Автореферат (Математические аспекты эволюции цилиндрических вихрей в вязком теплопроводном газе), страница 3

Решение подсистемы может быть найдено с помощью преобразованияФурье.Первое уравнение системы (6) даетi(1)  x, t  20.125i(1) ( , 0)*exp 0.25 x   / t d .3/2 3/2  t(8)В рассматриваемом случае только одна компонента 3(1)   отлична от нуля.Выражения (7, 8) позволяют определить члены  2(1) , 3(1) в правой части уравненийсистемы (6).В разделе 4.2 к неоднородной параболической подсистеме системы (6) применяетсяпреобразование Фурье, в результате чего получаются выражения для функций w, s, h .Фурье-преобразование однородной параболической подсистемы системы (6) дает:12 dw(1) s (1) , dt ds (1)k 2 (1) 4 2 (1) k 2 (1) w  k s  h ,3 dt(1) dh k 2 h (1)  (  1) s (1) ,Pr dt(9)где волнистая линия обозначает Фурье-образ.Характеристическое уравнение системы (9) имеет вид [20]:4 k422 4 2f k (  )f k (k  1) f 03 Pr3 PrPr32(10)При 0  k  k ( k  1 для воздуха), решения уравнения (10) представляются следующимобразомf1  1 (k ), f 2,3   2 (k )  ir (k ); 1,  2  0.При k  k все решения действительны и быстро убывают со временем.

Дисперсионнаякривая r (k ) имеет две ветви. В расчетах используется только та ветвь, котораясоответствует меньшим значениям коэффициентов затухания 1 ,  2 (0  k  k1  k* ).Преобразование Фурье фундаментальной матрицы решений для параболическойподсистемы (7) имеет вид:A   aij  , i  1, 2, 3,a1i  c1i e 1t  c2 i e 2 t cos(r t )  c3 i e 2 t sin(r t ),a2 i  c1i 1 e 1t  (c2 i 2  c3 ir )e 2 t cos(r t )  (c3i 2  c2 ir )e 2 t sin(r t ),144 ))e 1t  ((1  2 ( 2 2  r 2 )   2 )c2 i 33kk2 222r ( 2  )c3 i )e 2 t cos(r t )  ( 2r ( 22  )c2 i 33kk4(1  2 ( 2 2  r 2 )   2 )c3 i )e 2 t sin(r t ).3ka3 i  c1i (1   1 (2Здесь коэффициенты cij определяются из начальных условий.13c11  ( ( 2 2  r 2 )  k 2 ) / g1 ; c12  2( 2 2k 2k2) / g0 ; c13  ;3g1c21  ( 1 ( 1  2 2 )  k 2 ) / g1 ; c22  c12 ; c23  c13 ;c31  ( 1 ( 2 2   1 2  r 2 )  k 2 ( 1   2 )) / (r g1 );c32  ( 12   2 2  r 2  4 k 2 ( 1   2 ) / 3) / (r g0 );c33  k 2 ( 2   1 ) / 3) / (r g1 ), g0  ( 2   1 )2  r 2 , g1   g0 .Функция w(1) , описывающая колебания плотности, записывается следующим образом:(1)wa12 x, t   d  d  dkexp ik ( x   )  *t12 R30R3(11)(k , t   ) ( , )  a13 (k , t   ) ( , ) ,(1)2(1)3Функции w( n) ( x, t ), s ( n) ( x, t ), h( n ) ( x, t ), n  1 получаются аналогично.Вводится переменная X    x0 .

Тогда уравнение (11) принимает видw(1)  x0 , t  a122tk1200000 d  kdk  R3dR3  sin 3d3  d sin(kR3 )*(12)(k , t   ) 2(1) ( x0  X , )  a13 (k , t   ) 3(1) ( x0  X , ) .Отклонение плотности от начального значения равно d  0  w  02 w(1) , где  d - размерная плотность.0Во всех рассмотренных в диссертационной работе случаях, колебания плотностисовпадают с колебаниями давления. Поэтому можно считать, что выражение (12)описывает акустические колебания.Из выражения (12) следует, что функция w(1) , как и частота акустического излучения,не зависит от 0 . Первые члены ряда могут быть использованы для анализа частотногодиапазона осцилляций плотности в случае малой завихренности.Раздел 4.3 посвящен описанию сеток Коробова [21] и оптимальных коэффициентов, атакже обоснованию применения данного метода для кратных интегралов, вычисляемых вдиссертационной работе.14В разделе 4.4 приведены результаты, демонстрирующие радиальное распределениескорости, полученное на основе уравнения (12).

Для вычисления кратных интеграловиспользованы сетки Коробова.В пятой главе полученные в Главе 4 уравнения применены к описаниюосциллирующих решений системы уравнений Навье-Стокса для цилиндрического вихря,опирающегося на плоскость. Описана зависимость плотности среды от времени ипостроен характерный акустический спектр излучения цилиндра в вязкомтеплопроводном газе для случаев различных точек наблюдения и различныхкоэффициентов подобия.В разделе 5.1 описан характер акустического излучения, возникающего за счетдиффузии завихренности, в вязком теплопроводном газе для различных точекнаблюдения.На Рис. 2,3. представлены колебания плотности для областей внутри цилиндра.w1.01.00.50.50.0w-0.50.0-0.5-1.00.00.51.01.52.02.53.0-1.00.0t, cРис.2 Зависимость w = -Log от времени0.51.0t, c1.52.02.5Рис.3 Зависимость w = -Log отна оси цилиндра (r=0),времени при r= r0/2,r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см.r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см.Акустические спектры, соответствующие Рис.

