Автореферат (Эпитаксиальный рост островков из кластеров металлов на поверхности высокоориентированного пиролитического графита в субмонослойном режиме), страница 3

Величина −1соответствует фрактальной размерности островка.Соответствующее уравнение Фоккера-Планка для функции плотностираспределения вероятностей (,) записывается как)︀]︀]︀ [︀(︀ 2 [︀ 2(,)2−1=− + (,) + 2 (,) .(12)Функция (,) удовлетворяет начальному и граничным условиям(, 0) = (),]︂)︀2−12 − − = 0, =0[︂]︂(︀ )︀2−12 lim − − = 0.→∞[︂(︀(13)Здесь () — неотрицательная функция, удовлетворяющая условиюнормировки и обеспечивающая согласование начального и граничных условий.

В соответствии с граничными условиями поток вероятности исчезает награницах = 0 и = ∞.14Получено решение уравнения (12)(, ) = −∫︁∞[︃0√14−21−− 1− ) (− 4 + 2(1−)21− (1−) erfc(︃⎛⎝−2(1− − 1− )4(1−)2 1−(1 − ) + +√︀4(1 − )2 2(1− + 1− )− 4(1−)2 +1−⎞⎠)︃]︃(). (14)Выражение для моментов имеет вид)︂(︂]︀1 [︀+12(1 − )2 2−2 Γ () = √1−2(︃)︃∫︁∞[︃ ((1−)+ 1− )21−(1 − ) + −8(1−)2 − 1−×−1 − √︀2(1 − )2 02)︃]︃(︃)︂∞ (︂((1−)− 1− ) 1− ∑︁1−2(1 − ) − −− (1−)8(1−)2 +− 1−(),−√−1− − √︀22(1−)2=0(15)где () — функция параболического цилиндра.В данном разделе также были учтены влияющие на рост островкови зависящие от времени факторы, для чего была рассмотрена обобщеннаямодель роста островка.

СДУ для такой модели имело вид ()=(), ∈ R+ ,()(16)где () — стационарный гауссовский белый шум с ⟨()⟩ = > 0,⟨()( + )⟩ = 2( ), () — общая функция геометрических параметровисследуемой системы, () — детерминированная функция, учитывающаязависящие от времени факторы, влияющие на рост островков.Решение уравнения Фоккера-Планка, соответствующего СДУ (16),найдено при условии12 ()= ∞,(17)lim→∞ 2 ()15где (, ) =∫︀˜, (˜)и имеет вид⎛ [︁∫︀]︁2 ⎞ −1∞)˜ − 1 () ⎟ (˜1⎜(, ) = √︀exp ⎝−⎠42 ()42 ()() 0∫︁[︃1× 1 − erfc2(︃∫︀ −11 () + 0 (˜)˜√︀42 ())︃]︃−1(). (18)В работе отдельно были приведены функции плотности распределениявероятностей для двух конкретных функций().√ 1 (κ√)В первом случае () = 0 (κ√) — такой вид функции возникаетиз приближения среднего поля для квазистатического роста круглого островка.

Тогда функция плотности распределения вероятностей для стационарногослучая(, ) = √︀√√(︃√2)︃0 (κ )[−2/κ ln [κ 1 (κ )] − 1 ()]√ exp −42 ()42 ()1 (κ )[︃(︃)︃]︃−111 ()× 1 − erfc √︀. (19)242 ()Во втором случае () = + , ̸= , где = 1 соответствовалситуации, находящейся вне приближения среднего поля, когда скорость ростаостровков пропорциональна площади островка, а при = 0 описывалосьформирование островков на дефекте подложки, когда размерами дефектанельзя пренебречь.Если = 1, выражение для функции плотности распределениявероятностей приобретает вид⎛ [︁(, ) = √︀1⎜exp ⎝−42 ()( + )]︁2 ⎞− 1 () ⎟⎠42 ()ln(1− +1)(1−)[︃1× 1 − erfc2(︃1 ()√︀42 ())︃]︃−1.

