Точные решения в пятимерных и шестимерных супергравитациях, страница 2

Руководствуясь этим, для пятимерных метрики и 1форм калибровочных потенциалов AI (xi , z 7 , z 8 ) выбирают следующиеразложения, подразумевая, что редукция проводится вдоль координатz 7 , z 8 , а оставшиеся координаты xi , i = 1, 2, 3 принадлежат трёхмерномупространству M3 :ds25 = λpq (dz p + ap )(dz q + aq ) − κτ −1 ds23 , τ = − det λ;(4)AI (xi , z 7 , z 8 ) = AI (xi ) + uI (xi )dz 7 + v I (xi )dz 8 .(5)Здесь компоненты метрики, содержащие координаты z 7 или z 8 ,параметризуются симметричной 2 × 2 матрицей из скаляров λpq =λpq (xi ), p, q = 7, 8 и калуце-клейновскими 1-формами ap = ap (xi ).Соответственно, вместо z 7 - и z 8 -компонент пятимерных 1-форм AIрассматриваются трёхмерные аксионы uI (xi ) и v I (xi ). Фактор κ различаетдва случая: для пространственноподобной координаты z 8 (редукция наS 1 × S 1 ) — κ = 1, для времениподобной (редукция на S 1 × R) — κ = −1.В результате тороидальной размерной редукции в D = 3 возникающиеуравнения движения совпадают с уравнениями, выводимыми из действия)∫ √ (∂ΦA ∂ΦB ij 3I3 ∼|h| R3 − GAB ihdx(6)∂x ∂xjдля потенциалов сигма-модели и трёхмерной метрики.

В (6) R3 — скалярРиччи, который строится по трёхмерной метрике hij (xi ), ΦA — потенциалысигма-модели, и GAB - метрика на пространстве-мишени. Возможностьтакого представления связана с тем, что в трёхмерии динамические поляантисимметричных форм ранга три и выше отсутствуют, а поля 2-форммогут быть дуализированы оператором Ходжа ⋆ через тождества Бьянкиво внешние производные от скаляров. Эти новые скаляры, обозначаемыев диссертации как µI , ωp , связаны с трёхмерными калибровочными 1формами AI и калуце-клейновскими 1-формами ap посредством уравненийдуализацииτ λpq daq = ⋆Vp ,(7)7dAI = dψpI ∧ ap + τ −1 GIJ ⋆ GJ ,(8)где Vp и GI — некоторые 1-формы, построенные из внешнихдифференциалов от потенциалов сигма-модели. Кроме того, ψpI обозначаетдублет аксионов (uI , v I ), а GIJ обратную метрику на пространстве модулейисходной пятимерной U (1)3 супергравитацииGIJ = diag((X 1 )2 , (X 2 )2 , (X 3 )2 ).Заметим, что все геометрические величины в выражениях (7)-(8)определены в трёхмерном пространстве M3 с координатами xi иметрикой hij , ds23 = hij dxi dxj .

В совокупности 16 скаляров2 ΦA ={X I , λpq , ψpI , µI , ωp } параметризуют пространство-мишень трёхмернойсигма-модели, которое является многообразием с псевдоримановойметрикой.Если пространство-мишень сигма-модели оказывается однороднымсимметрическим многообразием (что, как указывалось выше, открываетпуть к различным методам генерации решений), то его можно представлятьв виде фактор-пространства (косета) G/H группы U-дуальности G поее подгруппе изотропии H. Математически симметрическое пространствоG/K определяется существованием инволютивного автоморфизма(инволюции Картана) σ, σ 2 = 1, разделяющего полупростую вещественнуюгруппу Ли G на два множества — максимально компактную подгруппуK, инвариантную относительно этого автоморфизма, и римановамногообразия с симметрической структурой (косетное пространство).Автоморфизм σ индуцирует соответствующий автоморфизм алгебры Лиg группы G, также обозначаемый как σ.

Его собственные значения±1 соответствуют двум собственным пространствам — алгебре Ли Kмаксимально компактной подгруппы K (σ(K) = K) и пространству T(σ(T ) = −T ):g=K⊕T.Важно отметить, что в физических приложениях мы, как правило,имеем дело с некомпактными вещественными формами G полупростойкомплексной группы GC . Поэтому вместо K используется понятиеподгруппы изотропии H, которая может быть как компактной, так инекомпактной.Таким образом, зная матричное представление группы изометрийG, можно построить соответствующее матричное представление для2Учитывая, что X I связаны соотношением (1).8косетного пространства.

Тогда под глобальным действием группыG, реализуемом матрицей элемента g, косетная матрица M будетпреобразовываться какM → M′ = g T Mg.(9)При этом линейный элемент по метрике пространства-мишени1dl2 = GAB dΦA dΦB = − Tr(dMdM−1 )8будет оставаться инвариантным. При этом метрика 3-многообразия скоординатами xi также не изменяется и, следовательно, не изменяется иполный лагранжиан сигма-модели в форме)1 (−1L3 = R3 ⋆ 1 + Tr dM ∧ ⋆dM.8Подобные преобразования косетных матриц, представляющих некотороеизвестное (затравочное) решение супергравитационных уравнений, лежатв основе техники генерации решений.Косетная матрица M строится на основе разложения Ивасавы,которое позволяет представить группу изометрий G в виде произведенияподгруппы изотропии H, максимально абелевой подгруппы A инильпотентной подгруппы NG = HAN.Поэтому, чтобы построить фактор-пространство G/H, сначала нужновыбрать максимально разрешимую подгруппу AN группы изометрийG.

