Диссертация (Свойства корреляторов калибровочных теорий поля), страница 5

Все потомки данного примарного поля составляютего модуль Верма. Поля модуля Верма нумеруются диаграммами Юнга, то естьупорядоченными последовательностями целых чисел:V∆,Y = L−Y V∆ = L−kN ..L−k1 V∆ ; Y = {k1 ≥ k2 ≥ .. ≥ kN }.P. |Y | будет обозначать размер диаграммы Юнга, то есть |Y | = ki .(2.12)Аналогичные построения можно провести и для антиголоформного тензора энергииимпульса. Действие оператора L̄0 при этом будет давать сопряженную размерность¯ В рамках данной работы рассматриваются только голоморфные конформполя ∆.ные блоки, однако аналогичные рассуждения можно провести и для антиголоморфной части.192.1Теория свободных полейПростейшая конформная модель — это теория безмассового скалярного поля. В двуR¯ 2 z.

Пропагаторы этоймерном случае эта теория описывается действием − 1 ∂φ∂φd8πтеории равны< φ(z1 , z̄1 )φ(z2 , z̄2 ) > = log(z12 ) + log(z̄12 ),1< ∂φ(z1 , z̄1 )φ(z2 , z̄2 ) > =z12< φ(z1 , z̄1 )∂φ(z2 , z̄2 ) > = −,< ∂φ(z1 , z̄1 )∂φ(z2 , z̄2 ) > =12z121z12,(2.13),...где zij ≡ zi − zj и z̄ij ≡ z̄i − z̄j . По определению нормальное упорядочение означает,что все спаривания нормально упорядоченных операторов не рассматриваются приприменении теоремы Вика. Среднее значение нормально упорядоченного оператораравно его постоянной (не зависящей от φ) части. В частности, QQ ◦ αi φ(zi ,z̄i ) ◦ Qαi αj αi αjαi φ(zi ,z̄i ) ◦◦zz̄=e◦,◦◦iji<j ijiei ◦⇓Q◦i ◦eαi φ(zi ,z̄i )◦=◦Q(2.14)αi αj αi αjz̄iji<j zij·δ(Piαi − 2Q) .Множитель с дельта-функцией в правой части можно интерпретировать, как нулевую моду функционального интеграла. В данном рассмотрении она играет рольправила отбора (закона сохранения), который выполняется при рассмотрении теории свободных полей.Изучение полей ∂φ(z, z̄) и их производных по z, а также голоморфной частикорреляторов полей eαφ(z,z̄) , позволяет рассматривать только голоморфную частьтеории.

Поэтому в дальнейшем зависимость от z̄ будет опускаться.Оператор тензора энергии-импульса в этой теории равен [73]T (z) ≡12◦◦(∂φ)2 (z) ◦◦(2.15)и его операторное разложение записывается какT (z1 )T (z2 ) =142z12+1 ◦2 ◦z12∂φ(z1 )∂φ(z2 ) ◦◦=(2.16)=c42z12+22 T (z2 )z12+1∂T (z2 )z12+kz12◦k≥0 (k+2)! ◦P∂ k+1 φ ∂φ(z2 ) ◦◦,то есть центральный заряд теории c равен в данном случае единице. Операторы20Вирасоро, таким образом, действуют на экспоненты от φ следующим образом:==+P∞1 ◦αφ(z2 ) ◦◦ =k=−∞ z k+2 ◦ Lk e12α2 /2 ◦ αφ(z2 ) ◦1 ◦αφ(z2 ) ◦αφ(z2 ) ◦◦2◦ + z12 ◦ α∂φ(z1 ) e◦ e◦ =◦ + ◦ T (z1 )ez1222α1 ◦αφ◦ αφ(z2 ) ◦(z2 ) ◦◦ + ◦◦ (∂φ)+ α∂ 2 φ eαφ (z2 ) ◦◦2 ◦ e◦ + z12 ◦ ∂e22z12T (z1 )◦◦◦◦eαφ(z2 )≡k ◦ ∂k Tk>0 z12 ◦k!P+α ∂ k+2 φ(k+1)!(2.17)+eαφ (z2 ) ◦◦ .Таким образом в качестве примарных полей можно рассматривать экспоненты от φ— ◦◦ eαφ(z) ◦◦.

