Потоки энергии и эффекты локализации акустических волн в твердых телах с элементами радиальной симметрии, страница 3

Изложен обзоросновной литературы по методам расчета и описания потоков акустической энергии,исследованиям в области отрицательной рефракции и метаматериалов, разработки исоздания различных типов кристаллических резонаторов, исследованиям распространенияакустических пучков в анизотропных средах, а также теоретическим основам акустическоймикроскопии и фокусировки энергии.Во второй главе рассмотрена задача о распространении акустических волн отточечного векторного монохроматического источника в однородной изотропной среде.Задача об акустическом поле такого источника решалась еще в работе Рэлея, но вопрос опространственном распределении потоков энергии был решен впервые в даннойдиссертационной работе. Изначально постановка задачи сводилась к проверке того факта,что в дальнем поле потоки энергии от любого точечного источника являются радиальными.Это свойство волновой энергии является общим практически для любых типов волн и до сихпор под сомнение не ставилось.

Однако на основе известного точного аналитическогорешения в настоящей работе показано, что даже в дальнем поле существует нерадиальнаясоставляющая потока энергии. Этот результат проиллюстрирован на рис. 1. Точечная силадействует вдоль оси Z.Рис. 1. Потоки акустической энергии от точечного вектороного источника в сравнении срадиальными линиями в нескольких произвольных направлениях11В третьей главе проведено обобщение метода параксиального и параболическогоуравнения на случай распространения акустических волн в анизотропной среде для случая,когда ось пучка является осью симметрии кристалла (или анизотропного материала), вчастности, при наличии вогнутостей на поверхности медленности и возможном проявленииэффекта отрицательной рефракции. Отрицательная рефракция способствует фокусировкеволн даже на плоской границе раздела изотропная среда – кристалл, хотя строгаяаналитическая теория такой анизотропной фокусировки акустических волн до настоящегомомента в литературе не была развита. Для корректной фокусировки лучей от точечноговолнового источника необходимо использовать поперечно-изотропную линзу с изотропиейпри повороте вокруг оси, перпендикулярной плоскости ее поверхности.

Этим свойствомобладают слои гексагональных кристаллов с осью Z, направленной по нормали к плоскостиих границы. Поверхность медленности для акустических волн в таких кристаллах можетбыть вогнутой вблизи оси Z, но только для квазипоперечных волн. Такое условиевыполняется, в частности, в кристалле цинка, фокусировка в котором за счет отрицательнойрефракции исследовалась в работе [2].

На рис. 2 изображено сечение поверхностимедленности плоскостью XZ в этом кристалле. Отметим, что для медленных квазисдвиговыхволн кривая медленности имеет заметные (большие по угловому размеру) вогнутые участкивблизи оси Z (и небольшие вогнутости вблизи оси X).Рис. 2. Сечение поверхности медленности кристалла цинка плоскостью XZДля построения данных кривых использованы те же упругие модули, что и в работе [2].Удобным свойством поверхности медленности является коллинеарность нормали к этойповерхности и вектора групповой скорости. Результаты расчета сечения поверхности12групповых скоростей (т.е.

волновой поверхности, определяющей форму волновых фронтовдля излучения от точечного источника) на основе этого свойства показаны на рис. 3.Рис. 3. Сечение XZ волновой поверхности кристалла цинка для медленной квазипоперечноймодыТак называемые "ласточкины хвосты", присутствующие на рис. 3, соответствуют вогнутойобласти поверхности медленности вплоть до точек перегиба. При этом очевидно, что эффектфокусировки посредством анизотропной отрицательной рефракции может иметь место лишьдля вогнутых участков волновой поверхности. Такие вогнутости согласно рис.

8 находятся вконусе лучевых углов примерно ± 30  от оси Z. Эти пределы определяют максимальнуюугловую апертуру плоских акустических линз из кристалла цинка.Анализ распространения акустических пучков в условиях отрицательной рефракциипроводился на основе параксиального уравнения, которое при распространении пучка вдольоси симметрии кристалла имеет видρ ui = C1∂ 2 ui∂ 2 ui∂ 2ui+C+C.23∂x12∂x 22∂x32(1)В частности, для квази-сдвиговых волн, поляризованных вблизи оси X ираспространяющихся вблизи Z C1 = c11 − (c13 + c55 ) 2 /( c33 − c55 ) , C 2 = c66 , C3 = c55 , ui = u1 .Решение уравнения (1) ищем в виде волнового пучка, распространяющегося вдоль оси x3 ,ui = A( x1 , x2 , x3 ) exp( ikx 3 −iωt) , где k 2 = ρω 2 / C3 , а под u iподразумевается основнаякомпонента смещения или иная полевая переменная акустического поля, относящаяся к этойкомпоненте.