Это достигается экспоненцированием соответствующей максимальноразрешимой подалгебры, которая совпадает с так называемой подалгебройБореля B. Последняя образована максимальной абелевой подалгеброй Aи генераторами Vλ , отвечающими положительным весам λ в разложенииКартана:∑B =A⊕Vλ .λНа практике это означает, что в некотором матричном представленииалгебры g подалгебра Бореля будет образована всеми бесследовымиверхнетреугольными матрицами. Экспоненцирование подалгебры БореляV ∼ eB позволяет построить матрицу V, представляющую косет также с9помощью верхнетреугольной матрицы.

При левом действии глобальнойгруппы G эта матрица, однако, не сохраняет верхнетреугольной формы,для восстановления которой необходимо выполнить правое умножениена некоторый элемент подгруппы изотропии. Чтобы избавиться отэтого недостатка, вводится матрица M = V T KV, которая инвариантнаотносительно действия G без дополнительных преобразований. Здесьдиагональная матрица K введена для различения случаев компактной инекомпактной подгрупп изотропии.В данной диссертационной работе в Главе 2 построена трёхмернаясигма-модель для исходной пятимерной U (1)3 супергравитации. В этомслучае группа U-дуальности G = SO(4, 4).

После экспоненцированиясоответствующей подалгебры Бореля строятся матричные представлениякосетных пространствM ∼ SO(4, 4)/(SO(2, 2) × SO(2, 2))(10)M ∼ SO(4, 4)/(SO(4) × SO(4)),(11)икоторые являются симметрическими пространствами постояннойотрицательной кривизны. Структура группы SO(4, 4) позволяетпредставлять матрицу M в виде 8 × 8 матрицы с простой блочнойструктурой3 (P, Q — 4 × 4 матрицы, зависящие от потенциалов сигмамодели)()PPQM=(12)e + QT PQ .QT P PКроме того, в описываемой главе осуществлена редукция из D = 6в D = 3 шестимерной супергравитации с дилатоном и полем 3-формы.Показано, что трёхмерная сигма-модель этой теории также имеет группуизометрий SO(4, 4). Иная параметризация скалярного многообразиясигма-модели позволила дать другое матричное представление для косетов(10)-(11).Частный случай этой теории, а именно 6D супергравитация савтодуальной 3-формой, при тороидальной редукции в трехмерие приводитк сигма-модели с группой изометрий SO(4, 3).

В этом случае такжепостроены матричные представления косетовM ∼ SO(4, 3)/(SO(2, 2) × SO(2, 1))(13)Операция тильда e означает взятие обратной матрицы с транспонированием относительно побочнойдиагонали.310иM ∼ SO(4, 3)/(SO(4) × SO(3)).(14)Между косетами (10)-(11) и (13)-(14) установлена связь в терминахпотенциалов соответствующих сигма-моделей.Глава 3 посвящена разработке техники генерации решений, основаннойна матричных представлениях косетных пространств сигма-модели идействии на них группы U-дуальности.

В ней также рассмотрен вопросо выборе граничных условий (асимптотик) для решений типа чёрныхдыр и колец, и найдены изометрии, оставляющие неизменным выбранноеасимптотическое поведение затравочного решения.Метод генерации решений заключается в следующем. Сигма-модель— это иной способ представить лагранжиан и соответственно уравнениядвижения теории.

Часть компонент исходных метрики и полейматерии выражается через набор скалярных полей (потенциалов) ΦA ,имеющих область определения в трёхмерном пространстве M3 . Напервом этапе построения решения необходимо выразить компонентызатравочной метрики через эти потенциалы. При этом нужно решитьуравнения дуализации (если рассматривается, например, 5D U (1)3супергравитация, то это уравнения (7)-(8)). Областью значений скаляровявляется пространство-мишень MT S сигма-модели.

Иными словами,потенциалы реализуют координатное представление многообразия MT S .Инвариантность метрики пространства MT S относительно группыизометрий G даёт возможность преобразовывать ΦA , гарантируя, чтопостроенные из новых скаляров метрика и поля материи будут решениямиполевых уравнений той же исходной теории супергравитации. ПосколькуMT S является симметрическим многообразием, оно изоморфно факторпространству группы изометрий G по подгруппе изотропии H: MT S ∼G/H.

Выбирая матричное представление группы G, “точку” пространстваMT S можно с помощью отображения π представить в виде матрицы M,зависящей от полей ΦAπ : ΦA → π(ΦA ) ∈ M.Движение точки по многообразию сигма-модели представляет собойотображениеπ → π ′ = g ◦ π, ds23 → ds23или в матричных обозначенияхM(α)′ = g(α)T Mg(α),11g ∈ G,(15)где элемент g(α) находится в некотором матричном представлении группыG и зависит от постоянного параметра α. Новые потенциалы извлекаютсяиз матрицы M(α)′ , а параметр α будет связан с новой физическойхарактеристикой решения.Чтобы избежать необходимости решения громоздких уравненийдуализации для сгенерированного решения, было предложено извлекатьпреобразованные 1-формы из дуальной к M матрицы N .