Размерности таких полей при этом равны ∆α = α2 /2.Свободная теория с c 6= 12.2Если немного деформировать теорию, рассмотренную в предыдущем разделе, томожно получить теорию с c 6= 1. Для этого нужно деформировать тензор энергииимпульса1◦22◦◦ (∂φ) (z) ◦ +Q∂ φ(z),2операторное разложение которого устроено какT (z) ≡1−12Q22(2.18)∂φ(z1 )−∂φ(z2 )1+ z12 ◦◦ ∂φ(z1 )∂φ(z2 ) ◦◦=4 + 2Q3z12z1212= 21 · z14 + z22 T (z2 ) + z112 ∂T (z2 )+P 12 k 12 1 ◦ k+12Qk+4◦+∂φ∂φ(z)∂φ.+ k≥0 z122 ◦(k+2)! ◦(k+3)!T (z1 )T (z2 ) =·(2.19)Также, соответственно, изменяется и то, как он действует на экспоненты от φ:α(α−2Q) ◦ αφ(z2 ) ◦1 ◦αφ(z2 ) ◦2◦ + z12 ◦ α∂φ(z1 ) e◦ e◦ +2z1222−Q ◦ αφ(z2 ) ◦1 ◦αφT (z1 )eαφ(z2 ) ◦◦ == (α−Q)(z2 ) ◦◦ +2◦ + z12 ◦ ∂e◦ e 22z12P(∂φ)α∂ k+2 φ2αφk ◦ ∂k T◦+z+(α+Q)∂φe(z)+eαφ (z2 ) ◦◦2 ◦k>0 12 ◦2k!(k+1)!T (z1 )+ ◦◦+◦◦◦◦eαφ(z2 )◦◦=(2.20).Изменится, соответственно, и закон сохраненияXαi = 2Q(2.21)iна “вакуумный заряд” 2Q.Соответствующим образом изменяются и коммутационные соотношения операторов Вирасоро[Lm , Ln ] =1 − 12Q2m(m2 − 1)δm+n,0 + (m − n)Ln+m .1221(2.22)В качестве примарных полей в данной теории рассматриваются экспоненты от поля φ eαφ , которые параметризуются с помощью α.

Из полученных формул можновыразить размерности примарных полей и центральный заряд через Q:∆α = 21 α(α − Q),(2.23)c = 1 − 12Q2В работах по конформной теории поля рассматриваются различные нормировкипараметров α, заряда Q и, соответственно, их связи с размерностью ∆. Широкораспространены также два других варианта нормировки — умножение на i: φ −→ iφ,√√√α −→ iα, и/или на 2: α −→ 2α и Q −→ 2Q. В дальнейшем в данной работепонятие размерности конформного поля также будет относиться к параметру α, приэтом его связь с конформной размерностью описана в (2.23).2.3Корреляторы в свободной теорииЧетырехточечный коррелятор можно вычислить двумя разными способами — напрямую или с помощью применения операторного разложения.

