Развитие методов математической статистики и квантовой теории поля в приложении к физике нейтрино, страница 2

В этой главе сформулированы основные целидиссертационной работы, кратко описана структура диссертации.В Главе 2 рассматриваются некоторые методы математическойстатистики в приложении к нейтринной физике. Метод квазиоптимальныхвесов оказывается удобным инструментом для построения эффективныхкритериев для поиска аномальных вкладов в интегральных спектрах.Развиваемый метод предела чувствительности позволяет строить системыдоверительных интервалов, в том числе для параметров дискретныхраспределений, корректно учитывающие априорную информацию опараметрах (например, ограниченную область значений).Раздел 2.1 посвящён задаче о поиске аномальных вкладов вэкспериментальных спектрах.

Для решения такой задачи предлагаетсяметод построения эффективных статистических критериев для поискааномалий. Дискуссии вокруг аномалий в экспериментальных данных –возможных сигналов новой физики – являются довольно частым явлением.Поскольку единого решения для такой проблемы не существует, важноиметь систематический подход к построению статистических критериевдля обнаружения аномалий различных типов.В разделе 2.1.1 описывается метод квазиоптимальных весов –фундаментальный метод оценивания. Он заключается в следующем. Пустьимеется набор точек {Pi }, i = 1.. N , полученных экспериментально.

Пустьтакже известна функция плотности распределения π ( P ) , описывающая этиэкспериментальные данные. Кроме того, функция π ( P ) зависит отпараметра θ , истинное значение которого неизвестно. Для оценкизначения параметра θ вводятся весовые функции ϕ ( P ) , которые такженазываются весами или обобщенными моментами. Затем строятся двасредних для ϕ ( P ) - теоретическое и экспериментальное:ϕ (P)ϕ (P)th= ∫ ϕ ( P ) π ( P ) dP = h (θ )exp1=N∑ϕ ( P ) .ii(1)7Приравнивая экспериментальное и теоретическое средние, получим уравнение для определения экспериментального значения параметра θ exp .весСвободу в выборе ϕ ( P ) можно зафиксировать так, чтобы выбранныйминимизировал вариацию экспериментальной оценки θ exp :Var (ϕ )∂h (θ ); H=.

Можно показать, что условию миними2H∂θзации Var (θ exp ) удовлетворяют весовые функции вида (Ткачев, 2000):N Var (θ exp ) =ϕopt ( P ) =∂ ln π ( P ), которые и называются квазиоптимальными весами.∂θВ разделе 2.1.2 даётся общий подход к поиску аномальных вкладов винтегральных спектрах. В этом разделе показано, как методквазиоптимальных весов может быть применён к поискам аномалий вэкспериментальных данных. В качестве примера выводится удобныйстатистический критерий для аномалий типа ступеньки в интегральныхбета-спектрах в экспериментах по прямому измерению массы нейтрино.Такой критерий имеет почти такую же мощность, как и так называемыйлокально наиболее мощный критерий, и заметно превосходит стандартныекритерии χ2 и Колмогорова-Смирнова. Проводится также сравнение спредложенным критерием попарных корреляций соседей, которыйоказывается менее мощным, хотя и более чувствительным к аномалиямобщего вида.Аномальный вклад, для которого нужно получить специальныйкритерий, имеет форму ступеньки (в интегральном спектре Троицк-нюмасс ступенька возникает в результате интегрирования δ-образнойаномалии, избытка электронов с энергией Est ):µ ′ ( E ) = µ ( E ) + ∆ ⋅ θ ( Est − E ) ,(2)где µ ( E ) есть спектр без аномального вклада, θ ( x ) – функция Хевисайда,Est – положение ступеньки, а ∆ – её высота (∆ – это среднее значение числаизбыточных электронов с энергией Est за фиксированное время).

