Сингулярно возмущенные задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения

На правах рукописиКОСТИН Александр ВладимировичСИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯКОРНЕЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯСпециальность 01.01.03 – математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2012Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им.М.В. Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор В.Ф.

БутузовОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор А.В. Нестеров,доктор физико-математических наук,профессор И.В. ДенисовВедущая организация:Ярославский государственныйуниверситет им. П.Г. ДемидоваЗащита диссертации состоится «24» мая 2012 г. в 15 часов 30 минут назаседанииДиссертационногосоветаД501.002.10приМосковскомгосударственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физическийфакультет, ауд.

№ СФА.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультетаМГУ.Автореферат разослан «___» ____________ 2012 г.Ученый секретарьДиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико-математических наукЮ.В. ГрацОбщая характеристика работыДиссертация посвящена изучению ряда сингулярно возмущенных системОДУ, систем уравнений эллиптического и параболического типов в случае,когда корни вырожденного уравнения пересекаются.Актуальность темыМатематические модели многих процессов в физике, химии, биологии,социологии содержат дифференциальные уравнения с малыми параметрами.Пренебречь малым параметром и, тем самым, упростить поставленную задачуможноневсегда.Примеромслужатсингулярновозмущенныедифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в виде множителяпри старшей производной. Решение такого уравнения при значениях малогопараметра, близких к нулю, вообще говоря, не является равномерно близким крешению более простого вырожденного уравнения.

Исследование сингулярновозмущенных задач сформировалось в большое направление на основе работА.Н. Тихонова и получило дальнейшее развитие в работах его учеников имногих других ученых.Большинство классических работ, посвященных исследованию сингулярновозмущенных дифференциальных уравнений, рассматривают случай, когдавырожденное уравнение имеет один или несколько изолированных корней.

Впоследнее время активно исследуется более сложный случай - когда корнивырожденного уравнения пересекаются. Необходимость рассмотрения такойситуации появилась в химической кинетике при моделировании быстрыхбимолекулярных реакций.Сложность сингулярно возмущенных задач в случае пересечения корнейвырожденного уравнения связана с негладкостью решения вырожденнойзадачи, к которому стремится решение исходной задачи при стремлении малогопараметра к нулю.

Доказательство предельного перехода в большинстве работ,посвященныхтакимзадачам,проводитсяспомощьюметодадифференциальных неравенств, т. е. путем построения подходящих нижнего и1верхнего решений. Для преодоления трудностей, связанных с негладкостьюрешения вырожденной задачи, проводилась сложная и громоздкая процедурасглаживания с помощью функции специального вида.

Как оказалось, болееэффективнымметодомявляетсяметодрегуляризациивырожденногоуравнения, разработанный В.Ф. Бутузовым [1, 2]. Верхнее и нижнее решение,построенные с использованием данного метода, являются гладкими, простымии симметричными относительно формальной асимптотики (для большинстварассмотренных задач). Кроме того, метод регуляризации вырожденногоуравнения позволяет получить более точную асимптотику решений. Сутьметода заключается в замене негладкого корня вырожденного уравнения нагладкий корень так называемого «регуляризованного» уравнения, зависящегоот малого параметра определенным образом.Цель работыГлавнойцельюрегуляризациидиссертационнойвырожденногоработыуравненияиявляетсяметодаразвитиеметодадифференциальныхнеравенств для сингулярно возмущенных задач в случае, когда корнивырожденного уравнения пересекаются.Научная новизнаНаучная новизна работы состоит в следующем:- метод регуляризации вырожденного уравнения распространен на новыеклассы задач (сингулярно возмущенные системы ОДУ, системы уравненийэллиптического и параболического типов, частично диссипативные системыуравнений с разными степенями малого параметра при производных);- для всех рассмотренных задач доказаны теоремы о предельном переходе иполучены асимптотические оценки решений;- для систем уравнений параболического типа доказаны теоремы обасимптотической устойчивости стационарного решения;2- для ранее исследованных задач с помощью метода регуляризациивырожденного уравнения построены новые, более простые и эффективныеверхние и нижние решения.Практическая ценностьПолученные в диссертации результаты могут быть использованы дляисследованияразрешимостиипостроенияасимптотикрешенийрядамодельных задач химической кинетики, в том числе частично диссипативныхсистем, моделирующих процессы реакции-диффузии в том случае, когдадиффузией одного из реагирующих веществ можно пренебречь.Положения, выносимые на защитуНа защиту выносится ряд теорем о предельном переходе для некоторыхвидовсингулярновозмущенныхсистемОДУ,системуравненийэллиптического и параболического типов, а также теоремы об асимптотическойустойчивости стационарного решения для систем уравнений параболическоготипа.Апробация работыРезультатыдиссертациидокладывалисьнанаучнойконференции«Ломоносовские чтения» (Москва, 2008 г.), на XVIII Международной научнойконференции «Ломоносов – 2011» (Москва, 2011 г.), на V Международнойконференции «Математические идеи П.Л.

