Развитие методов математической статистики и квантовой теории поля в приложении к физике нейтрино, страница 3

Симметричность выборки {α q−opt }отвергается одним из критериев симметричности (критерием Вилкоксона),но принимается простым знаковым критерием. Равномерность исимметричность выборки {α pair } (критерий попарных корреляций соседей)подтверждается всеми критериями согласия.Нужно отметить, что проверки равномерности и симметричностинечувствительны к типу аномалии. В самом деле, заметим, что значения впервой строке Таблицы 1 указывают на то, что квазиоптимальныйкритерий (который является более чувствительным к аномалиям типаступеньки из двух, используемых в данном подразделе) не видитаномального вклада.

Таким образом, если попытаться интерпретироватьвсе результаты тестов на равномерность как потенциальное указание наналичие аномалии — это, по крайней мере, не может быть аномалия типаступеньки, которая была обнаружена при первом анализе данных Троицкню-масс.Раздел 2.2 описывает метод предела чувствительности, дающий, какпоказывается, физически корректное решение задачи учёта априорнойинформации в виде одностороннего ограничения на оцениваемыйпараметр при построении доверительных интервалов в физических12измерениях.

Строятся решения для ситуаций с непрерывнымраспределением в случае неотрицательного оцениваемого параметра, атакже для дискретных распределений, в частности для пуассоновскогопроцесса с фоном. Для этих же двух случаев построен наилучший верхнийпредел, учитывающий наличие априорной информации.Сначала в разделе 2.2.1 даются описание неймановского построениядоверительных интервалов и обозначения, используемые в дальнейшем.Пусть θˆ — обычная оценка для неизвестного параметра θ , то естьоценка, полученная без учёта априорного ограничения (например,фундаментальным методом моментов).θˆявляетсяфункциейнабораСлучайнаявеличинаэкспериментальных данных Х: θˆ = θˆ( X ) .

Плотность вероятности этойвеличины dθ (θˆ ) зависит от θ как от параметра. Предполагается, чтоплотность вероятности – известная, несингулярная функция, как тоготребует стандартная неймановская процедура построения доверительныхинтервалов. Плотность dθ (θˆ ) содержит в себе всю информацию обизмерении параметра θ в эксперименте, включая метод оценивания этогопараметра.Пусть α, α' — малые неотрицательные величины. Определим Lα (θ )и Uα ′ (θ ) как()P −∞ < θˆ < Lα (θ ) = α ,()P Uα ′ (θ ) < θˆ < +∞ = α ′(11)Вероятность получить величину оценки меньше Lα (θ ) равна α , абольше Uα ′ (θ ) — α' .Если предположить также, что Lα (θ ) и Uα ′ (θ ) обратимые функцииθ, то (11) можно переписать в виде()P lα (θˆ ) < θ = α ,()P θ < uα ′ (θˆ ) = α ′(12)где uα = Uα−1 , lα = Lα−1 . Из (12) следует, что вероятность получить случайнуювеличину lα (θˆ ) ( uα ′ (θˆ ) ) меньшую (большую), чем неизвестное истинноезначение θ равна α (α').Можно переписать (11) в виде()P Lα (θ ) < θˆ < Uα ′ (θ ) = 1 − α − α ′ ≡ β(13)Тогда из эквивалентного выражения()P uα ′ (θˆ ) < θ < lα (θˆ ) = β(14)13следует, что с вероятностью β (доверительный уровень, например, 90%)случайный интервал [uα ′ (θˆ ) , lα (θˆ )] накрывает неизвестное значение θ.Выбирая α = α ′ = (1 − β ) 2 , получим стандартный симметричный доверительный пояс (систему доверительных интервалов).Дискретность распределения приводит к некоторым изменениям впостроении доверительных интервалов по сравнению с непрерывнымираспределениями.