(20)В конце раздела приведены результаты численного моделированияСДУ с мультипликативным шумом для случая, когда небольшие островки16Рис. 3. Зависимость среднего размераостровка от времени для различныхзначений предельного размера подвижногоостровка.Рис. 4. Зависимость среднего размераостровка от времени для различныхраспределений амплитуды случайногопроцесса.Рис. 5. Зависимость среднего размераостровка от времени для различныхзначений параметра ветвистости.Рис.

6. Изменение распределенияразмеров островковсо временем.движутся по подложке (рисунки 3 – 6); результаты численного счета хорошосовпадают с теоретически расчетом. Проанализировано влияние измененияпараметров случайного процесса на скорость роста островка. В частности,на рисунке 3 показано влияние изменения предельного размера подвижногоостровка . Видно, что скорость роста рассматриваемого островка увеличивается с ростом , поскольку островки получают возможность захватыватьболее крупные структуры.

На рисунке 4 демонстрируется изменение скоростироста островка для различных амплитуд случайного процесса; помимо распределения, приведенного в уравнении (10), был также рассмотрен случай,17когда амплитуды распределены в соответствии с геометрическим распределением вероятностей (9). Можно увидеть, что средний размер островка растетс уменьшением , что соответствует увеличению коэффициента диффузии.Уменьшение также приводило к повышению скорости роста островка.

Рисунок 5 демонстрирует увеличение скорости роста островка при повышениистепени его ветвистости . И, наконец, на рисунке 6 показано изменение стечением времени распределения размеров островков. Можно видеть, что стечением времени распределение уширяется, а его максимум смещается всторону больших значений . Результат численного моделирования хорошосовпадает с теоретическим расчетом.В четвертой главе предложена модель, характеризующая стационарный режим роста островка, а именно, достижение величиной, описывающей размер островка, постоянного значения. Рассмотрена задача о релаксации решения СДУ, описывающего размер островка, к стационарному уровню,значение которого изменяется в зависимости от параметров мультипликативного шума.В разделе 4.1 рассмотрено СДУ= − + (), ∈ R+ ,(21)где () — стационарный гауссовский белый шум с ⟨()⟩ = 0, ⟨()( + )⟩ =2( ), 0 ≤ < 1, ≥ 0.Соответствующее уравнение Фоккера-Планка имеет вид)︀]︀]︀ [︀(︀ 2 [︀(,)=− − + 2−1 (,) + 2 2 (,) .(22)Функция плотности распределения вероятностей (, ) и поток вероятности Π (,) удовлетворяет следующим начальному и граничным условиям(,0) = (),(23)Π (0,) = 0,(∞,) = 0.Здесь () — неотрицательная функция, удовлетворяющая условию нормировки и обеспечивающая согласование начального и граничных условий.18Решение уравнения (22) имеет вид√︂(,) ={︃2−(1− +− ) /22(︁ )︁(1 − )−−erfc √2−(1−+2∞+− ) /4 ∑︁− −1 (−− )2 [−−1 (− )]==1}︃∫︁ ∞2(︀)︀′1−× (1−)( +− ) /4 − ′1− + − (′ )′ , (24)(︀)︀Γ( )− 1− + −0√︁где =(1−) , − = − , — корни уравнения − −1 (− ) = 0.Действительные корни данного уравнения отрицательны.Для моментов справедливо следующее выражение√︂ () =2 −−2 /4 − 1−+1Γ1−(︂)︂ {︃− 1−−1 (− )(︁ )︁−erfc √2∞1 ∑︁− −1 (−− )+Γ( )− 1−−1− (− ) 2 =1 [−−1 (− )]=}︃∫︁ ∞2(︀)︀′1−( +− ) /4 − ′1− + − (′ )′ .

