Диссертация (Кристаллы семейства калий-редкоземельных вольфраматов как материалы для акустооптики), страница 9

Погрешность зависит от точностиизмерений и может быть оценена путем анализа погрешности используемых-- 60 --измерительных инструментов, прежде всего фотодетектора. Можно такжеопределитьизмеряемогоэтупогрешностьобразцаэкспериментально,материалсиспользуяизвестнымивкачествеупругооптическимихарактеристиками, например, образец из того же материала, что и буфер. Впоследнем случае отношение коэффициентов M буфера и кристалла должно бытьравно 1. Как показали экспериментальные оценки, эта погрешность составляетпримерно 20%, что соответствует точности метода Диксона, известной излитературных источников [60].-- 61 --2.5 Определение фотоупругих модулей кристаллов KRE(WO4)2Для удобства введены следующие обозначения: M γδαβ (κ ) – коэффициент АОкачества, измеренный для падающей световой волны, распространяющейся внаправлении κ с поляризацией (по электрическому полю) в направлении a, ипринимающей после АО взаимодействия волны поляризацию β, при дифракциина акустической волне, распространяющейся в направлении γ со смещением пооси δ.

При этом для простоты оси диэлектрической системы координатобозначаются следующим образом: m соответствует оси Nm, p – оси Np(совпадающей с Y), а g – оси Ng.Определение фотоупругих характеристик кристаллов осуществлялось вдиэлектрической системе координат. Выбор системы отсчета обусловлен преждевсего тем, что при фотоупругом эффекте происходит анализ компонентдеформации оптической индикатрисы в ее осях симметрии, т.е. в диэлектрическихосях Nm, Np и Ng.

Подробнее о переходе от матрицы фотоупругих модулей pαβ вкристаллофизической системе к pαβ* в диэлектрической – см. Приложение.Модули p12*, p22* и p32* вычисляются соответственно из коэффициентов АОppmmgg( g ) и M pp( g ) , M pp(m) , поскольку при этих геометриях дифракциикачества M ppв выражении (2.5) входит лишь один соответствующий модуль pαβ. Следуетотметить, что модуль p22* можно аналогично вычислить и из коэффициентаppM pp( m) .Остальные модули входят в выражение для эффективного значениякоэффициентов АО качества только в комбинации, а потому их можно найтитолько из решения систем уравнений. Это связано с тем фактом, что упругиеволны, распространяющиеся вдоль направлений Ng и Nm, не являются чистымимодами, а представляют собой квазипродольные и квазипоперечные волны,которые в общем случае имеют различные ненулевые составляющие в проекциина кристаллофизические оси.-- 62 --При дифракции света эффективный коэффициент АО качества в общемвиде задается следующей формулой для собственной оптической моды:(κ )M =αβgδnα3 nβ3ρV 3(p* ( gδ )i1 mmu( gδ )( gδ )( gδ )( gδ )+ pi 2*u (ppgδ ) + pi 3*u gg+ 2 pi 4*ung+ 2 pi 5*umg+ 2 pi 6*unт) .(2.8)2где i = 1,.., 6.

Здесь ρ – плотность кристалла,∂u1  ∂u(γδ )≡  σ + τuστ2  ∂xτ ∂xσ 1( aσ mτ + aτ mσ )=2(2.9)uστ – компонента тензора деформации, вызываемой акустической волной,возбуждаемой в направлении оси γ с вектором смещения по оси δ. В последнемвыражении aσ – проекция вектора поляризации ультразвуковой волны, mτ –соответствующая проекция волнового вектора. В используемом подходеакустические волны «проецируются» на оси диэлектрической системы координат.Поэтому и значения определяемых из уравнений фотоупругих модулей относятсяк этой системе координат. Если α, β = m (поляризация света по оси Nm, первойоси), то i = 1, в соответствии со стандартными обозначениями [12].

Если α, β = p,то i = 2, если α, β = g, то i = 3. Стандартная свёртка индексов означает, что i = 4при α = p, β = g или α = g, β = p; i = 5 при α = m, β = g или α = g, β = m; и i = 6 приα = m, β = p или α = p, β = m.Для нахождения других модулей из 12-ти достаточно измерить дифракциюна трех разных акустических волнах, например, на квазипродольных модах umm иugg и на квазипоперечной umg. Каждая из них имеет свои «проекции» надиэлектрические оси Ng и Nm, что позволит получить 3 разных уравнения дляодних и тех же модулей p21*, p23* и p25*.

