Автореферат (Свойства корреляторов калибровочных теорий поля)

Московский государственный университет имени М.В.ЛомоносоваФизический факультетКафедра физики частиц и космологиина правах рукописиМорозов Андрей АлексеевичСвойства корреляторовкалибровочных теорий поляспециальность 01.04.02 — теоретическая физикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степени кандидатафизико-математических наукМосква 2014Работа выполнена на кафедре физики частиц и космологиифизического факультета Московского государственного университетаимени М.В.ЛомоносоваНаучный руководитель:доктор физ.-мат.наук Белокуров В.В.профессор кафедры физики частиц и космологии,физический факультетМГУ им. М.В.Ломоносова, г.МоскваОфициальные оппоненты:доктор физ.-мат.наук, чл.-корр.РАН Белавин А.А.главный научный сотрудник,Институт теоретической физикиим.

Л.Д.Ландау РАН, г.Черноголовкадоктор физ.-мат.наук Чехов Л.О.ведущий научный сотрудник,Математический институтим. В.А.Стеклова РАН, г.МоскваВедущая организация: Объединенный институт ядерных исследований, г. ДубнаЗащита состоится “”2014 г.

вчасов на заседанииДиссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ,дом 1, стр. 2, физический факультет, ауд. “”.С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова по адресу 119192, г. Москва, Ломоносовский проспект, дом 27 и на странице диссертационного совета Д 502.002.10 насайте www.phys.msu.ru.Автореферат разосланУченый секретарьДиссертационного совета Д 502.002.10,доктор физико-математических наук,профессорП.А.Поляков1Общая характеристика работыКвантовая теория поля была построена с целью объединения двух картин мира —квантовой механики, описывающей вероятностные процессы на микроуровне, и теории поля, прежде всего электродинамики, описывающей электромагнитные поляи волны.

Методы квантовой теории поля применяются в различных областях теоретической и экспериментальной физики: в физике элементарных частиц, атомнойфизике, ядерной физике и физике твердого тела. В частности, стандартная модель,описывающая все известные на данный момент элементарные частицы и взаимодействия (за исключением гравитации), также является моделью квантовой теорииполя.Немаловажную роль в квантовой теории поля играют симметрии — как симметрии пространства-времени, так и внутренние симметрии теории.

Наличие симметрий различных типов помогает избежать расходимостей в теории. В настоящеевремя широко изучаются такие симметрии, как суперсимметрия, конформная симметрия и топологическая симметрия. Теориям с симметриями этих типов посвященадиссертационная работа. Первая часть работы посвящена конформным и суперсимметричным теориям, вторая — трехмерной топологической теории.Суперсимметрия — это симметрия между бозонами и фермионами, частицами сцелыми и полуцелыми спинами соответственно, при которой каждому бозону соответствует фермион и наоборот.

Конформная симметрия — симметрия совсем другоготипа, при ней преобразования сохраняют углы между направлениями, но не сохраняют расстояния. Гипотеза Алдая-Гайотто-Тачикавы (АГТ) [1] гласит, что междусуперсимметричными и конформными теориями существует связь: статистическаясумма четырехмерной суперсимметричной теории равна конформному блоку — голоморфной части коррелятора двумерной конформной теории.В диссертации рассмотрена гипотеза АГТ для двух конфигураций полей конформной теории и соответствующих им статистических сумм суперсимметричнойтеории. Рассмотрен конформный блок для нескольких полей на двумерной сфереи связанная с ним фукнция Некрасова.

Также рассмотрен конформный блок дляодного поля на двумерном торе и предел большой конформной размерности полядля такого конформного блока.Поля конформной теории можно описать с помощью различных алгебр. Суперсимметричной теории с калибровочной группой SU (2) соответствует конформнаятеория с алгеброй Вирасоро.

Чаще всего рассматривается именно такой случай соотношения АГТ. Можно рассмотреть и аналогичные соотношения между другимитеориями. Так, суперсимметричной теории с калибровочной группой SU (N ) соответ-3ствует конформная теория с алгеброй W (N ) . В диссертационной работе рассмотренаконформная теория с алгеброй W (3) . В частности, получены рекурсивные формулыдля корреляторов трех полей с алгеброй W (3) .Помимо вычисления корреляторов в произвольной конформной теории эффективным методом является рассмотрение конкретной модели конформной теории.Простейшая модель конформной теории — это теория свободных скалярных полей.В ней легко могут быть вычислены любые корреляторы. Однако, в отличие от произвольной конформной теории, в теории свободных полей корреляторы отличны отнуля только для полей определенных размерностей, связанных законом сохранения.Для рассмотрения полей произвольной размерности в коррелятор можно добавитьтак называемые экранирующие поля.

В диссертационной работе проверено, что корреляторы конформной теории, рассчитанные с помощью конформной симметрии ис помощью свободной теории с экранирующими полями, совпадают друг с другом.Вторая часть работы посвящена трехмерной теории Черна-Саймонса. Эта теорияв настоящее время привлекает внимание многих ученых, что во многом обусловленоее связью с математической теорией узлов. Основная задача математической теорииузлов состоит в построении алгоритма, позволяющего отличить друг от друга различные узлы — замкнутые контуры в трехмерном пространстве. Для достиженияэтой цели часто используется метод, который состоит в построении так называемыхинвариантов узлов.Трехмерная теория Черна-Саймонса примечательна тем, что она является топологической теорией, то есть ее корреляторы не зависят от координат в трехмерномпространстве. В частности, при некоторых выборах калибровки она превращаетсяв локально невзаимодействующую теорию.

