Диссертация (Кристаллы семейства калий-редкоземельных вольфраматов как материалы для акустооптики), страница 5

Указаны только смещения точно вдоль осей (X, …), слегкаотклоняющиеся от осей (X*, …) отмечены звездочкой.сЗдесь и далее индексы Миллера приведены в кристаллофизической системеОценка погрешности измерения и вычисления скоростей проведенаследующим образом:σ V2=V2σ 2f( ∆f )2σ l2+ 2 ,l(1.6)где σ – дисперсии (среднеквадратичные отклонения) соответствующих величин.При длине образца 10 мм и точности измерения 0.01 мм, диапазонеперестройки 30 МГц и точности измерения 10 кГц, относительная точностьопределения скорости составила примерно 0.1%.

Таким образом, использованиефазо-импульсного метода позволило не менее чем в 5 раз повысить точностьопределения скоростей распространения упругих волн, по сравнению с методомэхо-импульсов [36]. В работах [37 и 38] используется непрямой метод,основанный на рассеянии Мандельштама-Бриллюэна [7], и значения скоростейопределены с погрешностью ± 0.02∙103 м/с. тогда как в представленной работеаналогичная погрешность равна ± 0.002∙103 м/с.При оценке погрешности определения скоростей также следует учестьточность ориентации осей образца.

При отклонении 3′ погрешность составит неболее 0.1%.-- 29 --1.4 Определение констант жесткости кристаллов KRE(WO4)2Приопределенииконстантжесткостибылиспользованподход,предложенный К.С. Александровым [16, 39], основанный на решении уравненийГрина-Кристоффеля для соответствующих направлений.I. Симметрия моноклинных кристаллов позволяет непосредственно изизмеренных скоростей вычислить только 3 упругих модуля:c22 = ρV72,гдеV7–скоростьпродольнойволнывдольосиY;c44 = ρV32, где V3 – скорость сдвиговой волны вдоль оси Z со смещением по Y;c66 = ρV142, где V14 – скорость сдвиговой волны вдоль оси X со смещением по Y.Величина и знак константы c46 однозначно определяются из соотношенияc44+ c66+ 2·c46 = 2·ρV122 ,(1.7)где V12 – скорость сдвиговой волны вдоль направления [101] с поляризацией по Y.II.

Константы c11, c33, c55, c15 и c35 находятся из системы уравнений:ρ (V12 + V22 ) =c33 + c55 ,ρV12 ⋅ ρV22 = c33 ⋅ c55 − c352 ,ρ (V132 + V152 ) =c11 + c55 ,ρV ⋅ ρV = c11 ⋅ c55 − c ,213215ρ (V102 + V112 )=.(1.8)21512(c11 + 2c55 + c33 + 2c15 + 2c35 )Уравнения (1.6) и (1.7) следуют из уравнений Кристоффеля длянаправлений [100], [001] и [101]. Коэффициент c13 находится из уравнения дляпродольной скорости в направлении [101]:(c15 + c35 + c13 + c55 ) 2 = (c11 + c55 + 2c15 − 2 ρV102 ) × (c33 + c55 + 2c35 − 2 ρV102 ).III.(1.9)Остальные упругие константы, c12, c23 и c25, определяют из скоростей,измеренных в направлениях [110] и [011].Для направления [110] условие равенства нулю детерминанта уравненияКристоффеля принимает вид:-- 30 --c11 + c66 − 2 ρVi 2c12 + c66c15 + c46=0,c12 + c66c22 + c66 − 2 ρVi 2c25 + c462c15 + c46c25 + c46c55 + c44 − 2 ρVi(1.10)где в качестве Vi может быть V4, V5 или V6.

