Диссертация (Свойства корреляторов калибровочных теорий поля), страница 6

Это скалярное произведение линейно по обоим входящим в него полям. Также удобно, чтобы операторы Вирасоро были эрмитовыми относительно скалярногопроизведения:DEE DL−n Vα̂ |Vβ̂ = Vα̂ |Ln Vβ̂ .(2.42)Помимо данного свойства, скалярное произведение также должно быть ортогонально для примарных полейhVα |Vβ i = δα,β .(2.43)При рассмотрении алгебры Вирасоро скалярное произведение можно определить,как коррелятор полей в нуле и бесконечности, но все его значения можно такжеполучить напрямую из указанных выше свойств.Матрица Шаповалова Q∆1 (Y1 , Y2 ) блочно-диагональна (см. табл.2.1). Ее значенияможно определить, рассмотрев действие оператора LYα L−Yβ на примарное поле Vβ .Блочно-диагональная форма матрицы Шаповалова позволяет, несмотря на ее,вообще говоря, бесконечный размер, построить обратную к ней матрицу.

Обратнаяматрица также будет иметь блочно-диагональную форму, причем каждый ее блокбудет обратным к соответствующему блоку матрицы Шаповалова. При подсчетеконформных блоков, согласно (2.39), используется обратная матрица Шаповалова:D∆ (Yα , Yβ ) = Q−1∆ (Yα , Yβ ).26Y1 \Y2 ∅[1][2][1, 1]1∅[1]2∆1(8∆2[2][1, 1]Y1 \Y26∆ + 2c6∆6∆4∆(1 + 2∆)[2, 1][1, 1, 1]2(8∆ + c)24∆[3][3]+ c)2[2, 1]2(8∆ + c) 8∆ + (34 + c)∆ + 2c[1, 1, 1]24∆36∆(∆ + 1)36∆(∆ + 1)24∆(∆ + 1)(2∆ + 1)Таблица 2.1: Элементы матрицы Шаповалова для диаграмм Юнга |Y | ≤ 32.6Тройные вершиныРассмотрим подробнее два типа тройных вершин — коррелятор (точнее его голоморфная часть) и скалярное произведение трех полей:Γφχψ (Yφ , Yχ , Yψ ) = L−Yφ Vφ (0)L−Yχ Vχ (1)L−Yψ Vψ (∞) ,ψΓχφ (Yχ , Yφ , Yψ ) = L−Yψ Vψ |L−Yχ Vχ (1)L−Yφ Vφ (0) .(2.44)Если рассматривать поля из модулей Верма, то согласно свойствам операторов Вирасоро и скалярного произведения: H n+1hL−n Vα̂ | V1 (1)V2 (0)i = Vα̂ x dx T (x)V1 (1)V2 (0) =0+1H xn+1 dxH xn+1 dx= (x−1)hVα̂ | V1 (1) (Lk V2 )(0)i ,k+2 hVα̂ | (Lk V1 )(1) V2 (0)i +xk+21(2.45)0где контуры интегрирования охватывают точки z = 0 and z = 1.

Аналогичнымобразом можно представить и коррелятор Γ:H dxh(L−n Vα̂ )(0) V3 (1)V4 (∞)i = xn−1hT (x)Vα̂ (0)V3 (1)V4 (∞)i =0HH xk−2 dxdx= − xn−1 (x−1)hVα̂ (0)V3 (1)(Lk V4 )(∞)i .k+2 hVα̂ (0)(Lk V3 )(1)V4 (∞)i +xn−1(2.46)∞1В последний интеграл в формулах (2.45) и (2.46) дают вклад только члены с k = n.Эти формулы позволяют выразить тройные вершины с полями из модулей Вермачерез тройные вершины с примарными полями.Γφχψ (Yφ , Yχ , Yψ ) = γφχψ (Yφ , Yχ , Yψ ) hVφ (0)Vχ (1)Vψ (∞)i ,ψΓχφ (Yχ , Yφ , Yψ ) = γ ψχφ (Yχ , Yφ , Yψ ) hVψ |Vχ (1)Vφ (0)i ,27(2.47)где γ и γ описываются только конформными свойствами теории и алгеброй Вирасоро, а корреляторы примарных полей зависят от выбора конкретной теории и связанысо структурными константами теории.Отметим, что при рассмотрении алгебры Вирасоро два типа тройных вершинсовпадают γφχψ = γ ψχφ .