Для построения доверительных интервалов выберем,как обычно, доверительный уровень α (например, 95%). По определениюнеобходимо указать такие интервалы, которые будут содержатьнеизвестное истинное значение µ0 в доле экспериментов равной α :P ( µ0 ∈ [ µ1 , µ2 ]) = α(15)Вследствие дискретности распределения необходимо ослабитьусловие (15), изменив его на неравенство " ≥ ". Для каждого значения µможем указать значения n, удовлетворяющие условию:()Pµ n ∈  n1 ( µ ) , n2 ( µ )  ≥ α(16)Условие консервативности интервала (требование выполнения (16)для любых фиксированных µ ) определяет единственное значение µ * длякаждого n.

Это значение µ * и будет границей доверительного интервала.Для каждого измерения величины n можно указать доверительныйинтервал для неизвестного параметра µ в формеµ ∈ [ µnα , µn′α ]несколькими способами. Выбор конкретного способа заданиядоверительного интервала, как обычно в задачах обработки данных,остаётся за экспериментатором.В разделе 2.2.2 приведена классификация способов учёта априорнойинформации при построении доверительных интервалов.Для решения такой задачи в литературе предлагалось несколькорешений.

Решения можно разбить на две группы по способуиспользования свободы, заложенной в неймановской процедурепостроения доверительных интервалов.Кауэн и др. (построение CCGV) предложили метод, получившийназвание ограничения интервалов с помощью функции мощности.Построение доверительных интервалов, предложенное Фельдманом иКазинсом (1998), так же как и способ Стерна, Кроу и Гарднера, основанона специальном порядке добавления точек в доверительную область.Порядок добавления точек определяется отношением правдоподобий.Указанные исследователи использовали изменение порядка добавленияточек в доверительную область для получения доверительных интерваловс учётом дополнительной информации о параметрах.

Однако такие14построения приводят к нефизически коротким доверительным интерваламвблизи границы физически допустимых значений параметра. Этопроисходит оттого, что способ построения оценки фактически неучитывает физического ограничения на интересующие параметры, ииспользуется та же оценка, что и в случае без априорных ограничений.Манделькерн и Шульц предложили использовать в решении задачидругую оценку. В частном случае, рассматриваемом в их работе,подходящая оценка находится с использованием метода максимальногоправдоподобия. В функцию правдоподобия вводится фактор – функцияХевисайда, явным образом отражающая условие ограничения параметра, иполучается оценка, всегда лежащая в физической области для даннойзадачи.В разделе 2.2.3 даётся решение задачи об учёте априорной информации при построении доверительных интервалов в непрерывном идискретном случаях.

Решение для непрерывных распределений было данов работе Ткачева (2009). Идея решения заключается в следующем.Ключевым элементом в построении доверительных интерваловявляется оценка (estimator). Можно поставить вопрос: как правильновыбрать оценку θˆ = θˆ( X ) , если заранее известно, что θ ≥ 0 ?Определяющим свойством любой оценки является то, что она даётзначение наиболее близкое к неизвестному θ. Тогда определим новуюоценку как:( )θ = max θˆ,0(17)Очевидно, что θ дает оценки, которые заведомо ближе кнеизвестному значению θ, чем θˆ . Такая оценка содержит какстатистическую информацию, заключенную в обычной оценке θˆ , так иаприорную информацию о том, что θ ≥ 0 .

После этого остаётся построитьдоверительные интервалы для новой оценки θ . Распределениевероятности для θ имеет следующий вид:dθ (θ ) = H (θ ) dθ (θ ) + cθ δ (θ ),(18)где H (t ) - обычная функция Хевисайда, δ (t ) дираковская δ-функция и0cθ = ∫ dθˆ dθ (θˆ).−∞(19)Следовательно, возникает дополнительная сложность, связанная ссингулярным вкладом в (18). Воспользуемся следующим наблюдением.Определение (17) означает, что случайные значения обычной оценки θˆ витоге переносятся в точку ноль и скапливаются в этой точке.