Предположение о слабой зависимости амплитуды13A от x3 позволяетпренебречь ее второй производной по x3 , что приводит к следующему параболическомууравнениюC1∂2 A∂2 A∂A+C+ 2C3ik=0 .222∂x1∂x2∂x3(2)В случае одинаковых коэффициентов C1 и C 2 ур. (2) сводится к более простому видуα ∆⊥ A + 2ik ∂A / ∂x3 = 0 ,где ∆ ⊥ =(3)∂2∂2∂2 1 ∂1 ∂2+=++, r = x12 + x22 , tan φ = x2 / x1 , α = C1 / C3 . Если же∂x12 ∂x22 ∂r 2 r ∂r r 2 ∂φ 2коэффициенты C1 и C 2 имеют различные значения, то переход от уравнения (2) куравнению (3) также возможен путем изменения масштабов по осям координат x1 , x 2 .Замечательным свойством параболического уравнения (3) является существование у негопростых аналитических решений, описывающих трехмерную пространственную структуруволновых пучков.

В общем случае решения представляются в виде эрмит-гауссовых пучковв декартовых координатах или в виде лягерр-гауссовых пучков в цилиндрическихкоординатах [3]. Простейшим решением является гауссов пучок (нулевая мода) [3,4]A=2где D = 2α x3 /( ka ) , A(0) иволн,A(0)r2exp − 2,(1 + iD ) a (1 + iD ) a - произвольные параметры,(4)A(0) определяет амплитудуa - минимальную ширину пучка, которая соответствует точкеx3 = 0 . Эта точкаявляется фокусом для пучков, описываемых уравнением (4), поэтому параметрaопределяет поперечный размер фокального пятна. Подчеркнем, что в отличие от известногоизотропного решения, коэффициентα , входящий в D , не равен 1.

Если α становитсяотрицательным, то это приводит к следующему интересному свойству волновых пучков. Вэтом случае пучки, имеющие выпуклые волновые фронты, фокусируются и сходятся, впротивоположность их дифракционному расплыванию в обычном изотропном или квазиизотропном случае, когда имеет место обычная рефракция, и наоборот для пучков свогнутыми волновыми фронтами. Это необычное свойство проявляется в тех секторахнаправлений распространения, где поверхность медленности является вогнутой. Известно,что пространственно локализованные моды в виде бегущих волн могут возникать впериодической системе линз вследствие последовательной фокусировки расходящихсяволновых пучков [4,5].

Логично предположить, что подобное явление может наблюдаться ив периодической системе, состоящей из чередующихся слоев двух разных типов сотрицательной рефракцией лучей на их границах.14Рис. 4. Качественная картина пространственного распределения волновых полей в слоистойструктуреВ диссертационной работе показано, что в случае выполнения определенного соотношениямежду толщинами слоевd1 / d 2 = −α 2 k1 /(α 1k 2 ) ,(5)в такой периодической многослойной системе могут распространяться квазиволноводныемоды с сильно подавленной дифракцией (рис. 4).Рис. 5. Локализованные резонансные моды в качестве пикселей для тактильных играфических датчиковВ случае использования двух слоев (рис. 5) такая система превращается в двухслойныйрезонатор, причем указанные сфокусированные волноводные моды одновременно будутсобственными модами резонатора.

Уникальным свойством такой фокусировки являетсяотсутствие для нее фиксированной оси, т.е. локализованные и слабо затухающие колебаниямогут возбуждаться в произвольной точке на поверхности рассматриваемых плоскихкристаллическихрезонаторов.Дляэтого15необходимосоздаватьпространственноераспределение возбуждающих сил на поверхности, соответствующее желаемому положениюрезонансной моды. Произвольный выбор оси локализации позволяет рассматривать такуюслоистую систему как возможную матрицу для создания решетки из несвязанных или слабосвязанных резонаторовВ Главе 3 также исследуется и другое влияние отрицательной рефракцииакустических волн на их распространение в анизотропной среде, которое выражается в видедополнительных осцилляций в V(z) сигнале микроскопа при смещении фокуса микроскопа вобласть над поверхностью образца.Рис. 6.

Геометрия задачи о донных отражениях акустических лучей вследствиеотрицательной рефракции в пластине в случае положительной дефокусировки: 1 –иммерсионная жидкость, 2 – образец, 3 – линза акустического микроскопа, 4 –ультразвуковой преобразователь.На рис. 6 показана геометрия задачи о прохождении излучения акустического микроскопа ванизотропный образец, материал которого обладает свойством отрицательной рефракциивблизи оси микроскопа.

На рис. 7 даны соответствующие поверхности медленности,характеризующие иммерсионную жидкость (находящуюся между линзой микроскопа иобразцомипредназначеннуюдлясогласованияакустическихимпедансов).Вдиссертационной работе исследован вопрос формирования в подобной конфигурациидополнительных сигналов в выходном сигнале V микроскопа при перемещении фокуса надповерхностью образца.16Рис. 7. Поперечное сечение поверхностей акустической медленности для образца ииммерсионной жидкостиРис. 8. Разность времен пробега лучей по траекториям типа (a) и (b) в зависимости отбезразмерного расстояния дефокусировкиРис.

9. Часть поверхности медленности в увеличенном масштабе с отмеченными точками,соответствующими экстремумам в выходном сигнале микроскопа17Эти дополнительные сигналы характеризуются временной задержкой (рис. 8), причеммаксимумы и минимумы в непрерывном режиме работы микроскопа или дополнительныеимпульсы в импульсном режиме однозначно соответствуют различным точкам наповерхности медленности анизотропного образца (рис.