Чебышева и их приложение ксовременным проблемам естествознания» (Обнинск, 2011 г.), а такжеобсуждалисьнанаучномсеминарекафедрыматематикифизическогофакультета МГУ (руководители семинара профессора А.Б. Васильева, Н.Н.Нефедов и В.Ф. Бутузов).ПубликацииПо теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.3Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения и спискацитированной литературы (61 наименование). Общий объем диссертациисоставляет 110 страниц.Содержание диссертацииВо Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированацель и отмечена научная новизна работы, а также кратко изложено содержаниеглав.В Главе 1 рассмотрены начальные и краевые задачи, которые изучалисьранее другими авторами.

Исследование данных задач преследовало две цели:построение более простых верхних и нижних решений с помощью методарегуляризации вырожденного уравнения и получение асимптотики решения, неменее точной, чем полученная ранее. Для задачи, рассмотренной в §1,асимптотика решения оказалась даже более точной, что позволило доказать иасимптотическую устойчивость решения.В §1 рассмотрена система уравненийε 2 u ′′ = g (u , v, x, ε ) , v ′′ = f (u , v, x, ε ) , 0 < x < 1(1)с краевыми условиямиu ′(0, ε ) = u ′(1, ε ) = 0 , v(0, ε ) = v 0 , v(1, ε ) = v 1 ,(2)где ε – малый параметр, 0 < ε << 1 , v 0 и v 1 – заданные числа.Существенную роль в задаче (1), (2) играет характер зависимости правойчасти быстрого уравнения (функции g ) от малого параметра ε .

Случай, когдафункция g содержит слагаемое порядка ε , имеющее определенный знак налинии пересечения корней вырожденного уравнения, и когда g не зависит отε , являются существенно разными, причем последний случай более сложен.Так, например, в работе [3], посвященной задаче (1), (2) в случае, когдафункция g не зависит от ε , построение нижнего и верхнего решений4проводилось путем разбиения отрезка 0 ≤ x ≤ 1 на 5 отрезков, построения накаждом из них соответствующей части нижнего и верхнего решений и гладкогосшивания затем этих частей на границах соседних отрезков. Методрегуляризациивырожденногоуравненияпозволяетупроститьданнуюпроцедуру.Итак, рассмотрим задачу (1), (2) в более сложном случае, когда функция gне зависит от ε .

Для упрощения записи будем считать, что функция f , как ифункция g , не зависит от ε , поскольку регулярная зависимость f от ε неимеет принципиального значения (в отличие от функции g ).Условие A1 . g ∈ C 2 (G ) , f ∈ C 2 (G ) , где G = I u × D , D = I v × [0,1] , I u и I v –некоторые интервалы изменения переменных u и v .Условие A2 . Функция g (u , v, x) имеет видg (u, v, x) = h(u, v, x)(u − ϕ 1 (v, x))(u − ϕ 2 (v, x)) ,где h ∈ C 2 (G ) , ϕ 1 ∈ C 2 ( D) , ϕ 2 ∈ C 2 ( D) , h(u , v, x) > 0 в области G , а значенияфункций ϕ1 и ϕ 2 лежат в интервале I u при (v, x) ∈ D .Условие A2 означает, что вырожденное уравнениеg (u , v, x) = 0(3)имеет два корня относительно u : u = ϕ 1 (v, x) и u = ϕ 2 (v, x) .Условие A3 . В области D существует гладкая кривая Γ , описываемаяуравнениемv = v 0 ( x) , 0 ≤ x ≤ 1 ,такая, что для 0 ≤ x ≤ 1 выполнены соотношенияϕ 1 (v, x) > ϕ 2 (v, x) при v < v 0 ( x) ,ϕ 1 (v 0 ( x), x) = ϕ 2 (v 0 ( x), x) ,ϕ 1 (v, x) < ϕ 2 (v, x) при v > v 0 ( x) .5Условие A3 означает, что корни u = ϕ 1 (v, x) и u = ϕ 2 (v, x) вырожденногоуравнения (3) пересекаются по некоторой кривой, проекцией которой наплоскость (v, x) является кривая Γ , лежащая в области D .Используя корни ϕ1 и ϕ 2 , построим решение вырожденной задачи,получающейся из задачи (1), (2) при ε = 0 .

