Диссертация (Свойства корреляторов калибровочных теорий поля)

Московский государственный университет имени М.В. ЛомоносоваФизический факультетКафедра физики частиц и космологиина правах рукописиМорозов Андрей АлексеевичСвойства корреляторовкалибровочных теорий поляспециальность 01.04.02 — теоретическая физикаДиссертацияна соискание ученой степени кандидатафизико-математических наукНаучный руководитель:доктор, физ.-мат. наук,профессор Белокуров В.В.Москва 2014Оглавление1 Введение31.1Содержание диссертации .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.2Результаты, выносимые на защиту диссертации . . . . . . . . . . . . .142 Конформная теория поля162.1Теория свободных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.2Свободная теория с c 6= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.3Корреляторы в свободной теории .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.4Четырехточечный конформный блок . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.5Форма Шаповалова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262.6Тройные вершины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.272.6.1Тройные вершины Γ̄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282.6.2Тройные вершины Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292.7Диаграммная техника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292.8Подсчитанные тройные вершины . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .302.9(3)алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312.9.1Тройные вершины в алгебре W (3) . . . . . . . . . . . . . . . . .352.9.2Вычисления в свободной теории поля . . . . . . . . . . . . . . .382.9.3Примеры тройных вершин . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .50W3 АГТ-соотношение553.1Функция Некрасова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .553.2АГТ-соотношение для конформных блоков на сфере . . . . . . . . . .583.2.1U (1)-фактор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .583.2.2Четырехточечный конформный блок . . . .

. . . . . . . . . . .583.2.3Пятиточечный конформный блок . . . . . . . . . . . . . . . . .603.2.4Шеститочечный конформный блок . . . . . . . . . . . . . . . .643.2.5n-точечный конформный блок . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653.2.6Симметрии . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6713.33.2.7Выбор диаграмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683.2.8Явные вычисления для АГТ-соотношения . . . . . . . . . . . .69АГТ-соотношение для конформных блоков на торе .

. . . . . . . . . .723.3.173Предел больших масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Теория свободных полей и интегралы Сельберга754.22 +bNC̃αα11α+α22 +bNC̃αα11α+α2на втором уровне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .794.3Обобщение на высшие уровни . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .804.4Переход от операторного разложения к конформному блоку . . . . .814.5Интегралы Сельберга и их обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .834.1на первом уровне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .775 Теория Черна-Саймонса855.1ХОМФЛИ в фундаментальном представлении . . .

. . . . . . . . . . .895.2Полиномы ХОМФЛИ торических узлов . . . . . . . . . . . . . . . . .905.3Обобщенные ХОМФЛИ и τ -функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91τ -функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .915.3.15.3.25.4KСравнение H {t|t̄} и τ {t} . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .Цветные полиномы ХОМФЛИ для узла 41. . . . . . . . . . . . . . .92935.4.1ХОМФЛИ для произвольного антисимметричного представления 955.4.2Проверка цветного ХОМФЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .965.4.3Проверка гипотезы Оогури-Вафы. . . . . . . . .

. . . . . . .975.4.4Цветные суперполиномы узла-восьмерки . . . . . . . . . . . . .995.4.5Разностные уравнения на полиномы ХОМФЛИ и суперполиномы1026 Заключение1042Глава 1ВведениеКвантовая теория поля возникла в результате слияния квантовой механики и классической теории поля. Она, с одной стороны, включает в себя вероятностную картину мира и принцип неопределенности, а, с другой стороны, учитывает ограничения,связанные со специальной теорией относительности. Теории такого типа позволяютописать основные процессы, связанные с физикой элементарных частиц, атомнойфизикой и физикой твердого тела.Аппаратом квантовой теории поля из квантовой механики был заимствован такойважный принцип, как разделение величин на наблюдаемые и ненаблюдаемые.

Согласно данному принципу, любой величине, которую можно измерить, соответствуетнаблюдаемая теории, то есть среднее значение соответствующего ей оператора. Вквантовой теории поля средние значения такого типа соответствуют корреляционным функциям.