Это свойство, однако, не выполняется при рассмотрении болеесложных структур, например алгебры W (3) , которая будет рассмотрена ниже.2.6.1Тройные вершины Γ̄Рассмотрим подробнее методы вычисления тройных вершин. Для примарного поляV1 формула (2.45) сводится кhL−n Vα̂ |V1 (1)V2 (0)i == (n + 1)∆1 hVα̂ |V1 (1)V2 (0)i + hVα̂ |(L−1 V1 )(1)V2 (0)i + hVα̂ |V1 (1)(Ln V2 )(0)i .(2.48)В случае, когда поле V1 не является примарным, формула имеет несколько болеесложный вид:DEPL−n Vα̂ | V1 (1)V2 (0) = k>0EVα̂ | (Lk V1 )(1) V2 (0) +DE+(n + 1)∆1 hVα̂ | V1 (1)V2 (0)i + Vα̂ | (L−1 V1 )(1) V2 (0) +DE+ Vα̂ | V1 (1) (Ln V2 )(0) .(n+1)!(k+1)!(n−k)!D(2.49)Дополнительные слагаемые в правой части, однако, пропадают при n = 0.Если примарными являются оба поля V1 и V2 , то для всех n > 0 по определениюпримарного поля Ln V2 = 0.

Если при этом рассмотреть формулу (2.48) при n = 0,тоDEVα̂ | (L−1 V1 )(1) V2 (0) = ∆α̂ − ∆1 − ∆2 hVα̂ | V1 (1)V2 (0)i ,(2.50)таким образомhL−n Vα̂ | V1 (1)V2 (0)i = ∆α̂ + n∆1 − ∆2 hVα̂ | V1 (1)V2 (0)i ,n > 0,(2.51)где также использовались соотношения L0 Vα̂ = ∆α̂ Vα̂ и L0 V2 = ∆2 V2 . Заметим,что (2.50) остается верным даже если V1 не примарное поле, что не верно для (2.51).Отметим также, что в формуле (2.51) не налагается никаких ограничений на Vα̂ , вчастности Vα̂ может быть непримарным полем.

Если Vα̂ = L−Y Vα — поле из модуляВерма, то из свойств алгебры Вирасоро∆α̂ = ∆α + |Y |(2.52)и с помощью последовательного применения (2.51) можно получить общую формулудля γ̄ для произвольной диаграммы Юнга Y = {k1 ≥ k2 ≥ . . .DEYX L−Y Vα | V1 (1)V2 (0) = hVα | V1 (1)V2 (0)i∆α + ki ∆1 − ∆2 +kj .i28j<i(2.53)2.6.2Тройные вершины ΓДля примарных V3 и V4 формула (2.46) сводится кh(L−n Vα̂ )(0) V3 (1)V4 (∞)i = (n − 1)∆3 hVα̂ (0) V3 (1)V4 (∞)i −− hVα̂ (0) (L−1 V3 )(1) V4 (∞)i + hVα̂ (0) V3 (1) L−n V4 (∞)i .При n = 0 эта формула приводит к соотношениюhVα̂ (0) (L−1 V3 )(1) V4 (∞)i = − ∆α̂ + ∆3 − ∆4 hVα̂ )(0) V3 (1) V4 (∞)i .что позволяет получить для произвольного n > 0h(L−n Vα̂ )(0) V3 (1)V4 (∞)i = ∆α̂ + n∆3 − ∆4 hVα̂ (0) V3 (1)V4 (∞)i ,(2.54)(2.55)n > 0, (2.56)что является аналогом (2.51). Таким образом для произвольной диаграммы Юнга Yh(L−Y Vα )(0) V3 (1)V4 (∞)i=PQ hVα (0)V3 (1)V4 (∞)i i ∆α + ki ∆3 − ∆4 + j<i kj ,2.7n > 0.(2.57)Диаграммная техника1Dβ1γαβ10 β0Dβn−2 Dβn−11βγαn−1γ βnn−2 βn−2 αn−1 βn−1γαβ21 β1Рис.