В правой части этих уравнений стоятpp(κ ) , M ggpp (κ ) и M mgpp (κ ) . Рольэкспериментально измеренные величины M mmкоэффициентов в системе уравнений выполняют проекции акустических мод(2.7). В частности, система примет вид:-- 63 --( u( mm )mmp + u*21( mm )gg*23p+ 2u( mm )mg)* 225pρV 3 ppM mm (κ )=n6pρV 3 pp( gg )*( gg )*( gg )* 2upupup2++=( mm 21 gg 23 mg 25 ) n6 M gg (κ )p( u( mg )mmp + u*21( mg )gg*23p+ 2u( mg )mg)* 225pρV 3 ppM mg (κ )=n6p(2.10)(2.11)(2.12)( γδ )Указанные «проекции» uστможно вычислить, зная матрицу упругихкоэффициентов. Константы жесткости кристаллов семейства KRE(WO4)2 былиопределены впервые в мире, что описано в 0.Аналогично,дляизотропнойдифракциисполяризациейпоNmmmmmи M gmсоотносятся ссоответствующие коэффициенты качества M ggmm , M mmфотоупругими модулями следующим образом:ρV 3 mm( gg )*( gg )*( gg )* 2++=upupupM gg (κ )2( mm 11 gg 13mg15 )nm6(2.13)ρV 3 mm( mm )*( mm )*( mm )* 2upup2up++=( mm 11 gg 13 mg 15 ) n6 M mm (κ )m(2.14)ρV 3 mm( gm )*( gm )*( gm )* 2upupupM gm (κ )++2=( mm 11 gg 1315 )mgnm6(2.15)Также, для изотропной дифракции с поляризацией по Ng соответствующиеggкоэффициенты качества M gggg , M mmи M gmgg соотносятся с фотоупругими модулямиследующим образом:( u( gg )mmp + u*31( gg )ggp + 2u*33( gg )mg)* 235pρV 3 ggM gg (κ )=ng6(2.16)ρV 3 mm( mm )*( mm )*( mm )* 2up+up+up=M mm (κ )2( mm 31 gg 33mg35 )nm6(2.17)ρV 3 mm( gm )*( gm )*( gm )* 2up+up+2up=M gm (κ )( mm 31 gg 3335 )mgnm6(2.18)Поскольку системы уравнений (2.10-2.12), (2.13-2.15) и (2.16-2.18)квадратичны, они имеют по 2×2×2=8 наборов решений.

Поэтому следует-- 64 --отбросить неверные решения исходя из следующих правил: pαβ – действительныечисла, pαβ > 0 (α, β = 1, 2, 3) [41, 42].Аналогичным образом можно вычислить значения двух группы модулейp11*, p13*, p15* и p31*, p33*, p35*, подставив в системы уравнений (2.13-2.15) и (2.16mm(κ ) ,2.18) соответствующие группы значений коэффициентов АО качества: M mmggggmmmm(κ ) , M gggg (κ ) , M gm(κ ) , M gm(κ ) и M mm(κ ) , соответственно.M ggТаблица 2.3.

Значения коэффициентов акустооптического качества M γδαβ (κ )изотропной дифракции в кристаллах KRE(WO4)2 , и значениясоответствующих фотоупругих модулей pαβ* в диэлектрическойсистеме координат (Nm, Np и Ng).KGWMpαβ*MKLuWpαβ*Mpαβ*mm(g)M mm0.750.110.680.100.740.10p11*ppM mm(g)1.00.131.30.141.90.17p21*ggM mm( p)1.30.131.10.120.890.11p31*mmM pp(g)1.80.140.570.081.10.11p12*ppM pp(g)0.110.040.300.060.220.05p22*ggM pp( m)0.780.090.680.080.570.08p32*mmM gg( p)6.10.238.70.267.70.28p13*M ggpp (m)5.90.237.40.29110.35p23*0.35100.31p33*ggM gg( p)110.2814mmM gm( p)3.0|–0.053|0.7|0.011|0.77|0.012||p15*|ppM gm( m)0.5|–0.025|<0.06|–0.009|0.1|–0.009||p25*||–0.13|15|0.092||0.093||p35*|ggM gm( p)а)KYbW1914Значения коэффициентов M приведены в общепринятых единицах 10-15 с3/кг;-- 65 --Что бы отбросить неправдоподобные значения фотоупругих модулей p15*,p25* и p35*, пришлось воспользоваться следующим соображением.

Обычно,величины таких модулей не превосходят значения первых девяти компонентматрицы: |pαβ| < pαα (α = 1, 2, 3, β = 1, 2, 3, 5). Однако, такое утверждение не можетпретендовать на абсолютность, поскольку не обосновано существующимиматематическими моделями, связывающих упругие и фотоупругие свойствакристаллов с их симметрией. Поэтому в Таблице 2.3 модули p15*, p25* и p35*, атакже их значения указаны именно как модули величин. Также есть другоепростое проверочное соображение: поскольку в выбранной системе координаткаждое значение коэффициента качества M обусловлено решающим вкладомлишь одного фотоупругого модуля, то большему значению коэффициента должносоответствовать большее значение фотоупругого модуля [61].С учетом того, чтоp ~ M 1/2 относительная погрешность фотоупругихкоэффициентов вдвое ниже: ∆p p ≈ 12 ∆M Mи составляет примерно 10%.Дополнительная составляющая погрешности может возникать при решениисистемы уравнений (вычислении фотоупругих модулей pαβ).

Однако приописанном в методике выборе геометрии дифракции, акустические волны оченьблизкиксобственным модам, а потому сколько-нибудь существеннойдополнительной погрешности вычисления не вносят. Величина погрешностирезультатов может быть также оценена непосредственно путем вариациизначений M γδαβ (κ ) в правых частях уравнений в соответствие с разбросомэкспериментальныхданныхиопределениявеличинысоответствующихизменений вычисляемых значений упругооптических модулей pαβ*.Измеренный разброс значений коэффициентов АО качества M составилпримерно 20%, что соответствует разбросу 10% в значениях упругооптическихмодулей. Эта относительная погрешность относится к наибольшим модулям,которыми в данном кристалле являются p13*, p23*, p33*.