Диссертация (Исследование релятивистских и нерелятивистских квантовых систем с помощью вычисления континуальных интегралов методом Монте-Карло), страница 9

26: P0K при различных плотностях20006density,5x103kg/m32085106846182613183P-P0K389210510152025Рис. 27: P (T ) − P0K при различных плотностяхоснове полученных данных, используя в качестве фитирующей функции формулу (142).Для этого строим зависимости давления от плотности при разных фиксированных температурах и фитируем получившиеся графики зависимостью (142).Были выбраны следующие фиксированные температуры: 5800K, 8700K, 17400K. Графики зависимости давления от плотности при этих температурах, а также фитинг этихзависимостей на степенной закон (142) представлен на рисунках (28), (29), (30).

Отметим,что полученная зависимость P (ρ) фитируется степенным законом с очень высоким коэффициентом корреляции Rcorr = 0.9999985. Используя данные фитирования можно построить графики зависимости параметров фитинга k(T ) и γ(T ). Эти графики представлены нарисунках (31, 32). Из представленных графиков видно, что γ для исследуемых температурбольше 1, что соответствует условию конечности атмосферы планеты-гиганта, состоящегоиз плотного горячего водорода. Отметим также, что зависимость γ от температуры довольно слабая: при изменении температуры приблизительно в 3 раза γ изменилось менее,чем на 10% . При этом зависимость коэффициента k от температуры вполне значительна.3,50E+014P3,00E+014Fit of P( )2,50E+014P (Pa)2,00E+0141,50E+0141,00E+014ModelAllometric1Equationy = a*x^b2,19597E225,00E+013Reduced Chi-Sqr1Adj. R-SquareValue0,00E+000P0500010000150002000025000Standard Errora3,69068E660433,01074b1,729760,00157300003500040000Ro (kg/m^3)Рис.

28: Зависимость давления от плотности в жидкой фазе при температуре T = 5800K6.3Фазовый переходОтношение Лидеманна (97) - хорошая мера неупорядоченности кристаллической решётки,поэтому его естественно и разумно использовать для обнаружения фазового перехода, прикотором упорядоченность полностью исчезает. На Рис. 4 показано отношение Лидеманна для всего исследованного диапазона плотностей и температур.

Ясно виден фазовыйпереход.Пологий участок этих зависимостей в твёрдой фазе (слева внизу) содержит некторуюфизическую информацию о неупорядоченности кристаллической решётки. Пологий участок в жидкой фазе (справа сверху) - артефакт конечного объёма моделируемой системы,его уровень зависит только от размера ячейки моделирования.Определив положение фазового перехода, мы можем построить фазовую диаграммудля металлического водорода. Она изображена на Рис. 6.

Тут надо сказать про некоторыесущественные подробности. Как известно, наблюдаемые в методе PIMC являются сред-9,00E+015PFit of P( )8,00E+0157,00E+015P (Pa)6,00E+0155,00E+0154,00E+0153,00E+015ModelAllometric1Equationy = a*x^bReduced2,00E+0151Adj. R-SquareValue1,00E+0150,00E+0001,70466E25Chi-SqrP50000100000150000Standard Errora5,20675E6106611,0333b1,698750,00166200000250000Ro (kg/m^3)Рис.

29: Зависимость давления от плотности в жидкой фазе при температуре T = 8700Kними по набору термализованных траекторий. Чтобы получить этот набор стартуют снекоторой траектории и запускают марковский процесс, называемый термализацией. Снкоторого момента начинают получаться равновесно распределённые конфигурации, нонеизвестно, как скоро это произойдёт. Также известно, что модели систем в окрестностяхфазового перехода обычно плохо термализуются, особенно через этот переход. Например,мы начинаем с "идеального кристалла при абсолютном нуле"(твёрдая фаза). В течениесчёта он достаточно быстро термализуется в некоторое твёрдое состояние, которое кажетсяустойчивым. Получение истинных физических тректорий занимает много вычислительного времени.