Втерминах набора Ei , m определяется через значение Em , Em ≤ Est < Em+1 .Первым построен критерий на основе метода квазиоптимальныхвесов. На языке математической статистики такие критерии называютсялокально наиболее мощными («локально» обозначает здесь «вблизинулевой гипотезы»; в дальнейшем используется сокращение ЛНМ дляэтого критерия).Вначале предполагается, что положение ступеньки известно. Этоположение задаётся параметром m, определённым выше.

Распределениячисла событий задается следующим образом:8fi ( N ) =µ + ∆− ,, µi′ →  iN! µi + ∆ + ,µi′N e − µ′ii>m.i≤m(3)Такая параметризация соответствует ситуации, когда данныесначала фитируются в предположении нулевой гипотезы, то есть без учётаступеньки, а после этого высота ступеньки ∆ = ∆ + − ∆ − фитируется отдельно.Метод квазиоптимальных весов сразу даёт веса для оцениваемыхпараметров ∆:0,i > m;∂ ln f i ω (N ) ==N− 1, i ≤ m.∂∆ +(µ + ∆ )+ ii ≤ m; 0,∂ ln f i −ωi ( N ) ==N− 1, i > m.∂∆ −(µ + ∆ )i−+i(4)(5)Приравнивая экспериментальные средние таких весов нулю получим двауравнения для ∆ + и ∆ − : Ni− 1 = 0,∑i = m +1  µi + ∆ −MNi− 1 = 0.i =1  i + ∆ +m∑ µ(6)Решая уравнения относительно ∆ + и ∆ − , получаем квазиоптимальнуюоценку для высоты ступеньки для данного набора данных { Ni } в виде∆ = ∆ + − ∆ − .

∆ есть статистика ЛНМ критерия для ступеньки.Предположив малость ∆ + и ∆ − по отношению к µi можно произвестиразложение:M M  Ni Ni M NN − 2 ∆ − − 1 = 0  ∆ − =  ∑ i − ( M − m )  ∑  2i  ;∑i =m +1  µi µi i =m +1 µi i =m+1  µi (7)→ m Ni Ni m Ni m  Ni ∆+ =  ∑ − m  ∑  2 .− 2 ∆ + − 1 = 0 ∑ i =1 µi i =1  µi  i =1  µi µiПолученный ЛНМ критерий может быть упрощён в духе методаквазиоптимальных весов, с сохранением его характерной формы.Статистика ЛНМ критерия (7) может быть представлена в терминахвеличин ξi = ( Ni − µi ) µi как взвешенная сумма вида ∑ i wi ⋅ ξi (общаяаддитивная добавка не играет роли).

Наиболее значимым свойством весовwi является то, что они меняют знак в точке положения ступеньки. Тогдаестественный шаг состоит в том, чтобы подправить веса таким образом,что они станут кусочно-линейной функцией номера точки:M( m − i ) m ,S q −opt = ∑ wi ⋅ ξi , wi = i =1( m − i ) ( M − m ) ,i ≤ m ,i > m ,(8)9с изломом в некоторой точке Em из предполагаемой области измененияположения ступеньки Est (например, в эксперименте Троицк-ню-масс этаобласть известна). В дальнейшем будем называть Sq −opt квазиоптимальнымкритерием.Для сравнения, дается ещё один критерий – критерий попарныхкорреляции соседей. Пусть аномалия имеет форму отклонения несколькихсоседних точек от фитирующей кривой в одну и ту же сторону.