Например,h∂φ(z1 ) ∂φ(z2 ) ∂φ(z3 ) ∂φ(z4 )i ==12 z2z1234+14z2412zz1+ z12 − z3424=12 z2z1234+14z242−+244z12z24+12 z2z1234z1+ z12244z34z24++112 z2 + z2 z2z1324!14 2312 2z1− z34Wick theorem==(2.24)2426z122z24−10z12 z342z24+26z342z12+ ... .С другой стороныDEh∂φ(z1 ) ∂φ(z2 ) ∂φ(z3 ) ∂φ(z4 )i = ∂φ(z1 ) ∂φ(z2 )∂φ(z3 ) ∂φ(z4 )=D E11◦◦◦◦==2 + ◦ ∂φ(z1 ) ∂φ(z2 ) ◦2 + ◦ ∂φ(z3 ) ∂φ(z4 ) ◦z12z34klPWick theoremz z= z2 1z2 + k,l≥0 12k!l!34 ◦◦ ∂ k+1 φ∂φ(z2 ) ◦◦ ◦◦ ∂ l+1 φ∂φ(z4 ) ◦◦=12 34klPz z.= z2 1z2 + k,l≥0 12k!l!34 (k+l+1)!+(k+1)!(l+1)!z 2+k+l12 34(2.25)24Аналогичные вычисления можно провести и для коррелятора примарных полей:◦◦===◦ ◦ α2 φ(z2 ) ◦ ◦ α3 φ(z3 ) ◦ ◦ α4 φ(z4 ) ◦=◦ ◦ e◦ ◦ e◦ ◦ e◦α1 α2 α1 α3 α1 α4 α2 α3 α2 α4 α3 α4z12 z13 z14 z23 z24 z34 = α1 α4 α3 α4 α1 α3α1 α2 α3 α4 (α1 +α2 )(α3 +α4 )123412z12z34 z24=1 + zz241 − zz241 + zz24− zz3424α1 α2 α3 α4 (α1 +α2 )(α3 +α4 )1234− α3 (α1 + α2 ) zz24+ ...z12z34 z241 + α1 (α3 + α4 ) zz24eα1 φ(z1 )22(2.26)и◦◦=◦ ◦ α2 φ(z2 ) ◦ ◦ α3 φ(z3 ) ◦ ◦ α4 φ(z4 ) ◦=◦◦ ◦ e◦ ◦ e◦ ◦ eα1 α2 α3 α4 ◦ α1 φ(z1 )+α2 φ(z2 ) ◦ ◦ α3 φ(z3 )+α4 φ(z4 ) ◦=z34 D◦ ez12◦◦ ◦ e2z12α1 α2 α3 α4 ◦22z12 z34◦ 1 + z12 α1 ∂φ + 2 ((α1 ∂φ) + α1 ∂ φ)eα1 φ(z1 )+ .

. . e(α1 +α2 )φ (z2 ) ◦◦E2z3422(α3 +α4 )φ◦(z4 ) ◦◦ =◦ 1 + z34 α3 ∂φ + 2 ((α3 ∂φ) + α3 ∂ φ) + . . . eα1 α2 α3 α4 (α1 +α2 )(α3 +α4 )12341 + α1 (α3 + α4 ) zz24z34 z24= z12− α3 (α1 + α2 ) zz24+ ... .=(2.27)В общей конформной теории нет прямого способа построения многоточечногокоррелятора, таким образом остается только второй способ — построение ответа спомощью операторного разложения. Эта процедура позволяет выразить произвольный коррелятор через структурные константы операторного разложения и корреляторы двух полей. Тем не менее, в данной конструкции корреляторы определяютсячерез бесконечные суммы по промежуточным состояниям и требует знания общихформул для корреляторов двух и трех полей.2.4Четырехточечный конформный блокКонформная теория поля — это прямое обобщение теории свободных полей.

Приэтом обобщении вместо теоремы Вика, использованной при вычислениях в свободной теории (см. раздел 2.3), используется операторное разложение. Также в общемслучае отсутствуют правила отбора (законы сохранения), которые были характерныдля свободной теории.∆2 , z2∆1 , z1∆3 , z3∆α = ∆β∆4 , z4Для примарных полей операторное разложение (2.2) записывается какV1 (z1 , z̄1 )V2 (z2 , z̄2 ) =β̃C12Xβ̃¯ 1 +∆¯ 2 −∆¯∆1 +∆2 −∆β̂ ∆β̂z̄12Vβ̂ (z2 , z̄2 ).(2.28)z12Суммирование в данном случае ведется по всевозможным полям.

