Диссертация (Статистическая теория структуры хроматина), страница 7

Вкачестве стартового состояния, как правило, выбираются наборы плотно упакованныхструктур, статистика которых близка к складчатой глобуле (для минимизации времениуравновешивания системы), например, работе [69], в качестве стартовых конформацийколец были выбраны следующие структуры: (i) случайные блуждания, с исключенным32объемом,(ii)пространство-заполняющиекривые,(iii)случайноразветвленныеполимеры. С их помощью заполнялось пространство внутри ячейки моделирования,затем вокруг каждой из них строились полимерные кольца, которые и составлялирасплав.Недостатки метода становятся хорошо заметны в рамках динамическихсимуляций: моделирование длинных цепей крайне затруднительно, так как существенноувеличивает время уравновешивания системы (в работах [68,69] длины колец непревышали нескольких тысяч звеньев).

Кроме того, генерация стартовых структур,базирующаяся на задании колец вокруг разветвленных полимеров, приводит к большомуколичеству точек локальной нестабильности в системах с исключенным объемом.1.2.3.4. Модель переключающихся связейМодель переключающихся связей, SBS-модель (string and binder switch),позволила описать качественно новую природу формирования состояния складчатойглобулы [72,73]. Согласно SBS-модели, система содержит множество связывающихсайтов, часть из которых расположена непосредственно на макромолекуле, а частьсвободно диффундирует в объеме, как показано на Рис.

1.10а. Регулированиевзаимодействия между такими сайтами позволяет управлять итоговым состояниемполимера. Увеличение сродства сайтов связывания со специфическими сегментамимакромолекулы приводят к неравномерному коллапсу полимера, как показано на Рис.1.10б. Таким образом, структура цепи оказывается зависимой от таких параметровсистемы, как распределение и концентрация связывающих факторов, а также сродствасвязывающих сайтов с полимером.SBS-модельоказаласьспособнаобъяснитьособенностихромосомнойархитектуры, зафиксированные в рамках FISH, Hi-C и 3C экспериментов (как показанона Рис.

1.10в) [72,73]. Существование состояния складчатой глобулы при этом неотрицается, а рассматривается как одна из конформаций, которая может быть полученаприопределенномподборепараметровSBS-модели.Вкачествепреимуществиспользования такого подхода генерации складчатой глобулы можно отметитьвозможность получения стабильного состояния полимера.33Рис. 1.10. Модель переключающихся связей: (а) сайты связывания типов A, B, C, Dсвободно диффундируют по объму вокруг гетерополимерной цепи; (б) включениевзаимодействия сайтов связывания со специфическими сегментами цепи приводит кнеравномерной конденсации макромолекулы; (в) матрица контактов сколлапсированнойцепи повторяет особенности экспериментальных Hi-C матриц.Несмотря на то, что SBS-модель хорошо описывает некоторые экспериментальныеданные, она обладает набором существенных недостатков: ни в одной из работ не былоприведено данных о диффузионном режиме, наблюдаемом в структуре (естественнопредположить, что динамика системы существенно замедляется при введении в системусвязывающих молекул); кроме того, модель не может обеспечить формированиеиерархической организации складок, наблюдаемую на Hi-C картах, как при общемусреднении, так и в рамках единственной реализации.1.2.4.

Динамика полимерной цепиВ данном разделе будут рассмотрены классические модели диффузионногодвижения в полимерных системах, в рамках каждой из которых будет дана оценкакоэффициента диффузии отдельно взятого звена макромолекулы, а также среднеговремени релаксации системы. В разделе 1.2.4.1 будет рассмотрена модель Рауза,описывающая динамику отдельно взятой цепи в неподвижном растворителе; в рамках1.2.4.2будетописанамодельЗиммакакусложнениемоделиРаузаучетомгидродинамики растворителя. Далее, в 1.2.4.3 будет рассмотрена теория рептационногодвижения макромолекул в полимерном расплаве. В заключение, в 1.2.4.4 будетприведена современная теория, описывающая диффузионное движение в расплавезакольцованных полимеров.341.2.4.1.

Модель РаузаМодель Рауза – это простейшая модель, созданная для описания динамикиполимерной цепи в растворе, впервые была предложена в работе [74] и введена вполимерную теорию в рамках [75]. В основе модели Рауза лежит следующий наборупрощений:цепь идеальна и фантомнарастворитель неподвиженСогласно модели Рауза, уравнение движения n-ого звена цепи записывается как:f nch  f n fr  f nr  0 ,(1.1)где fnch – описывает взаимодействие звена с n–1 и n+1 звеньями, fnfr – сила трения звенаоб окружающие молекулы растворителя; fnr – случайная сила, вызванная случайнымисоударениями звена с частицами растворителя.Сила, действующая на n-ое звено со стороны соседних вдоль по цепи звеньев,определяется через энергию взаимодействия с соседними звеньямиU n ,n 1  T  ln g(x n 1  x n ) ,(1.2)а полная энергия взаимодействия, за счет связывания звеньев в цепь будет равнаN 1N 13T( xn 1  xn ) 2 ,22an 1U  U n ,n 1  const  n 1(1.3)тогда сила fnch определяется какf nch  U3T 2 ( xn 1  2 xn  xn 1 )xn 2a(n  1, N) .(1.4)Трение о растворитель зависит от скорости движения звена какf nfr  xn,t(1.5)где ξ – коэффициент трения.Соударение с частицами растворителя имеют случайный характер, для fnr справедливоf nr (t )  0 ,(1.6)в связи с тем, что регулярная часть силы входит в fnfr.Уравнение движения звена из (2) и (5) будет иметь видx f r (t ) .t(1.7)Полагая, что при t = 0 звено находилось в начале координат, получим, интегрируя (1.10):35x (t ) 1tfr(t ')dt ' ,(1.8)0отсюда, с учетом связи коэффициента диффузии броуновской частицы D икоэффициента трения ξ по соотношению Эйнштейна D = T/ξ:ttt t1 1rrrrx (t )   dt ' f  t '     dt '' f  t ''    2  dt '  dt '' f  t '  f  t ''   0 0 0 026Ttt00(1.9) dt ' dt ''  t ' t ''    6T /   t  6 Dt,Уравнение движения n-ого звена (1.4), с учетом (1.7) и (1.8), имеет вид (уравнениеЛанжевена):xn 3T 2  xn 1  2 xn  xn 1   f nr  t  .ta(1.10)Опираясь на то, что параметр x медленно меняется с изменением аргумента, можноперейти к континуальному пределу в уравнении (1.13):x  t , n  3T  2 x  t , n  2 f r  t, n  .tan 2(1.11)Дополнив уравнение (1.14) граничными условиями n  0, n  N .

