Диссертация (Электростатические свойства микромагнитных структур), страница 21

Чтобырассчитать полный электрический заряд точки Блоха с учетом искажений распределения (4.11), вносимых граничными условиями, рассмотрим конфигура-118Рис. 4.3: Микромагнитные конфигурации, распределения поверхностного заряда и нормальной составляющей вектора электрической поляризации на верхней и нижней поверхностяхучастка пленки, содержащего вертикальную блоховскую линию: а — без точки Блоха; б — сточкой Блоха, внедрившейся с нижней поверхности пленки; в — с точкой Блоха, внедрившейся с верхней поверхности пленки. Ось x направлена от одного домена к другому, плоскостьyz совпадает с плоскостью доменной границы.цию точки Блоха, находящейся на вертикальной линии Блоха внутри доменнойграницы.Вначале обратимся к вертикальной блоховской линии, не содержащей точек Блоха (рис. 4.3 а).

Распределение вектора намагниченности и плотностиэлектрического заряда на верхней поверхности пленки соответствует изображенным на рисунке 4.1 а: плотность поверхностного заряда отрицательна. Нанижней поверхности та же микромагнитная конфигурация, как уже отмечалось, приводит к появлению положительного электрического заряда. Согласноформуле (4.6), полный поверхностный заряд на каждой поверхности равен поабсолютной величине Q = π 2 Λ, где Λ — параметр ширины линии Блоха.Теперь представим себе, что в данную вертикальную блоховскую линиюс нижней поверхности пленки внедрилась точка Блоха (рис.

4.3 б). Другимисловами, пусть направление вектора намагниченности в центре изображенногоучастка нижней поверхности образца изменилось на противоположное. Тогдазнак электрического заряда и направление электрической поляризации в этойобласти также изменятся на противоположные, и знаки заряда на обеих поверхностях пленки будут отрицательными. Аналогичная ситуация возникнет119при внедрении точки Блоха с верхней поверхности образца (рис. 4.3 в) — тогдана верхней и на нижней поверхностях пленки будет находиться положительныйповерхностный заряд.Вычислим объемный электрический заряд точки Блоха для случая, изображенного на рисунке 4.3 б.

Для этого воспользуемся формулой ОстроградскогоГаусса:ZQBP =Zρe dxdydz = −Z∇~p dV = −Zp~ · ~n dS = −σe dS = 2Q, (4.16)где ~n — нормаль к поверхности образца, а интегрирование производится пообъему и поверхности прямоугольного параллелепипеда, содержащего вертикальную блоховскую линию.Из полученного вида распределения электрического заряда следует, что~ = (0, 0, Ez ), приложенное к вертикальной блоховэлектрическое поле вида Eской линии, содержащей точку Блоха, может привести к выталкиванию точки Блоха из линии в ту или иную сторону, в зависимости от знака зарядов иz-компоненты электрического поля.

Если же линия изначально не содержалаточку Блоха, то при должном выборе полярности электрическое поле, в принципе, может “перевернуть” диполь поверхностных зарядов путем внедрения ипродвижения точки Блоха.В заключение рассмотрим вопрос соответствия топологического заряда иэлектрических свойств точки Блоха. Топологический заряд распределения вектора намагниченности, описываемого выражением (4.7), может быть определенкак поток гиротропного вектора ~g = (∇ cos θ) × ∇ϕ через любую замкнутуюповерхность, содержащую сингулярную точку, и составляет S = ∓1.

Он отрицателен для “расходящейся” точки Блоха, положителен для “сходящейся” ине изменяется при любых непрерывных деформациях распределения векторанамагниченности, к которым относятся непрерывные повороты [3].Воспользуемся последним свойством для вычисления топологического заряда точки Блоха, изображенной на рисунке 4.3 б. Спроецируем конфигурацию вектора намагниченности на верхней и нижней поверхностях образца насферу, окружающую точку Блоха. Подействуем на распределение вектора намагниченности последовательно двумя матрицами поворота: вокруг оси y на120Рис. 4.4: К вычислению топологического заряда точки Блоха с заданными граничными условиями: а — распределение вектора намагниченности соответствует случаю, изображенномуна рис.4.3 б; б — изменение киральности блоховских участков доменной границы приводитк изменению топологического заряда S.угол − π2 и вокруг оси x на угол π (рис. 4.4 а) .