Один из способовпредставить все такие поля — рассмотреть их как элементы модулей Верма. В такомслучае поля нумеруются тремя величинами — параметром β, задающим размерностьполя, и диаграммами Юнга Yβ и Ȳβ , которые обозначают действующие на примарноеполе операторы голоморфной алгебры Вирасоро L−Yβ и антиголоморфной алгебры23Вирасоро L̄−Ȳβ соответственно. В (2.28) введено обозначение β̃ = {β, Yβ , Ȳβ }. Отметим, что суммирование ведется по отдельности по всем Yβ и всем Ȳβ :X XX11β̃.V1 (z1 , z̄1 )V2 (z2 , z̄2 ) =¯ 1 +∆¯ 2 −∆¯ · C12 Vβ̃ (z2 , z̄2 )∆1 +∆2 −∆β̃∆β̃Yβ z12βȲβ z̄12(2.29)Также из-за свойств алгебры Вирасоро ∆β̃ не зависит от Ȳβ , верно и обратное утверждение.Если применить операторные разложения к трех- и четырехточеным корреляторам, то получатся следующие формулыV1 (z1 , z̄1 )V2 (z2 , z̄2 )Vβ̃ (z4 , z̄4 ) CF T ==Pα̃C12β̃¯¯¯∆1 +∆2 −∆α̃ ∆1 +∆2 −∆α̃z12z̄12(2.30)Vα̃ (z2 , z̄2 )Vβ̃ (z4 , z̄4 ) CF TиhV1D(z1 , z̄1 )V2 (z2 , z̄2 )V3 (z3, z̄3 )V4 (z4 , z̄4 )iCF T = E= V1 (z1 , z̄1 )V2 (z2 , z̄2 ) V3 (z3 , z̄3 )V4 (z4 , z̄4 )=CF Tα̃ C β̃PC1234=V(z,z̄)V(z,z̄).¯ +∆¯ −∆¯α̃2244∆+∆−∆∆β̃¯¯¯3434CF T∆ +∆ −∆∆ +∆ −∆1α̃,β̃ z122α̃ z̄1122α̃ zβ̃34(2.31)β̃z̄34Первое из этих соотношений можно использовать для определения структурныхконстант C, так как оно полностью задается конформной симметрией.

Коррелятордвух полей в правой части разложения для четырехточечного конформного блокатакже устроен довольно просто:1Vα̃ (z2 , z̄2 )Vβ̃ (z4 , z̄4 ) CF T = ∆ +∆ ∆¯ +∆¯ δ∆α ,∆β Q∆α (Yα , Yβ )Q̄∆¯ α (Ȳα , Ȳβ ),α̃α̃β̃β̃z24z̄24(2.32)6 |Yγ | и |Ȳβ | =6 |Ȳγ | соответственно.где Q∆β (Yβ , Yγ ) и Q̄∆¯ β (Ȳβ , Ȳγ ) равны нулю при |Yβ | =Голоморфный множитель Q∆β (Yβ , Yγ ) в корреляторе двух полей называется матрицей Шаповалова.Зависимость корреляторов двух полей от координат полностью задается конформной симметрией и связана с размерностями полей (см.

(2.32)). Аналогичнымсвойством обладает и коррелятор трех полей [73]:Vα̃ (z1 , z̄1 )Vβ̃ (z2 , z̄2 )Vγ̃ (z3 , z̄3 ) CF T ==Cα̃β̃γ̃¯ +∆¯ −∆¯¯ +∆¯ −∆¯¯ +∆¯ −∆¯∆ +∆β −∆γ ∆∆ +∆ −∆ ∆∆ +∆ −∆ ∆z̄12α β γ̃ z13α γ β z̄12α γ̃ β z23β γ α z̄12β γ̃ αz12α,(2.33)где Cα̃β̃γ̃ — структурные константы теории. Структурные константы можно разделить на три множителя — связанный с примарными полями и связанные с голоморфной и антиголоморфной алгебрами Вирасоро, так как операторы таких двух24алгебр Вирасоро коммутируют друг с другом:Cα̃β̃γ̃ = Cαβγ Cαβγ (Yα , Yβ , Yγ )Cαβγ (Ȳα , Ȳβ , Ȳγ )(2.34)Выражение для коррелятора четырех полей имеет более сложный вид.

