № 5 мы познакомились с понятием скорости угловой деформации.В произвольной системе координат мы получили следующие выражения:1  ∂V ∂V ε xz = ε zx = ⋅  z + x (77)2  ∂x∂z 1  ∂V ∂V ε xy = ε yx = ⋅  y + x (78)2  ∂x∂y 1  ∂Vz ∂Vy ⋅+(79)2  ∂y∂z Аналогично тому, как мы получили формулу (67), вычислим частную производную от Vyε yz = ε zy =по z :∂Vy∂z=∂Vy ∂x ' ∂Vy ∂y ' ∂Vy ∂z '⋅+⋅+⋅∂x ' ∂z∂y ' ∂z∂z ' ∂z(80)Продифференцируем уравнение (64) трижды: по x ' , по y ' и по z ' с учётом (70):∂Vy∂V∂V∂V∂V(81)= ax ' y ⋅ x ' + ay ' y ⋅ y ' + az ' y ⋅ z ' = ax ' y ⋅ x '∂x '∂x '∂x '∂x '∂x '∂Vy∂y '∂Vy= ax ' y ⋅∂V∂V∂Vx '∂V+ ay ' y ⋅ y ' + az ' y ⋅ z ' = ay ' y ⋅ y '∂y '∂y '∂y '∂y '∂V∂Vx '∂V∂V+ ay ' y ⋅ y ' + az ' y ⋅ z ' = az ' y ⋅ z '∂z '∂z '∂z '∂z '∂z 'Подставим в уравнение (80) выражения (70, 81-83) :∂Vy= ax ' y ⋅∂V∂Vx '∂V+ ay ' z ⋅ ay ' y ⋅ y ' + az ' y ⋅ az ' z ⋅ z '∂z∂x '∂y '∂z 'Повторим выкладки (80-84) для частной производной от Vz по y :∂Vz ∂Vz ∂x ' ∂Vz ∂y ' ∂Vz ∂z '=⋅+⋅+⋅∂y∂x ' ∂y∂y ' ∂y∂z ' ∂y8= ax ' y ⋅ ax ' z ⋅(82)(83)(84)(85)Дифференцируем уравнение (65) трижды: по x ' , по y ' и по z ' с учётом (70):∂V∂V∂V∂Vz∂V= ax ' z ⋅ x ' + ay ' z ⋅ y ' + az ' z ⋅ z ' = ax ' z ⋅ x '∂x '∂x '∂x '∂x '∂x '∂V∂V∂V∂Vz∂V= ax ' z ⋅ x ' + ay ' z ⋅ y ' + az ' z ⋅ z ' = ay ' z ⋅ y '∂y '∂y '∂y '∂y '∂y '∂V∂V∂Vz∂V∂V= ax ' z ⋅ x ' + ay ' z ⋅ y ' + az ' z ⋅ z ' = az ' z ⋅ z '∂z '∂z '∂z '∂z '∂z 'Подставим в уравнение (85) выражения (70, 86-88) :∂V∂V∂Vz∂V= ax ' y ⋅ ax ' z ⋅ x ' + ay ' y ⋅ ay ' z y ' + az ' y ⋅ az ' z z '∂y∂x '∂y '∂z '(86)(87)(88)(89)Подставим в уравнение (79) выражения из уравнений (84) и (89) :ε yz = ε zy = ax ' y ⋅ ax ' z ⋅И аналогично:∂V∂Vx '∂V+ ay ' z ⋅ ay ' y ⋅ y ' + az ' y ⋅ az 'z ⋅ z '∂x '∂y '∂z '∂V∂Vx '∂V+ ay ' x ⋅ ay ' y ⋅ y ' + az ' x ⋅ az ' y ⋅ z '∂x '∂y '∂z '∂V∂V∂V= ax ' z ⋅ ax ' x ⋅ x ' + ay ' z ⋅ ay ' x ⋅ y ' + az 'z ⋅ az ' x ⋅ z '∂x '∂y '∂z '(90)ε xy = ε yx = ax ' x ⋅ ax ' y ⋅(91)ε zx = ε xz(92)Отметим, что сложив уравнения (74-76) и используя равенства (52-54), имеем:∂Vx ∂Vy ∂Vz ∂Vx ' ∂Vy ' ∂Vz '++=++(93)∂x∂y∂z∂x '∂y '∂z 'Соотношение напряжений в главной и произвольной системах координат.Рассмотрим главную систему координат ( x ', y ', z ' ) вточке 0 и произвольную систему координат ( x, y , z ) вэтойжеточке.Проведёмплоскость,перпендикулярную оси 0 y , и рассмотрим тетраэдрАВС0.Как было показано на предыдущих лекциях, пристремлении объёма тетраэдра к нулю массовымисилами можно пренебречь в сравнении споверхностными.Применим принцип Д’Аламбера, согласно которомусумма всех сил, действующих на частицы тетраэдра,и сил инерции равна нулю.