Таким образом, любые физические процессы в квантовой теорииполя описываются некоторыми корреляционными функциями (корреляторами). Врамках данной работы рассмотрены свойства корреляторов двух моделей квантовойтеории поля: трехмерной теории Черна-Саймонса и двумерной конформной теорииполя, а также связь последней с суперсимметричными теориями.Суперсимметричные теории в настоящее время широко изучаются в теоретической физике. Суперсимметрия — это симметрия, связывающая бозоны и фермионы— частицы с целыми и полуцелыми спинами соответственно, которые по этой причине описываются различными законами и распределениями.

Согласно этой гипотетической симметрии для каждого бозона (и квантового поля, ему соответствующего) существует парный ему фермион, и наоборот. Существование такой симметриибыло предположено в работах В.Акулова, Д.Волкова, Ю.Гольфанда и Е.Лихтмана[1, 2, 3, 4, 5]. Данная симметрия имеет очень широкое применение, как в теорииструн, так и в других областях теоретической физики, но экспериментальных свидетельств суперсимметрии в физике элементарных частиц пока не обнаружено. N = 23суперсимметричная теория, которая изучается при рассмотрения АГТ-соотношения,обладает двумя симметриями такого типа.В работе Н.Зайберга и Э.Виттена [6, 7] была подробно рассмотрена такая N = 2суперсимметричная теория Янга-Миллса.

Такая теория включает в себя четыре различных поля: два бозонных — векторное Aa и скалярное φa , и два фермионных —ψ a и λa . Такая теория описывается лагранжианомg 2 θ21µνL = 2 Tr − Fµν F +Fµν F̃ µν + (Dµ A)† Dµ A − 12 [A† , A]2 −g432π 2√√−iλσ µ Dµ λ̄ − iψ̄σ̄ µ Dµ ψ − i 2[λ, ψ]A† − i 2[λ̄, ψ̄]A .1(1.1)Из-за наличия суперсимметрии эффективное низкоэнергетичное действие такой теории всегда можно представить с помощью голоморфной функции F, называемойпрепотенциалом: Z11400200µνµνS=Im d xTr F (φ)|∂µ φ| + F (φ) −Fµν (F − iF̃ ) + .

. . .4π4(1.2)Специфика N = 2 суперсимметричной теории состоит, в том числе, в наличии в нейдуальности. Математически эта дуальность выражается формулойφD =∂F(φ)∂FD (φD ); φ=,∂φ∂φD(1.3)где φD — формально введенное, согласно этой формуле, дуальное поле.Помимо известной ранее формулы для препотенциала, рассчитанной по теориивозмущений,i 2 φ2φ ln 2(1.4)Fpert (φ) ∼2πΛН.Зайберг и Э.Виттен также предложили метод, позволяющий получить точное выражение для препотенциала, не требующий теоретико-полевых вычислений.

Проблема теоретико-полевых вычислений такого точного выражения состоит в необходимости учета инстантонных поправок. Инстантоны не являются минимумом действия,то есть решениями классических уравнений движения в теориях со спонтанным нарушением симметрии (тогда как ответ строится для некоторого вакуумного среднегоa, то есть в теории со спонтанно нарушенной симметрией). Это приводит с сингулярности инстантонных вкладов.Один из вариантов регуляризации этой сингулярности был рассмотрен А.Лосевым,Г.Муром, Н.Некрасовым и С.Шаташвили [8, 9, 10]. Суть примененного ими подходак вычислению инстантонных поправок состоит в том, что производится деформациятеории Зайберга-Виттена с помощью двух дополнительных параметров 1 и 2 . При4этом оказывается возможным посчитать интеграл по всем инстантонным состояниям, который выражается так называемой функцией Некрасова.Четырехмерная N = 2 суперсимметричная теория вызывает в последнее времяособый интерес в связи с ее предполагаемой связью с двумерной конформной теорией.