Тогдаможно рассмотреть критерий со следующей статистикой:S pair = ∑ ξi ⋅ ξi +1.(9)iS pair будет чувствителен к таким аномалиям, в которых группы соседнихточек отклоняются от фитирующей кривой в одну сторону; аномалия типаступеньки является частным случаем такого класса аномалий.Функции мощности критериев — стандартный инструмент математической статистики — позволяют наглядно сравнить эффективностькритериев (Рис.1). ЛНМ критерий (1) оказывается наилучшим из всехрассмотренных, квазиоптимальный критерий (2) оказывается чуть менеемощным, критерий попарных корреляций соседей (3) является третьим поэффективности. Наименее мощными оказываются критерии, неиспользующие информацию об аномалии: χ2 (4) и модифицированныйкритерий Колмогорова-Смирнова (5).Рис.1. Функции мощности ЛНМ критерия (1), квазиоптимальногокритерия (2), критерия попарных корреляций соседей (3), критерия χ2 (4),и модифицированного критерия Колмогорова-Смирнова (5).

∆ – этовысота ступеньки.Функции мощности позволяют также исследовать зависимостькритериев от положения аномалии в спектре. Из Рис. 2 видно, что ЛНМкритерий (наиболее мощный в случае, если положение ступеньки известноточно) быстро теряет своё преимущество уже при малом при смещении10положения ступеньки (12 точек или 12 eV). В то же времяквазиоптимальный критерий сохраняет чувствительность к аномальномувкладу (Рис. 2 слева, кривая 2). При существенном смещении положенияступеньки (18 точек или 25 eV), более мощными становятся критерии,независимые от параметров аномалии, в основном за счёт низкойчувствительности к аномалии (Рис. 2 справа, кривые 3 и 4).Рис.2. Функции мощности пяти критериев для случаев смещенияистинного значения положения ступеньки относительно предполагаемогоположения Em на 12 eV (слева) и 25 eV (справа).Раздел 2.1.3 посвящен рассмотрению конкретной задачи поискааномалий типа ступеньки в спектре бета-распада трития, полученных впервом анализе данных эксперимента Троицк-ню-масс.

Систематическоеисследование проводится в рамках нового анализа данных сиспользованием эффективных статистических критериев (8), (9),специально сконструированных для этой цели. Учитывается наличие 11различных сеансов набора данных, предлагается способ статистическогосуммирования информации по всем 11 сеансам.Экспериментальныезначения{Ei , N i , µi }qиспользуютсядлявычисления соответствующих экспериментальных значений критериевqSqq−opt (8) и S pair(9) для каждого сеанса q.Функции распределения F1 ( Sq−opt ) и F2 ( S pair ) для двух критериевстроятся с помощью моделирования по методу Монте-Карло.

После этогоопределяются значения этих функций распределения F1 ( Sq−opt ) и F2 ( S pair ) вэкспериментальных точках:α qq−opt = F1 ( Sqq−opt ) ;qqα pair= F2 ( S pair).(10)qКаждый набор {Ei , N i , µi }q даёт два значения α qq−opt и α pair; такимобразом, всего имеется 22 значения, представленных в Таблице 1. Если11выбрать доверительную вероятность 0.95, то из Таблицы 1 видно, чтотолько одно значение α (сеанс № 30) превышает 0.95. Таким образом,нулевая гипотеза (отсутствие ступеньки) принимается в большинствеслучаев.Таблица 1. Значения функций распределения двух критериев для 11сеансов эксперимента Троицк-ню-масс.Сеанс222324-124-225282930313336α qq− opt0.3820.3590.3810.5220.4780.2660.5100.3710.3650.5700.207qα pair0.8830.5710.4710.6040.9200.8290.1410.9940.1130.7020.810Две выборки значений α могут быть объединены в одно значение(каждая выборка) корректным статистическим образом.

Это возможно,поскольку (1) все α в каждой строке Таблицы 1 независимы и (2)случайные величины α q = F ( S q ) распределены равномерно на интервале[0,1]. Следовательно, можно применить критерии согласия для этих двухqвыборок {α qq−opt }q и {α pair}q по отношению к гипотезе равномерности. Всегоприменяется семь критериевсимметричности распределения.равномерностиидвакритерияНа уровне доверия 95% гипотеза равномерности распределениявыборки {α q−opt } (соответствующей квазиоптимальному критерию)отклоняется пятью критериями.