Это позволяет вычислить двенеизвестных величины c12 и c25 из двух уравнений, в первом из которых Vi = V4, аво втором Vi = V5. При этом уравнения дают две пары решений: верную c12 и c25, адругую сопутствующую c12 и c25 . Чтобы выбрать верную пару решений, следуетруководствоваться соотношениями между абсолютными значениями констант caβ.Эти условия [40, 41 и 42] следующие:caa > caβ > 0,a, β = 1, 2, 3, a ≠ β;caa > 0,a = 4, 5, 6.(1.11)Для трех скоростей можно выбрать пару уравнений тремя способами: V4 и V5 (A);V5 и V6 (B); V6 и V4 (С), и получить три пары верных решений, которые будутразличатьсятольковследствиепогрешностиизмеренияскоростей.Этообстоятельство дает дополнительный критерий выбора верной пары решений:с12A ≈ с12B ≈ с12C и с25A ≈ с25B ≈ с25C.

Соответственно, в качестве значения с12 можнопринять усредненное по трем вычислениям значениеc12=13(cA12+ c12B + c12C )(1.12)BAC, c25и c25,аЗначение с25 будет определено позже с использованием величин c25также дополнительных данных.Для направления [011] условие равенства нулю детерминанта уравненияКристоффеля принимает вид:c55 + c66 − 2 ρVi 2c25 + c46c35 + c46c25 + c46c22 + c44 − 2 ρVi 2c23 + c44c35 + c46c23 + c44c33 + c44 − 2 ρVi=0,(1.13)2где в качестве Vi может быть V16, V17 или V18.

Это позволяет вычислить двенеизвестных величины c23 и c25 из двух уравнений, в первом из которых Vi = V16, аво втором Vi = V17. При этом, как и в вышеприведенном случае, необходимо-- 31 --выбрать верную пару решений c23 и c25, руководствуясь условиями (1.10).Для трех скоростей можно выбрать пару уравнений тремя способами:V16 и V17 (D); V17 и V18 (E); V18 и V16 (F), и получить три пары верных решений,которые будут различаться только вследствие погрешности измерения скоростей.Это обстоятельство дает дополнительный критерий выбора верной пары решений:c23D ≈ c23E ≈ c23F и c25D ≈ c25E ≈ c25F.

Соответственно, в качестве значения c23 можнопринять усредненное по трем вычислениямc23=13(cD23+ c23E + c23F ) ,(1.14)а в качестве значения c25 можно принять усредненные по шести вычислениямзначениеc25=16(cA25+ c25B + c25C + c25D + c25E + c25F ) .(1.15)Следует добавить, что при вычислениях вместо скоростей V10, V11 и V21можно было бы использовать скорости V19, V20 и V21 для направления [101� ].Аналогичный метод расчета позволил бы получить тот же самый набор упругихмодулей c12 , c23 , c13 , c11 , c33 , c55 , c15 , c35 , c25 и c46, однако в этом случаеполученные знаки модулей c15 , c35 , c25 и c46 были бы обратными, в связи с тем, чтоодна ось формально заменена на обратную.Некоторые константы (c11, c33, c55, c15, c35, c13 и c46) были определены дваждыпо измерениям скоростей вдоль направления [101] и [101� ].

Полученные этимидвумя способами значения констант совпали с высокой точностью: c11, c33, c55, c15– 0.1%; c13 – 0.3%; c35 – 2.0%. Результаты расчета коэффициентов упругостипредставлены в Таблице 1.3. Знаки констант С46, С15, С25 и С35 установлены поизмерениям на образце, который имел форму параллелепипеда, ориентированноговдоль осей оптической индикатрисы. Константы С23, С25 и С12 определялись изнелинейных комбинаций с другими константами и с использованием значенийскоростей для направлений [101] и [101� ].-- 32 --Таблица 1.3. Значения констант жесткости caβ кристаллов KRE(WO4)2 вкристаллофизической системе координат (X, Y и Z).Константыcaβ ×109, кг/(м⋅с2)Погрешность,жесткостиKGd(WO4)2KYb(WO4)2KLu(WO4)2×109, кг/(м⋅с2)с11181.4187.5189.00.6с1286.385.786.10.6с1361.560.560.60.5с15-22.4-25.7-26.30.4с22171.7182.8185.20.6с2367.568.267.90.6с25-12.9-15.3-15.30.4с33135.3165.4168.80.6с354.82.72.80.1с4469.768.268.50.2с46-2.5-11.6-13.40.1с5541.945.246.50.2с6639.529.026.40.1Для удобства в Таблице 1.4 приведены значения матрицы cαβ* кристалла всистеме координат Nm, Np и Ng, связанной с осями оптической индикатрисы(см.