2,3, приведены на Рис.4,5. Показано, чтозначения собственных частот в обоих случаях совпадают и равны 115 Гц и 280 Гц.15Рис. 4. Спектр колебаний w = -Log на оси цилиндра (r=0), r0= 0.188 см, z0=2.909 см,z=1.7 см.Рис.5. Спектр колебаний w = -Log при r= r0/2, r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см.В разделе 5.2 рассмотрен вид акустических колебаний для области внепервоначального вихревого цилиндра. Анализируются геометрически подобные случаи, атакже зависимость собственных частот от коэффициента геометрического подобия L.Характер колебаний вне цилиндра, для случаев, соответствующих различнымкоэффициентам подобия, представлен на Рис.

6-9.161.01.00.50.5w 0.0w0.0-0.5-0.5-1.0-1.00510t, c152002520406080100t, cРис. 6. Зависимость w = -Log отРис. 7. Зависимость w = - Log отвремени при r> r0, r = 1.709 см,времени при r> r0, r = 3.418 см,r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см (L=1).r0= 0.376 см, z0= 5.818 см, z = 3.4 см (L=2).w1.01.00.50.50.0w-0.50.0-0.5-1.0050100150200-1.02500t, c100200300400t, cРис. 8. Зависимость w = -Log отРис.

9. Зависимость w = -Log отвремени при r> r0, r = 5.127см,времени при r> r0, r = 6.836см,r0= 0.564см, z0= 8.727см, z= 5.1 см (L=3).r0= 0.752см, z0= 11.636см, z= 6.8 см (L=4).На Рис. 6 показаны осцилляции для точки вне цилиндра. Наблюдается областьпервоначального роста осцилляций (0-3 с), затем происходит резкое уменьшениеамплитуды (3-12 с), далее наступает насыщение и медленное угасание осцилляций.Рассматриваются также геометрически подобные случаи с коэффициентами подобия 2,3, 4, 10.6.Процесс на Рис. 7 (коэффициент подобия 2) практически идентичен исходному (Рис. 6),но развивается медленнее. Увеличение амплитуды происходит в интервале 0-15 с, вдальнейшем амплитуда уменьшается.17Показано, что при увеличении коэффициента подобия тенденция к замедлениюпроцесса сохраняется. При коэффициенте подобия 3 (Рис.

8), можно наблюдать двеобласти увеличения амплитуды колебаний, а именно: 0-25 с и 80-160 с.Рис.9 соответствует коэффициенту подобия 4. Ясно видна область установленияколебаний (0-110 с). Затем, как и в предыдущих случаях, наблюдается медленноенарастание амплитуды установившихся колебаний и последующее их затухание.Во всех рассмотренных в диссертации случаях, колебания давления совпадают сколебаниями плотности, поэтому спектр колебаний плотности считаем акустическимспектром.На Рис.

10 представлен спектр, соответствующий колебаниям на Рис. 6. Получено, чтоимеют место две собственные частоты (17 Гц и 24 Гц).Рис. 10. Спектр колебаний w = - Log  вне первоначального цилиндра, при r> r0,r = 1.709 см, r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см.Рис. 11. Низкочастотные колебания.Зависимость собственных частот от коэффициента подобия.18Показано, что собственные низкие частоты колебаний экспоненциально убывают сувеличением коэффициента подобия (Рис.11).Раздел 5.3 посвящен высокочастотным колебаниям (Рис. 12, 13).Показано, что наряду с низкочастотными колебаниями, описанными в предыдущемпараграфе, имеют место колебания высокой частоты (Рис.12-15).0.40.040.20.02w 0.0w-0.2-0.412.220.00-0.0212.2412.26-0.042444.0012.282444.022444.042444.062444.08t, сt, сРис.

12. Высокочастотные колебанияРис. 13. Высокочастотные колебанияw = - Log  при r> r0, r = 1.709 см,w = - Log  при r> r0, r = 18.12 см, r0= 2r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см (L=1).см, z0= 30.84 см, z= 18.02 см (L=10.6).Рис. 14. Спектр высокочастотных колебаний w = - Log при r> r0, r = 1.709 см, r0= 0.188 см, z0= 2.909 см, z= 1.7 см (L=1).19Рис. 15. Спектр высокочастотных колебаний w = - Log  при r> r0,r = 18.12 см, r0= 2 см, z0= 30.84 см, z= 18.02 см (L=10.6).Важно отметить, что как высокочастотные, так и низкочастотные колебания имеют двесобственные частоты (Рис.14,15), которые связаны с наличием двух характерных размероврассматриваемого цилиндрического вихря (высота и диаметр).Шестая глава посвящена анализу достоверности результатов диссертационнойработы.

Приводится оценка сверху для погрешности вычислений, а также сравнениерезультатов для различных сеток Коробова. Кроме того, результаты сопоставляются сэкспериментальными данными, приведенными в литературе.Раздел 6.1 посвящен оценке погрешности сеток Коробова, а также сравнениюрезультатов вычислений для сеток с различным количеством узлов.ln 3 N),Согласно Теореме 24 [21], для погрешности сеток Коробова справедлива оценка O(Nгде N - число измерений сетки Коробова. Таблица 1 иллюстрирует целесообразностьвыбора сетки, соответствующей N =2000003 для целей описания высокочастотных инизкочастотных колебаний цилиндра. Показано, что при уменьшении N до 1000003 и500009, погрешность возрастает более чем в 1.7 и 2.9 раза, соответственно.ln 3 NЗначениеNN =2000003N =1000003N =5000090.001527040.002636940.00451919Таблица 1.