Это означает,что все такие значения становятся неразличимыми: они дадут нулевоезначение модифицированной оценки θ — и, следовательно, один и тот же15доверительный интервал. Тогда все неположительные значения θˆ дают витоге один и тот же доверительный интервал [0, const], где константа независит от θˆ . После этого построение доверительных интервалов можетбыть произведено целиком в терминах обычной оценки θˆ ;модифицированная оценка θ используется лишь как дополнительноеусловие: итоговые системы доверительных интервалов должныудовлетворять условию, что все значения θˆ за априорной границейдолжны давать одинаковый доверительный интервал.В случае дискретных распределений рассмотрим ситуацию, когда вэксперименте детектируется число событий n, причём n имеетраспределение Пуассона с параметром µ .

Учтём теперь наличие фоновыхсобытий. Число фоновых событий - измеряемая величина, следовательно, вобщем случае известно распределение Pβ ( b ) . Здесь β - неизвестноеистинное значение для среднего числа фоновых событий.По аналогии с работой Фельдмана и Казинса рассмотрим случай,когда среднее число фоновых событий известно точно и равно b. Тогдачисло событий, зарегистрированных в эксперименте, будет распределенопо Пуассону со средним ( µ + b ) :Pµ ( n ) =( µ + b)nn!e −( µ + b )(20)Используем теперь дополнительную информацию о фоне и построимдоверительные интервалы для параметра µ .

Основная идея состоит в том,что априорная информация о параметре может быть снова учтена в выбореоценки (estimator) для данного параметра. После этого построениеинтервалов производится автоматически. В частном случае, когда среднеезначение для фона известно точно, можно выбрать в качестве оценкиследующую величину:µ + b ) = max ( n, b )(21)(Очевидно, что измеряемая в эксперименте величина n может бытьвыбрана в качестве оценки для ( µ + b ) , но, в отличие от (21), допускаетотрицательные значения для µ . Измеряя n и используя оценку (21), врезультате вычитания постоянного фона b получим заведомонеотрицательную оценку параметра µ .Распределение для оценки (21) позволяет строить доверительныеинтервалы для ( µ + b ) и, следовательно, для величины µ (Рис.3).Дискретность распределения для величины n (20) позволяет провестиследующее рассуждение.

Для любого заданного µ известна вероятностьполучить при измерении значение n ≤ b , она равна:[b]P ( n ≤ b) = ∑n =0( µ + b)n!ne −( µ +b ) ,(22)16где [b] обозначает, как обычно, целую часть числа. Тогда, используяоценку (21), в результате измерений будем получать значение этой оценкиравное b с вероятностью (22).Таким образом, распределение вероятностей для случайнойвеличины max ( n, b ) будет состоять из распределения (20) при значенияхn > b , и вероятности (22) получить при измерениях величину b. Результатпостроения доверительных интервалов для параметра µ на основе оценки(21) приведен на Рис.3. Такая система доверительных интервалов даёткорректные оценки параметра µ для любых значений измереннойвеличины n. В частности, для любого n ≤ b получим один и тот жедоверительный интервал для µ .Рис.

3. Доверительные интервалы для неизвестного сигнала µ приналичии пуассоновского фона со средним b=3 ((1) - 90% симметричныйдоверительный интервал без учёта априорной информации; (2) односторонний 90% интервал без учёта информации о фоне; (3) - 90%доверительный интервал, полученный с учётом априорной информации воценке параметра µ ).В Главе 3 рассматриваются задачи, связанные с движениемнейтрино в плотной среде. В недавних исследованиях электромагнитныхсвойств нейтрино был предложен новый механизм электромагнитногоизлучения, производимого нейтрино, движущимся в плотной среде.

Такойтип электромагнитного излучения был назван спиновым светом нейтринов среде, SLν (Лобанов, Студеникин, 2002). В квазиклассической интерпретации такое излучение происходит благодаря прецессии магнитногомомента нейтрино в плотной среде.