Рис. 1.1),используемойвомногихработах.Благодарясимметриикристаллических материалов, при повороте базиса вокруг оси Y ≡ Np , не-- 33 --возникают новые ненулевые члены в матричном представлении тензоражесткости cαβ. Соответственно, матрицу в базисе осей оптической индикатрисыcαβ* можно представить с помощью преобразования cαβ* = M•cαβ•MT, где M –матрица поворота. Подробнее см. в Приложение.Таблица 1.4. Значения констант жесткости caβ* кристаллов KRE(WO4)2 в системекоординат, связанной с осями Np, Nm и Ng оптической индикатрисыКонстантыжесткостиcaβ* ×109, кг/(м⋅с2)KG(WO4)2KYb(WO4)2KLu(WO4)2с11*197.8208.0209.9с12*92.593.093.1с13*51.151.451.1с15*3.7-4.4-6.5с22*171.7182.8185.2с23*61.360.960.9с25*-3.0-7.2-7.5с33*140.0163.0166.9с35*-0.9-7.8-7.4с44*64.057.657.4с46*-12.1-20.9-22.9c55*31.436.237.0c66*45.239.637.5Приведенные значения упругих констант определены с использованиемзначений угла α из Таблицы 1.1.

Неопределенности величин были найдены путемварьирования значений измеренных скоростей, и регистрации отклонения ввычисленных эффективных скоростях. Разброс значений наиболее велик для-- 34 --наибольших (диагональных) членов и составляет примерно 0.2%, что вабсолютныхединицахдаетпорядка10 м/с.Окончательнопогрешностьопределения констант жесткости определяется формулойσ c2σ2σ2S=+ ρ2 ,22ρcS(1.16)где ρ – плотность. Если точность измерения плотности намного выше, чем уостальных величин, то окончательно погрешность определения константжесткости составит примерно 0.2%. Абсолютные погрешности приведены вТаблице 1.3.Для некоторых материалов, например KGW [15], разброс приводимых влитературе данных по плотности составляет свыше 2%, так что для нихокончательнаяпогрешностьконстантжесткостиопределяетсяточностьюизмерения плотности.Известна только одна работа [38], в которой выполнены измеренияскоростей звука по многим направлениям кристалла KGW и вычислены 4константы из 13.

К сожалению, авторы работы не указали конкретно, в какойсистеме координат они выполняли измерения. В результате корректно сравниватьможно только константу c22, определяемую из скорости продольной акустическойволны распространяющейся вдоль оси симметрии кристалла. Значения c22,полученное в настоящей работе и в работе [38], отличаются на 10%. Стольбольшое различие в значении упругой константы с22, невозможно объяснить ниразбросом используемых значений плотности, ни погрешностями в измерениискорости звука вдоль оси Y.

Необходимо отметить, что в работе [38]исследовались кристаллы, легированные ионами Ho3+, тогда как в настоящейработе исследовался чистый материал. Стоит подчеркнуть, что значениеконстанты с22, указанное в Таблице 1.3, было получено неоднократно в разныхизмерениях. Исследования проводились как на различных образцах, полученныхиз одного кристалла, так и на контрольном образце из кристалла, выращенного вдругой лаборатории. Принимая во внимание, что в работе [38] используетсянепрямой метод, основанный на рассеянии Мандельштама-Бриллюэна [7], можно-- 35 --предположить, что полученное там значение имеет большую погрешность.Вызывает некоторые вопросы и полученная величина упругой константыс25.