Сингулярно возмущенные задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения, страница 2

е. при ε → 0 имеет место предельный переход от решения задачи (1), (2) ксоставному решению вырожденной задачи.Теорема 2. При условиях A1 - A6 для достаточно малых ε стационарноерешение u s ( x, ε ) , v s ( x, ε ) параболической задачи− u t + ε 2 u xx = g (u , v, x) , − vt + v xx = f (u, v, x, ε ) , 0 < x < 1 , t > 0 ,u x (0, t , ε ) = u x (1, t , ε ) = 0 , v(0, t , ε ) = v 0 , v(1, t , ε ) = v 1является асимптотически устойчивым.Доказательство Теоремы 1 осуществляется методом дифференциальныхнеравенств, т. е. путем построения подходящих верхнего и нижнего решений.7Как уже было отмечено, компонента uˆ ( x) составного решения вырожденнойзадачи не является гладкой в точке x0 .

Для преодоления трудностей, связанныхс негладкостью uˆ ( x) , в ранних работах применялась процедура сглаживанияuˆ ( x) . Позднее было установлено [1, 2], что более эффективным методом,позволяющим получить более точную асимптотику решения, являетсясвоеобразная регуляризация вырожденного уравнения (3) и связанная с неймодификация вырожденной задачи.1)Регуляризациявырожденногоуравнения.Вместовырожденногоуравнения (3) рассматривается уравнение(u − ϕ1 (v, x))(u − ϕ 2 (v, x)) − r 2 ε 4 / 3 = 0 ,гдеr(8)– положительное число, выбор которого уточняется по ходудоказательства теоремы.Уравнение (8) имеет два гладких корня относительно u , бóльший изкоторых назовем ψ (v, x, ε )12ψ (v, x, ε ) = {ϕ1 (v, x) + ϕ 2 (v, x) + [(ϕ1 (v, x) − ϕ 2 (v, x)) 2 + 4r 2 ε 4 / 3 ]1 / 2 } .Функция ψ (v, x, ε ) отличается от функции ϕ (v, x) на величину порядка O(ε 2 / 3 )в δ -окрестности кривой Γ , и O(ε 4 / 3 ) - вне δ -окрестности.Таким образом, замена вырожденного уравнения (3) уравнением (8) являетсярегуляризацией вырожденного уравнения в том смысле, что вместо негладкогосоставного корня ϕ (v, x) получается близкий к нему при малых ε гладкийкорень ψ (v, x, ε ) .2) Модификация вырожденной задачи.

Рассмотрим краевую задачуv ′′ = f (ψ (v, x, ε ), v, x) , 0 < x < 1 , v(0, ε ) = v 0 , v(1, ε ) = v 1 .(9)Она получается из задачи (6), если составной корень ϕ (v, x) заменить нагладкий корень ψ (v, x, ε ) регуляризованного уравнения.При достаточно малых ε существует решение v = v~ ( x, ε ) задачи (9),имеющее асимптотическое представление8v~ ( x, ε ) = vˆ( x) + w( x, ε ) ,где w( x, ε ) = O(ε 2 / 3 ) равномерно на отрезке 0 ≤ x ≤ 1 .3) Построение нижнего и верхнего решений. С помощью функций ψ (v, x, ε )и v~ ( x, ε ) для задачи (1), (2) построены простые и симметричные верхнее инижнее решения, позволяющие записать решение u s ( x, ε ) , v s ( x, ε ) задачи (1),(2) в видеu s ( x, ε ) = ψ (v~ ( x, ε ), x, ε ) + O(ε 2 / 3 ) , v s ( x, ε ) = v~ ( x, ε ) + O (ε 2 / 3 ) , 0 ≤ x ≤ 1 ,откуда с учетом ранее указанных оценок для функций ψ (v, x, ε ) и v~ ( x, ε ) длярешенияu s ( x, ε ) ,v s ( x, ε )задачи(1),(2)получаемасимптотическоепредставление (7).Доказательство Теоремы 2 проводится аналогичным образом, путемпостроения подходящих верхнего и нижнего барьеров для соответствующейпараболической задачи.В §2 и §3 Главы 1 доказаны теоремы о предельном переходе для начальнойзадачиε 2 u x + g (u , v, x, ε ) = 0 , ε p v x + f (u , v, x, ε ) = 0 , x ∈ (0, T ] ,(10)u (0, ε ) = u 0 , v(0, ε ) = v 0 ,(11)ε 2 u xx − g (u , v, x, ε ) = 0 , ε p v xx − f (u , v, x, ε ) = 0 , x ∈ (0,1) ,(12)u ′(0, ε ) = u ′(1, ε ) = 0 , v ′(0, ε ) = v ′(1, ε ) = 0(13)и краевой задачи:при различных значениях параметра p .В отличие от задачи, описанной выше, в данных задачах вводилосьтребование существования устойчивого изолированного корня u = ϕ (v, x)вырожденного уравнения g (u , v, x,0) = 0 и существование двух пересекающихсякорней v1 ( x) и v 2 ( x) другого вырожденного уравнения f (ϕ (v, x), v, x,0) = 0 .Еще одной отличительной особенностью данных задач является условие,состоящее в том, что производная∂fимеет определенный знак на линии∂ε9пересечения корней вырожденного уравнения.