Тем самым задача о нахождении в нейкорреляторов нескольких полей не представляет такого широкого интереса, как вдругих теориях поля. Однако, ввиду топологической инвариантности и трехмерности теории, большой интерес для изучения представляют корреляторы другого типа— вильсоновские средние.

Средние значения петель Вильсона можно вычислять дляразличных контуров K, а также полей, преобразующихся по различным представлениям калибровочной группы. Ключевая особенность трехмерной теории, котораяне проявляется в теориях больших размерностей, состоит в том, что в трехмерномпространстве существуют нетривиальные контуры, которые нельзя свести друг кдругу с помощью топологических преобразований. Такие контуры соответствуютразличным узлам. Тем самым открывается большой пласт задач о свойствах такихвильсоновских средних для различных контуров (узлов).Если обобщить утверждения, сделанные Э.Виттеном, то такие вильсоновскиесредние эквивалентны одному из известных в математике инвариантов узлов — по4линомам Хосте-Окнеану-Милле-Фрейда-Ликориша-Йеттера (ХОМФЛИ) .

Свойстваэтих полиномов на данный момент широко изучены только для одного класса узлов, называемых торическими (так как они получаются с помощью намотки нитина тор). Однако, общие свойства вильсоновских средних (полиномов ХОМФЛИ) дляпроизвольных узлов пока мало изучены. Во многом причиной этого служит то, чтоответы для неторических узлов известны только в фундаментальном представлении. Однако, многие известные свойства торических узлов связаны с полиномами ввысших представлениях.В данной работе рассмотрены две задачи, связанные с полиномами узлов. Однаиз них заключается в построении полиномов ХОМФЛИ в высших симметрических иантисимметрических представлениях для простейшего неторического узла.

Втораязадача касается описания интегрируемых свойств полиномов торических узлов, аименно связи полиномов ХОМФЛИ торических узлов и решений иерархии уравнений Кадомцева-Петвиашвили (КП).1.1Актуальность темы исследованияДиссертационная работа посвящена суперсимметричным, конформным и топологическим теориям.В суперсимметричных теориях предполагается, что для каждого бозона существует парный ему фермион, и наоборот [2, 3].

Данная симметрия имеет очень широкое применение как в теории струн, так и в других областях теоретической физики, но экспериментальных свидетельств суперсимметрии в физике элементарныхчастиц пока не обнаружено.N = 2 суперсимметричная теория Янга-Миллса [4, 5] — теория, симметричнаяотносительно двух различных преобразований суперсимметрии.

Из-за наличия суперсимметрии эффективное низкоэнергетичное действие такой теории всегда можнопредставить с помощью голоморфной функции F, называемой препотенциалом: Z11400200µνµνIm d xTr F (φ)|∂µ φ| + F (φ) −Fµν (F − iF̃ ) + . . . .(1)S=4π4Специфика N = 2 суперсимметричной теории состоит, в том числе, в наличии в нейдуальности. Математически эта дуальность выражается формулойφD =∂F(φ)∂FD (φD ); φ=,∂φ∂φD(2)где φD — формально введенное, согласно этой формуле, дуальное поле.Помимо известной ранее формулы для препотенциала, рассчитанной по теориивозмущений, Н.Зайберг и Э.Виттен предложили также метод, позволяющий полу5чить точное выражение для препотенциала и не требующий теоретико-полевых вычислений. Проблема теоретико-полевых вычислений точного выражения состоит внеобходимости учета инстантонных поправок.

Интеграл по всем инстантонным состояниям выражается так называемой функцией Некрасова [6].Четырехмерная N = 2 суперсимметричная теория вызывает в последнее времяособый интерес в связи с ее предполагаемой связью с двумерной конформной теорией. В работе [1] предположили существование такого соотношения, получившегоназвание соотношения Алдая-Гайотто-Тачикавы (АГТ-соотношения) или гипотезыАГТ. Согласно данной гипотезе функция Некрасова равна конформным блокам —голоморфной части корреляторов конформной теории поля.

Данное соотношениепозволяет решить ряд задач, связанных как с суперсимметричной теорией, так и сконформной теорией. Например, с помощью конформной теории было получено выражение для препотенциала в суперсимметричной теории с четырьмя безмассовымимультиплетами в фундаментальном представлении [7].Первая часть работы посвящена различным вопросам, связанным с двумернойконформной теорией, то есть теорией инвариантной относительно конформных преобразований (см. [8]). Эти преобразования, являющиеся прямым обобщением масштабных преобразований, сохраняют углы между любыми двумя направлениями,но не сохраняют расстояния. Конформная теория имеет непосредственное отношение к физике твердого тела, в частности, к теории фазовых переходов [9].Если в двумерной конформной теории перейти от двумерных координат к комплексным координатам z и z̄, то все объекты распадаются в комбинацию голоморфной части, зависящей только от z, и антиголоморфной, зависящей только от z̄.Поля в двумерной конформной теории при этом можно описать с помощью алгебры Вирасоро.

Действие операторов алгебры Вирасоро на поля задается как коэффициенты ряда Лорана в разложении действия оператора тензора энергии-импульса:T (z1 )V (z2 ) =∞XLn (z)n+2 V (z2 ).z12n=−∞(3)Алгебра Вирасоро обладает следующими коммутационными соотношениями:cm(m2 − 1)[Lm , Ln ] =δn+m,0 + (m − n)Ln+m ,12(4)где c — центральный заряд теории. Аналогичным образом можно ввести и антиголоморфную алгебру Вирасоро.Основная характеристика поля конформной теории — это его размерность, определяемая как собственное значение при действии оператора L0 : L0 Vα = ∆α Vα . Спомощью операторов Вирасоро все поля в конформной теории можно описать как6некоторые потомки примарных полей, то есть полей, обращающихся в ноль придействии операторов Ln , n > 0.