2.2: Диаграмная техника для вычисления конформного блока. γ соответствуют тройным вершинам, а D — обратной матрице ШаповаловаПриведенный в разделе 2.4 способ вычисления четырехточечного конформногоблока может быть обобщен и на случаи большего числа полей.

С помощью операторного разложения (2.2) корреляторы любого числа полей можно свести к простейшим элементам — скалярным произведениям двух полей (см. раздел 2.5) и трехточечным вершинам (см. раздел 2.6). Такое разложение коррелятора естественнымобразом описывается диаграммной техникой. Конкретный вид диаграммы зависитот количества полей в корреляторе или конформном блоке и рода рассматриваемойповерхности. Диаграммы состоят из элементов двух типов: пропагаторов и вершин(рис.

2.2), связанных с обратной матрицей Шаповалова и тройными вершинами соответственно.Процедура вычисления конформных блоков таким образом дается следующималгоритмом: с помощью формулы (2.2) количество внешних полей n-точечного конформного блока уменьшается на 1, таким образом получается линейная комбинация29(n − 1)-точечных конформных блоков. В полученном выражении структурные константы Cijk можно представить с помощью Γ̄ и матрицы Шаповалова:EDD E PΓ̄χ̂ψ̂φ̂ =def Vχ̂ Vψ̂ (1)Vφ̂ (0) = Cψ̂ξ φ̂ Vχ̂ |Vξ̂ ,ξ̂Cψ̂ξ̂ φ̂ = Γ̄χ̂ψ̂φ̂⇓D(2.58)Vχ̂ |Vξ̂E−1,ξχCψ̂ξ̂ φ̂ = Cψφγψφ(Yψ , Yφ , Yχ )Dξ (Yχ , Yξ ).(2.59)Соответственно, правила построения конформного блока по диаграмме относительно просты: каждой вершине сопоставляется тройная вершина (см.