(Здесь важна зависимость отмалого параметра именно для функции f , а не g , т. к. вырожденное уравнениедляfимеет два пересекающихся корня). Используя данное условие,регуляризация вырожденного уравнения проводится не за счет искусственногодобавления членов, зависящих от ε определенным образом, как это былосделано в выше описанной задаче, а за счет слагаемых порядка ε , входящих вf.Кроме того, за счет указанной зависимости f от ε в некоторой окрестноститочки пересечения корней вырожденного уравнения разность между точным ипредельным решениями имеет порядок O(ε 1 / 2 ) , в отличие от порядка O(ε 2 / 3 ) ,характерного для задачи (1), (2).Принекоторыхдополнительныхусловияхспомощьюметодадифференциальных неравенств было доказано существование решений задач(10), (11) и (12), (13), имеющих асимптотические представления, полученныеранее в работе [4]:⎧uˆ ( x) + Ρ0 u ( s ) + Π 0 u (τ ) + O(ε 2 − p ) для⎪u ( x, ε ) = ⎨uˆ ( x) + O(ε 1 / 2 )для⎪uˆ ( x) + O(ε )для⎩⎧vˆ( x) + Ρ0 v( s ) + O(ε 2− p ) для⎪v( x, ε ) = ⎨vˆ( x) + O(ε 1 / 2 )для⎪vˆ( x) + O(ε )для⎩x ∈ [0, x 0 − δ ),x ∈ [ x 0 − δ , x 0 + δ ],x ∈ ( x 0 + δ , T ],x ∈ [0, x0 − δ ),x ∈ [ x0 − δ , x0 + δ ],x ∈ ( x0 + δ , T ]для задачи (10), (11) и⎧uˆ ( x) + O(ε p / 2 ) для⎪u ( x, ε ) = ⎨uˆ ( x) + O(ε 1 / 2 ) для⎪uˆ ( x) + O(ε )для⎩⎧vˆ( x) + O(ε p / 2 ) для⎪v( x, ε ) = ⎨vˆ( x) + O(ε 1 / 2 ) для⎪vˆ( x) + O(ε )для⎩x ∈ [0, δ ] ∪ [1 − δ ,1],x ∈ [ x 0 − δ , x 0 + δ ],x ∈ (δ , x 0 − δ ) ∪ ( x 0 + δ ,1 − δ ),x ∈ [0, δ ] ∪ [1 − δ ,1],x ∈ [ x0 − δ , x0 + δ ],x ∈ (δ , x0 − δ ) ∪ ( x0 + δ ,1 − δ )10для задачи (12), (13).

Здесь uˆ ( x) , vˆ( x) - составное решение вырожденнойзадачи, Π 0 u (τ ) , Ρ0 u ( s) и Ρ0 v( s ) - пограничные функции нулевого порядка.В Главе 2 исследована система эллиптических уравненийε 2 Δu = g (u , v, x, ε ) , Δv = f (u , v, x, ε ) , x = ( x1 , x2 ) ∈ D ,(14)с краевыми условиями∂u(ξ , ε ) = 0 , v(ξ , ε ) = v 0 (ξ ) , ξ ∈ Γ ,∂n(15)где D - ограниченная область на плоскости с достаточно гладкой границей Γ ,ε - малый параметр, вырожденное уравнение g (u , v, x,0) = 0 имеет двапересекающихся корня.

Задача рассматривалась в случае, когда функция gсодержит слагаемое порядка ε , имеющее определенный знак на линиипересечения корней вырожденного уравнения.В результате с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения идальнейшей модификации вырожденной задачи были построены верхнее инижнее решения задачи (14), (15), методом дифференциальных неравенствдоказанатеоремасуществованиярешения,имеющегоасимптотическоепредставлениеu s ( x, ε ) = uˆ ( x) + O(ε 1 / 2 ) , v s ( x, ε ) = vˆ( x) + O(ε 1 / 2 ) , x ∈ D .Также была доказана теорема об асимптотической устойчивости решениясоответствующей параболической задачи− ut + ε 2 Δu = g (u, v, x, ε ) , −v t + Δv = f (u, v, x, ε ) , x ∈ D , t > 0 ,∂u(ξ , ε ) = 0 , v(ξ , ε ) = v 0 (ξ ) , ξ ∈ Γ .∂nВ Главе 2 также исследованы два вида систем параболического типа.

