Автореферат (Математические аспекты эволюции цилиндрических вихрей в вязком теплопроводном газе), страница 2

Результаты применения метода к цилиндрическому вихрюпредставляют интерес для задач аэроакустики, моделирования атмосферных вихрей, атакже описания характеристик турбулентных течений.Основные положения выносимые на защиту1.Построена и применена новая процедура нахождения осциллирующих решенийсистемы уравнений Навье-Стокса для кругового цилиндра, опирающегося на плоскость всжимаемом вязком теплопроводном газе в приближении малой начальной завихренности,использующая сетки Коробова для вычисления кратных интегралов.2.Показано, что благодаря диффузии завихренности возникает генерация звукаодиночным цилиндрическим вихрем.

Определен акустический спектр и собственныечастоты такого акустического излучения для различных параметров вихрей.3.Показано, что для плотности и давления имеют место высокочастотныеосцилляции, модулированные низкими частотами и что значения собственных частотзависят только от начальных геометрических размеров вихревого цилиндра и не зависятот интенсивности начальной завихренности. Показано также, что собственные частотыэкспоненциально уменьшается при увеличении коэффициента подобия цилиндра.Личное участие соискателяВсе результаты, вошедшие в диссертацию, получены при личном участии автора вформализации задачи и проведении аналитических преобразований.

Совместно с научнымруководителем были сформулированы цели и задачи исследования. Анализ литературы потематике диссертации, проведение систематических расчетов, а также апробациярезультатов на российских и международных конференциях проводилось лично автором.6Апробация результатовРезультаты работы докладывались на международных конференциях:1.«15-м Международном совещании по магнитоплазменной аэродинамике», Москва,19-21 апреля 2016.2.Конференции «Ломоносовские чтения – 2016», Москва, 18-27 апреля 2016.3.XXIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных«Ломоносов – 2016», Москва, 11-15 апреля 2016.4.XXII Международной конференции «Нелинейные задачи теориигидродинамической устойчивости и турбулентность», Московская обл., г.

Звенигород, 1421 февраля 2016.5.XIV Международной конференции «Optics in atmospheric propagation and adaptivesystems », Прага, сентябрь 2011.6.XIII Международной конференции «Optics in atmospheric propagation and adaptivesystems», Тулуза, октябрь 2010.7.«9-м Международном Совещании по магнитоплазменной аэродинамике», Москва,22-24 марта 2010.8.XII Международной конференции «Optics in atmospheric and adaptive system»,Берлин, сентябрь 2009.9.Международной конференции «Week of doctoral students», Прага, 2-5 июня 200910.

XI Международной конференции «Optics in atmospheric propagation and adaptivesystems», Кардифф, сентябрь 2008.11. XV школе-семинаре «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи,сентябрь 2007.ПубликацииПо материалам работы опубликовано четыре статьи в рецензируемых научныхжурналах, входящих в список ВАК и 11 тезисов докладов в сборниках трудовмеждународных конференций.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и спискалитературы, включающего 121 наименование.

Общий объем текста – 99 машинописныхстраницы, включая 34 рисунка и 2 таблицы.7Основное содержание работыВо введении приводится краткая характеристика диссертационной работы, обоснованаактуальность темы и сформулированы ее цели и задачи. Указана научная новизна ипрактическая ценность работы, представлена степень апробации работы, а такжеположения, выносимые на защиту.В первой главе приводится обзор литературы по теме диссертации. Рассматриваетсяистория исследования вихревых структур и их практическая значимость (в том числе, ватмосферных процессах и аэроакустике).

Особое внимание уделяется свойствамтурбулентных потоков и основополагающим подходам к описанию турбулентности.Вторая глава посвящена рассмотрению системы уравнений Навье-Стокса итрадиционных подходов к ее решению (прямое численное моделирование, решениеосредненных по Рейнольдсу уравнений, моделирование крупных вихрей).В третьей главе приводится постановка задачи об эволюции параметровцилиндрического вихря, опирающегося на плоскость в вязком теплопроводном газе, вприближении малой начальной завихренности.

Записывается используемая для еерешения система уравнений (нестационарная система уравнений Навье-Стокса вэйлеровых переменных).В разделе 3.1 формулируется постановка задачи.В начальный момент завихренность имеет отличное от нуля значение 0 только внутригазообразного кругового цилиндра радиуса r0 и высотой z0.