раздел 2.6), акаждой внутренней линии — обратная матрица Шаповалова (см. раздел 2.5), послеэтого нужно произвести суммирование по всем полям, соответствующим внутреннимлиниям диаграммы.2.8Подсчитанные тройные вершиныДля расчетов конформных блоков, проведенных в данной работе, необходимо вычисление различных тройных вершин с помощью описанных выше методов. Здесьприведены некоторые результаты, использованные в дальнейших вычислениях.1([1], ∅, ∅)γ231(∅, [1], ∅),= −γ231([1], ∅, ∅)γ23= (∆1 − ∆2 − ∆3 ),1γ23(∅, [1], ∅)1γ23(∅, ∅, [1])1γ23 ([1], [1], ∅)1γ23(∅, [1], [1])1γ23 ([1], ∅, [1])1γ23([12 ], ∅, ∅)1(∅, [12 ], ∅)γ231γ23(∅, ∅, [12 ])1γ23(∅, ∅, [2])1γ23(∅, [2], ∅)1γ23 ([1], [2], ∅)1γ23(∅, [1], [2])1γ23 (∅, [2], [1])= (∆3 + ∆2 − ∆1 ),= (∆1 + ∆2 − ∆3 ),= −(∆3 + ∆2 − ∆1 )(∆3 + ∆2 − ∆1 + 1),= (∆3 + ∆2 − ∆1 )(∆1 + ∆2 − ∆3 − 1) + 2∆3 ,= (∆1 + ∆2 − ∆3 )(∆1 − ∆2 − ∆3 + 1),= (∆1 − ∆2 − ∆3 )(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1),= (∆1 − ∆2 − ∆3 )(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1),= (∆1 + ∆2 − ∆3 )(∆1 + ∆2 − ∆3 + 1),= (∆1 + 2∆2 − ∆3 ),= (∆3 + 2∆2 − ∆1 ),= (∆1 − ∆2 − ∆3 − 2)(∆3 + 2∆2 − ∆1 ),= (∆3 + ∆2 − ∆1 )(∆1 + 2∆2 − ∆3 − 1),= (∆3 + 2∆2 − ∆1 )(∆1 + ∆2 − ∆3 − 2) + 3(∆3 + ∆2 − ∆1 ),301γ23(∅, [1], [12 ])= 2∆3 (∆1 + ∆2 − ∆3 ) + 2∆3 (∆1 + ∆2 − ∆3 − 1)++(∆3 + ∆2 − ∆1 )(∆1 + ∆2 − ∆3 − 1)2 ,1(∅, [12 ], [1])γ23= 2(2∆3 + 1)(∆3 + ∆2 − ∆1 )++(∆1 − ∆2 − ∆3 )(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1)(∆1 + ∆2 − ∆3 − 2),1γ23([1], [1], [1])= 2∆3 (∆1 − ∆2 − ∆3 − 1)++(∆1 − ∆2 − ∆3 )(∆3 + ∆2 − ∆1 )(∆1 + ∆2 − ∆3 − 1),1([1], ∅, [12 ])γ231γ23([1], [12 ], ∅)1γ23([12 ], ∅, [1])1(∅, [2], [2])γ231γ23 (∅, [12 ], [2])1γ23([1], [2], [1])= (∆1 − ∆2 − ∆3 + 1)(∆1 + ∆2 − ∆3 )(∆1 + ∆2 − ∆3 + 1),= (∆1 − ∆2 − ∆3 )(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1)(∆1 − ∆2 − ∆3 − 2),= (∆1 − ∆2 − ∆3 )(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1)(∆1 + ∆2 − ∆3 ),= (∆3 + 2∆2 − ∆1 )(∆1 + 2∆2 − ∆3 − 2) + 4∆3 + 2c ,= 6∆3 + (∆1 − ∆2 − ∆3 )(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1)(∆1 + 2∆2 − ∆3 − 2),= (∆3 + 2∆2 − ∆1 )(∆1 + ∆2 − ∆3 − 2)(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1)++3(∆3 + ∆2 − ∆1 )(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1),1([12 ], [2], ∅)γ23= (∆1 − ∆2 − ∆3 − 3)(∆1 − ∆2 − ∆3 − 2)(∆3 + 2∆2 − ∆1 ),1γ23(∅, [2], [12 ])= 6(∆1 + ∆2 − ∆3 − 1)(∆3 + ∆2 − ∆1 )++(∆1 + ∆2 − ∆3 − 1)(∆3 + 2∆2 − ∆1 )(∆1 + ∆2 − ∆3 − 2) + 6∆3 ,1([12 ], [12 ], ∅)γ23= (∆1 − ∆2 − ∆3 )(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1)××(∆1 − ∆2 − ∆3 − 2)(∆1 − ∆2 − ∆3 − 3),1γ23([1], [13 ], ∅)= −(∆1 − ∆2 − ∆3 )(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1)××(∆1 − ∆2 − ∆3 − 2)(∆1 − ∆2 − ∆3 − 3),1([1], [12 ], [1])γ23= 2(2∆3 + 1)(∆3 + ∆2 − ∆1 )(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1)++(∆1 − ∆2 − ∆3 )(∆1 − ∆2 − ∆3 − 1)2 (∆1 + ∆2 − ∆3 − 2),1111(∅, [1], [1])([1], [12 ], [1]) + 2(2∆3 + 1)γ23(∅, [12 ], [12 ]) = 2∆2 γ23(∅, [12 ], [1]) + γ23γ232.9W (3) алгебраНекоторые конформные модели с бесконечным числом примарных полей Вирасоромогут также обладать некоторыми дополнительными симметриями.

Симметрии такого типа называются расширенной конформной или киральной алгеброй. АлгебраВирасоро всегда является одной из ее составляющих, но конформная алгебра можетбыть и больше. Хорошо известный пример такой алгебры — алгебра токов в моделиВесса-Зумино-Новикова-Виттена [59]. В данной работе рассмотрен другой примерконформной алгебры. Теория с r свободными полями не определяется полностьюалгеброй Вирасоро, соответствующая алгебра носит название Wr+1 .С помощью конформной алгебры можно ввести соответствующие ей примарныеполя. Один модуль Верма расширенной конформной алгебры может включать в себя бесконечное число примарных полей Вирасоро, и новые конформные блоки тогда31оказываются бесконечной суммой конформных блоков Вирасоро.1 Элементы модуля Верма при этом нумеруются обобщенными диаграммами Юнга Y.