Приразных значениях параметра p рассмотрена начально-краевая задачаε 2 (u t − u xx ) + g (u , v, x, t , ε ) = 0 , ε p (vt − v xx ) + f (u , v, x, t , ε ) = 0 , x ∈ (0,1) , t ∈ (0, T ] ,u x (0, t , ε ) = u x (1, t , ε ) = 0 , v x (0, t , ε ) = v x (1, t , ε ) = 0 ,u ( x,0, ε ) = u 0 ( x) , v( x,0, ε ) = v 0 ( x) ,11в которой вырожденная система состоит из двух конечных уравнений, причемуравнение g (u , v, x, t ,0) = 0 имеет два пересекающихся корня. С помощьюметода регуляризации вырожденного уравнения построены верхнее и нижнеерешения, доказано существование решения данной задачи и получена егоасимптотика.В другой начально-краевой задачеε 2 (u t − u xx ) + g (u , v, x, t , ε ) = 0 , vt − ε p v xx + f (u , v, x, t , ε ) = 0 , x ∈ (0,1) , t ∈ (0, T ] ,u x (0, t , ε ) = u x (1, t , ε ) = 0 , v x (0, t , ε ) = v x (1, t , ε ) = 0 ,u ( x,0, ε ) = u 0 ( x) , v( x,0, ε ) = v 0 ( x)вырожденная система состоит из конечного уравнения и ОДУ первого порядка,причем уравнение g (u, v, x, t ,0) = 0 имеет пересекающиеся корни.

Для этойсистемы также доказано существование решения и получена его асимптотика.В Главе 3 рассмотрено несколько видов частично диссипативных системреакции-диффузии в случае пересечения корней вырожденного уравнения.Частично диссипативные системы часто используются для моделированияпроцессов реакции-диффузии в различных областях (химическая кинетика,биология, астрофизика), где эффектом диффузии одного вида можнопренебречь.

Примером задачи с частично диссипативной системой являетсяначально-краевая задача для системы быстрого и медленного уравненийε 2 (u t − u xx ) + g (u , v, x, t , ε ) = 0 , vt + f (u, v, x, t , ε ) = 0 , x ∈ (0,1) , t ∈ (0, T ] ,u ( x,0, ε ) = u 0 ( x) , v( x,0, ε ) = v 0 ( x) , u x (0, t , ε ) = u x (1, t , ε ) = 0 ,в случае пересечения корней вырожденного уравнения g (u, v, x, t ,0) = 0 , длякоторой доказана теорема о существовании решения и его асимптотике.Аналогичные теоремы доказаны для начально-краевой задачи для частичнодиссипативной системы двух быстрых уравненийε 2 (u t − u xx ) + g (u , v, x, t , ε ) = 0 , ε p vt + f (u , v, x, t , ε ) = 0 , x ∈ (0,1) , t ∈ (0, T ] ,u ( x,0, ε ) = u 0 ( x) , v( x,0, ε ) = v 0 ( x) , u x (0, t , ε ) = u x (1, t , ε ) = 012вдвухслучаях:припересечениикорнейвырожденногоуравненияg (u, v, x, t ,0) = 0 и при пересечении корней другого вырожденного уравненияf (u , v, x, t ,0) = 0 .ЗаключениеСформулируем основные результаты диссертации:- доказаны теоремы о предельном переходе для ряда сингулярновозмущенныхсистемОДУ,системуравненийэллиптическогоипараболического типов, а также различных частично диссипативных системуравнений с разными степенями малого параметра при производных в случае,когда корни вырожденного уравнения пересекаются;- получены асимптотические оценки решений рассмотренных задач;- для систем уравнений параболического типа доказаны теоремы обасимптотической устойчивости стационарного решения;- метод регуляризации вырожденного уравнения распространен на новыйкласс задач, определены условия его применимости;-для ранее исследованных задач с помощью метода регуляризациивырожденного уравнения построены новые, более простые и эффективныеверхние и нижние решения;- установлен асимптотический порядок разности между точным ипредельным решениями в окрестности точки (линии) пересечения корнейвырожденного уравнения в зависимости от наличия или отсутствия членовпорядка ε в правой части уравнения.Цитированная литература1.

Бутузов В.Ф. Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределестационарногорешениясингулярновозмущенногопараболическогоуравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46, № 3. С. 433-444.132. БутузовВ.Ф.Существованиеиасимптотическаяустойчивостьстационарного решения сингулярно возмущенной системы параболическихуравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Диф.уравнения. 2006.

Т. 42. № 2. С. 221-232.3. Бутузов В.Ф., Громова Е.А. О краевой задаче для системы быстрого имедленного уравнений второго порядка в случае пересечения корнейвырожденного уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, №8,С. 1165-1179.4. Бутузов В.Ф., Терентьев М.А. О системах сингулярно возмущенныхуравнений в случае пересечения корней вырожденной системы // Ж. вычисл.матем. и матем. физ. 2002.