Цилиндр располагается наплоскости (Рис. 1).Рис. 1. Цилиндрический вихрь на плоскости.8Ось цилиндра перпендикулярна плоскости. Задача решается в предположении, чтоначальная завихренность 0 мала ( 0 <<1).Начальные условия:0 , r  r0 z  x, 0  0, r  r0w  x , 0   s  x , 0   h  x , 0   0.(1)Скорость газа на плоскости равна нулю:v ( x, t ) |z 0  0.Вследствие симметрии начальных данных решение не зависит от цилиндрическойкоординаты  , а зависит только от r , z, t .В разделе 3.2 приводится используемая система уравнений Навье-Стокса иосуществляются ее преобразования к виду, оптимальному для решения рассматриваемой вдиссертации задачи.Нестационарная система уравнений Навье-Стокса в случае пренебрежения объемнойвязкостью и объемными силами имеет следующий вид: dvi Pij, dt x j d v  k  0,xk dt deT Pij  ij ().x j x j dt(2)d 21 v v  vj, Pij  2 ij   kk ij  p ij ,  ij  ( i  j ), e  CV T .dt tx j32 x j xiИспользуется разложение Гельмгольца для поля скорости на потенциальную исоленоидальную частьv ( x, t )  4s( , t )x d 1( , t ) d ;4x 9(3)s  v ,    v ,   (  ;;).x1 x2 x3Принимая во внимание представление (3), система уравнений Навье-Стокса вбезразмерном виде записывается следующим образом:ivk vm  2 hivi3 t  i  4  ijk ( x  x ) x x  v j x   m x  si  f1i ,mkjmjm ww v j s,x j th2 s  e  w  4  s  ( 1 e h  0.5s ) h  1.5 vi  h  v s  f ,j2 t 3x j xi x jx jh h  t  Pr h  (  1) s  v j x  f 3 ,j(4)w   Log  , h  LogT ,    ,     ,2, i  1, 2,3, j  1, 2,3, k  1, 2,3, m  1, 2,3.xi xiЗдесь  ijl - антисимметричный тензор,  , T , v − безразмерные значения плотности,температуры, скорости (отнесенные к 0 , T0 , c0 , соответственно);  , ,  ,c − вязкость,кинематическая вязкость, теплопроводность и низкочастотная скорость звука,  −показатель адиабаты; Pr − число Прандтля.Функции f1i , f 2 , f3 − нелинейные члены относительно первых производных покоординатам.

Индекс “0” относится к начальному состоянию.Полный вид системы (4) представлен в Приложении. Система (4) обезразмерена сиспользованием характеристической длины l0   0 / c0 , характеристического времениt0   0 / c0 2 и скорости c0.Зависимость вязкости газа от температуры описывается либо формулой Сазерленда,либо степенным законом [18]. Коэффициент теплопроводности пропорционаленпроизведению C p  , где C p − теплоемкость при постоянном давлении [19].10Коэффициенты вязкости и теплопроводности в воздухе рассчитываются по формулам:  0 T T0 0.75,   0 T T0 0.75, где T0 − значение температуры в начальный моментвремени.Учитывается, что давление, температура и плотность связаны между собой уравнениемМенделеева-Клайперона p  RTM, где M – молярная масса.В четвертой главе задача, поставленная в Главе 3, решается при учете вязкости итеплопроводности среды.

Т.е. формулируется метод решения системы уравнений НавьеСтокса для цилиндрического вихря на плоскости в приближении малой начальнойзавихренности. Описываются осциллирующие решения для плотности и давления, а на ихоснове - генерация звука одиночным вихрем, возникающая благодаря учету вязкости итеплопроводности среды. Кроме того, показано, что собственные частоты акустическихколебаний не зависят от величины начальной завихренности, а зависят только отгеометрических параметров задачи.В разделе 4.1 выполняется разложение неизвестных функций w, s, h, i , v i (i  1, 2,3)по степеням малого параметра и определение компонент скорости.

Решаются однородныепараболические дифференциальные уравнения относительно i и определяютсянелинейные члены  2(1) , 3(1) системы (6).Для решения системы (4) проводятся необходимые разложения неизвестных функцийпо степеням малого параметра   0 :1(1)  x , t    2 1(1)  x , t    31(2)  x , t    4 1(3)  x , t   ...,2 (1)3 (2)4 (3)(1)2  x , t     2  x , t     2  x , t     2  x , t   ...,3  x , t   3(1)  x , t    2 3(2)  x , t    33(3)  x , t   ...,w  x , t    2 w(1)  x , t    3 w(2)  x , t    4 w(3)  x , t  ...,s  x, t    s x , t    s  x , t    s  x , t  ...,h  x , t    2 h(1)  x , t    3h (2)  x , t    4 h (3)  x , t  ...,vi  x , t    vi(1)  x , t    2vi(2)  x , t    3vi(3)  x , t  ...2 (1)3 (2)4 (3)Подстановка разложений (5) в систему (4) дает:11(5)  i(1) i(1) , t w(1)(1) t  s , (1) s  1 w(1)  4 s (1)  1 h(1)   (1) ,2 t3 (1) h   h(1)  (  1) s (1)   (1) .3 tPr(1)2(6)(1) vi(1) v (1)vi(1) v j1j(1)(1)(1)(1), 3   (  1) Dij v Dij v , Dij v  . xx j xi2xi  jДля скорости вихря получено выражение:v ( x, t )  0.25 {( x  r , t )  n  s( x  r , t )n}dr  sin  d d ,(7)n  {sin   cos  ,sin   sin  , cos  }.Система (6) состоит из трех однородных параболических дифференциальныхуравнений относительно i и неоднородной параболической подсистемы с постояннымикоэффициентами.