В проекции на ось 0y, отбрасывая слагаемые с массовыми силами,получим следующее уравнение:− p yy ⋅ S ABC + px ' x ' ⋅ S0BC ⋅ ax ' y + py ' y ' ⋅ SAB 0 ⋅ ay ' y + pz ' z ' ⋅ SA 0C ⋅ az ' y = 09(94)Мы уже отмечали на прошлых лекциях, чтоS0 BC = S ABC ⋅ ax ' y ,S AB 0 = S ABC ⋅ ay ' y ,S A0C = S ABC ⋅ az ' y(95)Подставим (95) в (94):p yy = ax2' y ⋅ px ' x ' + ay2 ' y ⋅ py ' y ' + az2' y ⋅ pz ' z '(96)Повторив все выкладки для площадок АВС, перпендикулярных осям 0x и 0z:pxx = ax2' x ⋅ px ' x ' + ay2 ' x ⋅ py ' y ' + az2' x ⋅ pz ' z '(97)pzz = ax2' z ⋅ px ' x ' + a2y ' z ⋅ py ' y ' + az2' z ⋅ pz ' z '(98)Применим принцип Д’Аламбера к проецированию сил на ось 0х:− p yx ⋅ S ABC + px ' x ' ⋅ S0BC ⋅ ax ' x + py ' y ' ⋅ SAB 0 ⋅ ay ' x + pz 'z ' ⋅ SA 0C ⋅ az ' x = 0(99)Произведём сокращение на S ABC :p yx = pxy = ax ' y ⋅ ax 'x ⋅ px ' x ' + ay ' y ⋅ ay 'x ⋅ py ' y ' + az ' y ⋅ az ' x ⋅ pz ' z '(100)Повторив все выкладки для площадок АВС, перпендикулярных осям 0x и 0z:p yz = pzy = ax ' y ⋅ ax ' z ⋅ px ' x ' + ay ' y ⋅ ay ' z ⋅ py ' y ' + az ' y ⋅ az ' z ⋅ pz ' z '(101)pzx = pxz = ax ' z ⋅ ax ' x ⋅ px ' x ' + ay ' z ⋅ ay 'x ⋅ py ' y ' + az ' z ⋅ az ' x ⋅ pz ' z '(102)Вывод закона трения в произвольной системех координат.Используем в уравнении (97) закон трения Стокса в главной системе координат – заменимнормальные напряжения их зависимостями от деформаций по уравнениям (36-38):∂Vy ' ∂Vz ' ∂V∂Vpxx = ax2' x ⋅  − p + 2 ⋅ µ ⋅ x ' + λ ⋅ ( x ' ++) +∂x '∂x '∂y '∂z ' ∂V∂V∂V∂V a 2y ' x ⋅  − p + 2 ⋅ µ ⋅ y ' + λ ⋅ ( x ' + y ' + z ' )  +(103)∂y '∂x '∂y '∂z ' ∂Vy ' ∂Vz ' ∂V∂Vaz2' x ⋅  − p + 2 ⋅ µ ⋅ z ' + λ ⋅ ( x ' ++)∂z '∂x '∂y '∂z ' Уравнение (103) легко упрощается, если принять во внимание, что сумма квадратовкосинусов (52-57) равна 1.∂Vy ' ∂Vz ' ∂V∂V∂V∂V pxx = (ax2' x + ay2 ' x + az2' x ) ⋅  − p + λ ⋅ ( x ' ++)  + 2 ⋅ µ ⋅  ax2' x ⋅ x ' + ay2 ' x ⋅ y ' + az2' x ⋅ z ' ∂x '∂y '∂z ' ∂x '∂y '∂z ' Кроме того, используем уравнение (74) и (93) и повторим всё для (96) и (98) :∂Vy ∂Vz∂Vx∂V+ λ ⋅( x ++)(104)∂x∂x∂y∂z∂V∂V∂V∂Vp yy = − p + 2 ⋅ µ ⋅ y + λ ⋅ ( x + y + z )(105)∂y∂x∂y∂z∂Vy ∂Vz∂V∂Vpzz = − p + 2 ⋅ µ ⋅ z + λ ⋅ ( x ++)(106)∂z∂x∂y∂zУравнения для касательных напряжений в произвольной системе координат получим,использовав уравнения (100-102) и (36-38):pxx = − p + 2 ⋅ µ ⋅10∂Vy ' ∂Vz ' ∂V∂Vpxy = p yx = ax ' y ⋅ ax 'x ⋅  − p + 2 ⋅ µ ⋅ x ' + λ ⋅ ( x ' ++) +∂x '∂x '∂y '∂z ' ∂V∂V∂V∂V ay ' y ⋅ ay ' x ⋅  − p + 2 ⋅ µ ⋅ y ' + λ ⋅ ( x ' + y ' + z ' )  +(107)∂y '∂x '∂y '∂z ' ∂Vy ' ∂Vz ' ∂V∂Vaz ' y ⋅ az ' x ⋅  − p + 2 ⋅ µ ⋅ z ' + λ ⋅ ( x ' ++)∂z'∂x'∂y'∂z'Уравнение (107) легко упрощается, если принять во внимание, что сумма попарныхпроизведений косинусов (46-51) равна нулю.

Следует принять во внимание также уравнения (90),(91) и (92).∂Vy ' ∂Vz ' ∂Vpxy = p yx = ( ax ' y ⋅ ax ' x + ay ' y ⋅ ay 'x + az ' y ⋅ az ' x ) ⋅  − p + λ ⋅ ( x ' ++) +∂x '∂y '∂z ' (108)∂Vy '∂Vx '∂Vz ' 2 ⋅ µ ⋅  a x ' y ⋅ ax ' x ⋅+ ay ' y ⋅ ay ' x ⋅+ az ' y ⋅ az ' x ⋅∂x '∂y '∂z ' или, учитывая также уравнения (77-79) и (90-92) и повторив всё для (101) и (102): ∂V ∂V pxy = p yx = 2 ⋅ µ ⋅ ε xy = µ ⋅  y + x (109)∂y  ∂xУравнениякоординат. ∂V ∂V p yz = pzy = 2 ⋅ µ ⋅ ε zy = µ ⋅  y + z ∂y  ∂z ∂V ∂V pxz = pzx = 2 ⋅ µ ⋅ ε xz = µ ⋅  z + x ∂z  ∂x(104,105,106, 109,110,110)(111)и есть закон трения Стокса в произвольной системеКонец лекции № 1411(110).