Осуществляя фурьепреобразование основного уравнения модели Рауза (1.14), движение полимерной цепипредставляется как суперпозиция независимых релаксационных мод. При этоммедленная внутримолекулярная релаксация соответствует первой моде, а перемещениеклубка как целого – основной моде. Время релаксации полимерного клубка, согласномодели Рауза изменяется с ростом числа звеньев в цепи N, как ~ N 2.

Коэффициентдиффузии с увеличением полимера уменьшается как ~ N –1. Время релаксации моды p вмодели Рауза имеет вид:p 1p2N 2 a 2,3 2Tp 2(1.12)то есть, для главной моды, определяющей максимальное время релаксации в системе,справедливо, p = 1:N 2a 21 .3 2T(1.13)Коэффициент диффузии центра масс клубка в модели Рауза определяется как:Dcoil T,N(1.14)36то есть диффузии клубка как целого в рамках приближений модели происходит в N размедленнее, чем диффузия отдельного мономерного звена. Среднеквадратичное смещениезвена будет определяться соотношением времени, на котором происходит движение, современем релаксации τ:< (x (t, n) – x (0, n))2 > ~ t 1/2, на временах t ≤ τр;(1.18)< (x (t, n) – x (0, n))2 > ~ t , на временах t > τр.(1.19)Действительно, на больших временах диффузия отдельно взятого звена внутри цепибудет мала относительно смещения клубка как целого.

Аналогичный режим движениянаблюдается также на очень малых временах, когда смещение мономера столь мало, чтовлияние окружения оказывается несущественным.С другой стороны, можно провести следующие оценки: если t << τ1, то t – естьвремя релаксации малого участка цепи из g звеньев, содержащего выбранное звено, g ~(Tt/a2ξ)1/2. Средний квадрат смещения центра масс этого сегмента составляет Tt/(gξ) ~(Ta2t/ ξ)1/2. На временах порядка максимального времени релаксации системы смещениецентра масс сегмента цепи должно иметь величину порядка размер самого клубка, чтоследует из скейлинговых соображений.

Тогда <(x(t,n))2> ~ (Ta2t/ ξ)1/2, что соответствуетполученному ранее результату. Экспериментально было показано, что модель Рауза неподходит для описания динамики отдельно взятой цепи в разбавленном растворе, этосвязано, в первую очередь, с тем, что модель не учитывает динамики окружающейсреды.1.2.4.2. Модель ЗиммаКак было указано выше, одной из причин, по которой результаты, полученные врамках раузовского приближения, имеют расхождение с экспериментальными данными,является допущение о неподвижности растворителя, которое, на самом деле,справедливо только в случае θ-растворителя; допущение фантомности цепи вразбавленныхрастворахклубковыхконформацийсерьезныхрасхожденийсэкспериментом дать не может.Действительно, движение отдельно взятого мономера неизбежно инициируетдвижение окружающего растворителя, меняя тем самым поле скоростей растворителяυ(x). В результате, сила трения звена об окружающие молекулы, с учетомгидродинамических взаимодействий, определяется как:37 dxf n fr     v  xn   , dt(1.20)где υ(xn) – соответствует возмущению поля скоростей растворителя в точкерасположения n-ого звена.

Наличие непрямого взаимодействия звеньев существенновлияет на поведение системы. Предполагая, например, что вовлечение звеньеврастворителя в движение клубка настолько сильное, что весь растворитель перемещаетсявместе с молекулой (модель абсолютного непротекания), коэффициент диффузии дляклубка в этом случае совпадает с коэффициентом диффузии сплошного шара, то есть,при размере клубка порядка R и вязкости растворителя ηs, он будет иметь вид:Dcoil = T / ξcoil ~ T/(6πηsR).(1.21)В θ-растворителе R ~ aN 1/2, коэффициент диффузии будет зависеть от длины цепи, какDcoil ~ N-1/2. То есть теория абсолютного непротекания оказывается ближе кэкспериментально наблюдаемым зависимостям, чем модель Рауза.Для исследования изменения поля скоростей растворителя удобно применить уравнениедвижения растворителя (уравнение Навье-Стокса), пренебрегая сжимаемостью иинерцией вещества.