Помимомножителей, заданных конформной симметрией, в выражении присутствует такжефункция от двойного отношения координат x =z12 z34:z32 z14hV1 (z1 , z̄1 )V2 (z2 , z̄2 )V3 (z3 , z̄3 )V4 (z4 , z̄4 )iCF T =¯ +∆¯ +∆¯ +∆¯∆1 +∆2 +∆3 +∆4∆41234 −∆¯ i −∆¯jQ−∆i −∆j33= G(x, x̄) zijz̄ij.(2.35)i<jРассмотрим другое разложение для конформного блока.

Его можно получить спомощью применения операторного разложения к первой паре полей в четырехточечном корреляторе:DEV1 (z1 , z̄1 )V2 (z2 , z̄2 ) V3 (z3 , z̄3 )V4 (z4 , z̄4 )=CF TP ∆β̃ ∆¯ β̃ β̃ =z12 z̄12 C12 Vβ̃ (z2 , z̄2 )V3 (z3 , z̄3 )V4 (z4 , z̄4 ) CF T .(2.36)β̃β̃Если выразить C12с помощью (2.30), то получается выражение для G(x, x̄) черездвухточечные и трехточечные корреляторы:G(x, x̄) =P¯−1x∆α̃ x̄∆α̃ δ∆α ,∆β Q−1¯ α (Ȳα , Ȳβ )×∆α (Yα , Yβ )Q̄∆(2.37)α̃,β̃×C12α C12α (0, 0, Yα )C12α (0, 0, Ȳα )Cβ34 Cβ34 (Yβ , 0, 0)Cβ34 (Ȳβ , 0, 0).Отметим, что из-за свойств двухточечных и трехточечных корреляторов сумма поголоморфным и антиголоморфным диаграммам Юнга может производиться по отдельности:G(x, x̄) =P¯x∆α x̄∆α δ∆α ,∆β C12α Cβ34 ×α,β!x|Yα | Q−1∆α (Yα , Yβ )C12α (0, 0, Yα )Cβ34 (Yβ , 0, 0) ×Yα ,Yβ!P |Ȳα | −1×x Q̄∆¯ α (Ȳα , Ȳβ )C12α (0, 0, Ȳα )Cβ34 (Ȳβ , 0, 0) .×P(2.38)Ȳα ,ȲβВ дальнейшем будет рассматриваться только голоморфный конформный блокB∆ (x) и его составляющие, то есть объекты в первой скобке в (2.38):B∆ (x) =Xx|Yα | Q−1∆α (Yα , Yβ )C12α (0, 0, Yα )Cβ34 (Yβ , 0, 0)Yα ,Yβ25(2.39)Для вычисления такого конформного блока достаточно рассмотреть корреляторыс нулевыми антиголоморфными диаграммами Юнга.

Так, для вычисления соответствующих структурных констант достаточно рассмотреть тройные вершины со следующим естественным обозначением:DEΓφ̂ψ̂χ̂ ≡ Cφ,ψ,χ Cφ,ψ,χ (Yφ , Yψ , Yχ ) ≡ Vφ̂ (0)Vψ̂ (1)Vχ̂ (∞) ,(2.40)где также введено обозначение α̂ = {α, Yα }.Используя матрицу Шаповалова (2.32), на пространстве векторов состояний можно ввести скалярное произведение:L−Yα Vα |L−Yβ Vβ >= Q∆α (Yα , Yβ ).(2.41)Подробнее свойства такого скалярного произведения рассмотрены в разделе 2.5.2.5Форма ШаповаловаКак было указано ранее, на алгебре полей можно ввести скалярное произведение(2.41).