В результате мы получили“расходящуюся” точку Блоха, обладающую топологическим зарядом S = −1.Действие рассмотренных поворотов можно сделать локальным, вводя гладкуюзависимость углов поворота от расстояния до ядра точки Блоха так, чтобы этипреобразования сохраняли граничные условия.Рассмотрим теперь похожее распределение вектора намагниченности, но сизмененной киральностью блоховских участков доменной границы (рис. 4.4 б).Оно соответствует знакам (−, −) в выражении (4.3). Преобразования, аналогичные рассмотренным выше, позволяют установить, что такая точка Блохатопологически эквивалентна радиальной “сходящейся” точке Блоха, то есть еетопологический заряд равен S = +1. При этом электрический заряд обеихизображенных на рисунке 4.4 точек Блоха составляет +2Q, поскольку не за-121висит от киральности блоховских участков доменных границ, не обладающихэлектрической поляризацией.Таким образом, и электрический, и топологический заряды точки Блоха однозначно определяются граничными условиями — распределением вектора намагниченности на замкнутой поверхности, содержащей точку Блоха.При этом, в зависимости от граничных условий, возможны четыре комбинациизнаков электрического и топологического зарядов, то есть связь между этимизнаками отсутствует.4.3Зарождение скирмионов с помощью электрическогополяСкирмионы и цилиндрические магнитные домены — классы объектов, ха-рактеризующиеся совершенно разными физическими предпосылками возникновения и стабильности; в то же время, с математической точки зрения соответствующие им распределения вектора намагниченности во многом схожи.Так, скирмион можно представить себе как ЦМД, внутренняя область которого стянута в точку — другими словами, радиус которого равен ширине доменной границы.

Это соображение, вместе с рассмотренными выше электростатическим свойствами доменных границ, позволяет предположить возможностьзарождения скирмиона электрическим полем в кристалле с неоднородным магнитоэлектрическим эффектом.4.3.1МодельС целью проверки данного предположения было предпринято микромагнитное моделирование двумерного распределения вектора намагниченности в~ = (0, 0, Ez ) методом имитацииприсутствии внешнего электрического поля Eотжига.

Выражение для плотности свободной энергии имеет вид: 2∂ 2 mx ∂ 2 mx∂ my ∂ 2 mymx++ my+−∂x2∂y2∂x2∂y22γχM∂m∂m∂m∂me sxzyz− Ku m2z −mz− mx+ mz− myEz (4.17)∆∂x∂x∂y∂yAw(x, y) = − 2∆122и представляет собой расширенную на второе измерение модель для одномерной доменной границы, рассмотренную выше (раздел 3.2.2). Распределение вектора намагниченности предполагается однородным по координате z, что соответствует случаю тонкой пленки (толщиной порядка обменной длины).

ЗдесьA — константа обменного взаимодействия, m~ = (mx , my , mz ) — безразмерныйpвектор, задающий направление намагниченности, ∆ = A/Ku — параметр ширины доменной границы, Ku — константа одноосной анизотропии, орт которойнаправлен вдоль оси z, γ — константа неоднородного магнитоэлектрического эффекта, χe — диэлектрическая восприимчивость, Ms — намагниченностьнасыщения. Вычисления проводятся в безразмерных координатах x = x/∆,y = y/∆. Обозначим безразмерный параметр, характеризующий напряженность электрического поля, равный γχe Ms2 Ez /(Ku ∆).Электрическое поле создается идеальным плоским конденсатором с круглыми пластинами, расположенными на верхней и нижней поверхностях пленкии имеет видE~ = (0, 0, Ez ) r < r0E~ = (0, 0, 0), r > r0 ,(4.18)где r — расстояние от центра пластины до рассматриваемой точки в плоскостипленки, r0 = 3.5∆ — радиус пластины.

Магнитоэлектрический вклад в свободную энергию представляет собой энергию взаимодействия электрического поля~ с поляризацией, сопутствующей распределению вектора намагниченности вEсилу неоднородного магнитоэлектрического эффекта.В качестве начальных условий использовались два распределения векторанамагниченности: однородное m~ = (0, 0, 1) и распределение видаm~ = (0, 0, −1) r < 1.8∆m~ = (0, 0, 1), r > 1.8∆,(4.19)представляющее собой цилиндрический магнитный домен с бесконечно тонкойстенкой.123Рис. 4.5: График зависимости значения минимизируемой функции f от безразмерного параметра , характеризующего напряженность электрического поля, создаваемого плоскимконденсатором с радиусом обкладок r0 = 3.5∆.

Крестиками обозначены результаты расчетов; ветвь, показанная сплошной кривой, получена для начального распределения в видеЦМД с бесконечно тонкой границей; показанная пунктирной кривой — для начальных условий в виде однородно распределения вектора намагниченности.4.3.2Результаты расчетовВ ходе расчетов определялось равновесное распределение вектора намаг~ (x, y), соответствующее каждому из начальных условий, и егониченности MRэнергия f = w(x, y)dxdy для разных значений напряженности электрического поля Ez . Графики зависимости энергии конечного распределения векторанамагниченности от безразмерной напряженности электрического поля приведены на рисунке 4.5.

Видно, что при определенном значении параметра ||энергия микромагнитного объекта, полученного из ЦМД-подобного распределения (сплошная кривая), становится меньше энергии однородной структуры(пунктирная кривая). Будем трактовать это значение как критическое значе-124ние напряженности электрического поля, при котором происходит зарождениескирмиона. Отклонение двух точек от сплошной линии вблизи значения = 0связано с тем, что в отсутствие электрического поля топологически нетривиальная конфигурация распределения вектора намагниченности является нестабильной.Оценим по порядку величины критическое значение напряженности внешнего электрического поля:Ezc = cKu ∆≈ 106 В/см,2γχe Ms(4.20)что лежит в диапазоне экспериментально достижимых значений.