(25)× (1−)0Для достаточно больших времен ( ≫ 1/[(1 − )]) функция распределения вероятностей, приведенная в уравнении (24), стремится к стационар-0.5w(x, t)0.4t=00.3t = 0.050.2t = 0.50.10.0t=501020x30Рис. 7. Эволюция различныхначальных распределений:усеченное двойное нормальноераспределение (штриховка),равномерное распределение(черный), распределение в видедельта-функции (белый).19ному распределению√︂st () =2−(+− )2− )︁(︁(1 − )−erfc √1−/2,(26)2которое не зависит от начального распределения.На рисунке 7 показан переход к стационарному распределению стечением времени для различных начальных распределений (,0). Такжебыло проведено численное моделирование СДУ (21); его результаты хорошосовпадают с результатами теоретического вычисления (рисунки 8, 9).Также в разделе показано, что в случае, когда характерное времяслучайного процесса много меньше, чем характерное время релаксациисистемы, уравнения, полученные для случая белого гауссовского шума, могутиспользоваться и в случае белого импульсного шума при соответствующемвыборе параметров и .В разделе 4.2 приведены результаты численного моделированияСДУ (21) и их сравнение с теоретическим расчетом.

На рисунке 7 показанпереход к стационарному распределению для различных начальных распределений, а именно: распределения в виде дельта-функции, равномерного иобрезанного двойного нормального распределений. Видно, что стационарноераспределение не зависит от выбора начального распределения. Также в разделе показано изменение динамики роста островка и его стационарного значения для случае, когда случайный процесс был импульсным (рисунок 10).Анализ проведен для двух видов импульсного шума: ИППЗ и ИПФТ. Показа55a=4 b=2 D=3γ = 0.644a = 1 b = 2 D = 10γ = 0.533hx ihx iγ = 0.422a=2 b=3 D=51010246t81000246810tРис.

8. Зависимость среднего значения от Рис. 9. Зависимость среднего значения отвремени для различных значений ивремени для различных значений , , ипостоянных значений параметров , и . постоянного значения экспоненты = 1/2.2010.610005ϑ0 /T = 01000410.4ϑ0 /T = 0.59ϑ0 /T = 0.99hx i1000310002ϑT/T = 1ϑT/T = 0.024hx iϑ0 /T = 0.5910.2ϑ0 /T = 0.99ϑT/T = 110001ϑT/T = 0.02410.010000999902004006008001000120014009.80102030t405060tа)б)Рис. 10.

Зависимость среднего значения от времени для ИППЗ и ИПФТ, = 0,5 (а) и = 0,4 (б).но, что в случае пуассоновского процесса с задержкой увеличение параметрапериодичности, что соответствует увеличению задержки, уменьшает интенсивность флуктуаций среднего значения решения СДУ и понижает значениестационарного решения. В случае процесса с фиксированными точками изменение периодичности не влияет на стационарное значение решения.Раздел 4.3 посвящен рассмотрению СДУ с обобщенным диссипативным слагаемым= − + (), ∈ R+ ,(27)где () — стационарный белый гауссовский шум, ⟨()⟩ = и ⟨()( + )⟩ =2( ), 0 ≤ < 1, > .Соответствующее уравнение Фоккера-Планка для функции плотностираспределения вероятностей (,) имеет следующий вид)︀]︀]︀ [︀(︀ 2 [︀ 2(,)2−1=− − + (,) + 2 (,)(28)с отражающей границей в = 0 (поток вероятности через границу равеннулю).Найдено стационарное решение уравнения Фоккера-Планка (28): () = (1 − )(1 − )(︂)︂ 11−− (1−) (︃ (︀1 Ψ0− (1−)(1−))︀⃒⃒ )︃⃒⃒— ⃒1 1,,(29)21где =Райта и−1−+ 1, Ψ (.

. . |) — обобщенная гипергеометрическая функция=(1 − )(︂(1 − ))︂− 1.Стационарное среднее значение :(︃ (︁(︂⟨⟩ =(1 − )1)︂− (1−))︁⃒ )︃⃒+⃒⃒1 Ψ0⃒—(︃ (︀ )︀⃒ )︃.1 1 ⃒, ⃒⃒1 Ψ0— ⃒111(1−) , (30)В заключении приведены основные результаты работы, которыезаключаются в следующем:1. Предложено уравнение для описания динамики скоростей кластеров,движущихся по плоской горизонтальной подложке; получена функцияплотности распределения вероятностей для скоростей кластеров.2. Проведено численное моделирование изменения скорости кластерапри движении по подложке; результаты численного и теоретическогорасчета хорошо совпадают.