При этом построении важную рольиграют соотношения между граничными значениями v 0 , v 1 функции v играничными значениями функции v0 ( x) . Остановимся на случаеv 0 < v 0 (0) , v 1 > v 0 (1) .Рассмотрим две краевые задачи, в которых x 0 играет роль параметра:v ′′ = f (ϕ 1 (v, x), v, x) , 0 < x < x 0 , v(0) = v 0 , v( x 0 ) = v 0 ( x 0 ) ,(4)v′′ = f (ϕ2 (v, x), v, x) , x 0 < x < 1, v( x 0 ) = v 0 ( x 0 ) , v(1) = v 1 .(5)Условие A4 . Существует x 0 ∈ (0,1) , такое, что краевые задачи (4) и (5)имеют решения v = v1 ( x) и v = v 2 ( x) , удовлетворяющие соотношениямv1 ( x) < v 0 ( x) при 0 ≤ x < x 0 , v 2 ( x) > v 0 ( x) при x 0 < x ≤ 1, v1′ ( x 0 ) = v ′2 ( x 0 ) .Введем функцию vˆ( x) , составленную из решений v1 ( x) и v 2 ( x) :⎧ v ( x), 0 ≤ x ≤ x 0 ,vˆ( x) = ⎨ 1⎩v 2 ( x), x 0 ≤ x ≤ 1.Несложно видеть, что vˆ( x) является классическим ( vˆ( x) ∈ C 2 [0,1] ) решениемкраевой задачиv′′ = f (ϕ (v, x), v, x) , 0 < x < 1 , v(0) = v 0 , v(1) = v 1 ,(6)где ϕ (v, x) – составной корень вырожденного уравнения (3):⎧ϕ (v, x) при v ≤ v 0 ( x), 0 ≤ x ≤ 1,ϕ (v, x ) = ⎨ 1⎩ϕ 2 (v, x) при v ≥ v 0 ( x), 0 ≤ x ≤ 1.Введем функциюuˆ ( x) = ϕ (vˆ( x), x) .Отметим, что в отличие от vˆ( x) функция uˆ ( x) имеет, вообще говоря, в точкеx 0 разрывы (скачки) первой и второй производных.6Пару функций uˆ ( x) , vˆ( x) назовем составным решением вырожденнойзадачи.Условие A5 .b=d[ϕ1 (vˆ( x), x) − ϕ 2 (vˆ( x), x)] ≠ 0 .dxx= x0Здесь x0 – число из условия A4 .Условие A6 .

Существует число β > 0 , такое, что выполнены неравенстваϕˆ v ( x) < β при 0 ≤ x ≤ 1 ,⎛π ⎞⎜ ⎟ − fˆu ( x) β + fˆv ( x) > 0 при 0 ≤ x ≤ 1 ,⎝ 2l ⎠2гдезнаком^обозначенафункция,взятаянасоставномрешении,l = max( x 0 ,1 − x0 ) .Основным результатом являются следующие две теоремы.Теорема 1. Если выполнены условия A1 - A6 , то для достаточно малых εсуществуетрешениеu s ( x, ε ) ,v s ( x, ε )задачи(1),(2),имеющееасимптотическое представлениеu s ( x, ε ) = uˆ ( x) + O (ε 2 / 3 ) , v s ( x, ε ) = vˆ( x) + O (ε 2 / 3 ) , 0 ≤ x ≤ 1 .(7)Отметим, что из (7) следуют предельные равенстваlimu ( x, ε ) = uˆ ( x) , limv ( x, ε ) = vˆ( x) , 0 ≤ x ≤ 1 ,ε →0 sε →0 sт.