Пример показан на Рис. 5. Это является главным препятствием для точногоопределения точки фазового перехода. Кроме того, оказывается, что термализация изжидкого в твёрдое состояние происходит так медленно, что её вряд ли можно получитьза приемлемое вычислительное время. Таким образом, полученное положение фазовогоперехода формально является его верхним пределом. Нижний предел можно получитьмоделированием, начинаемым с "жидкой фазы но не стоит ожидать, что он будет сильно3,00E+017PFit of P( )2,50E+017P (Pa)2,00E+0171,50E+0171,00E+017ModelAllometric1Equationy = a*x^bReduced5,00E+0162,0985E28Chi-Sqr1Adj.

R-SquareValue0,00E+000P40000080000012000001600000Standard Errora7,60112E6216290,14667b1,66980,001972000000, kg/m^3Рис. 30: Зависимость давления от плотности в жидкой фазе при температуре T = 17400Kотличаться от полученного нами верхнего предела.Другой способ определеничя положения фазового перехода заключается в термодинамическом интегрировании свободной энергии ([18]).

Это позволяет избежать долгой термализации из жидкого состояния в твёрдое. Но этот подход основан на интегрированииданных моделирования, содержащих некоторую погрешность, на большом промежутке. Влюбом случае, оба метода - предмет для дальнейших исследований.Наконец, надо пояснить, почему мы утверждаем, что фазовый переход происходитименно между фазами жидкости и кристалла с объёмно-центрированной кубической решёткой.Это можно легко увидеть, просто нарисовав соответствующие траектории.

Примеры траекторий в обеих фазах приведены на Рис. 7 и Рис. 8. Существование жидкого (не кристаллического) состояния над переходом также подтверждается отношением Линдеманна, которое в этой области много больше единицы (Рис.4). Объёмно-центрированная кубическаякристаллическая структура под переходом видна по характерным траекториям, примерсм. Рис. 8.80000007000000k600000050000004000000k30000004000600080001000012000140001600018000T (K)Рис. 31: Зависимость параметра фитирования k от температуры7Релятивистский гармонический осцилляторВ данном разделе описывается релятивистское обобщение метода Монте-Карло для вычисления интеграла по траекториям.

В рамках данного подхода изучается задача о релятивистском гармоническом осцилляторе. Рассмвтриваются нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы. Также проводится сравнение с результатами расчётов на основании уравнения Шрёдингера (в импульсном представлении).7.1Введение. Физический смысл и постановка задачиВычисление интегралов по траекториям методом Монте-Карло широко используется дляисследования свойств квантовых систем. В первую очередь этот метод применяется длямоделирования систем многих тел, в которых число степеней свободы уже слишком велико, чтобы было возможно численное решение уравнения Шрёдингера, но ещё слишкоммало, чтобы были применимы методы квантовой статистики.1,741,731,721,711,701,691,681,671,664000600080001000012000140001600018000T (K)Рис.

32: Зависимость параметра фитирования γ от температуры2,52,0,3x101,5/3208510686181,03892610,50,0510152025Рис. 33: Отношение Линдеманна при различных плотностях1,00,80,60,40,20,0020406080100120140nРис. 34: Термализация отношения Линдеманна при ρ = 188.4 × 106 кг/м3 , T = 13.1 кК(синий) and T = 14.5 кК (красный)25T, x103201510505001000150020003, x10Рис. 35: Фазовая плоскостьМы рассмотрим обобщение метода Монте-Карло для вычисления интегралов по траекториям на случай релятивистских систем.

Расчёты релятивистских квантовомеханических систем встречаются во множестве физических задач. Релятивистские поправкииграют важнейшую роль в физике атомных систем, включающих ядра тяжёлых элементов, из-за наличия сильных потенциалов взаимодействия. Задачи, связанные с расчётамирелятивичтских квантовых систем, также встречаются в ядерной физике, в физике адрон-Рис. 36: Траектория в жидкой фазеРис. 37: Траектория в фазе кристалла с объёмно-центрированной кубической решёткойных структур и кварк-глюонной плазмы. Кроме того, в последнее время появилось ещёодно интересное приложение релятивистской квантовой механики: так называемые (псев-до)релятивистские системы в физике конденсированного состояния. Наиболее известнойиз подобных структур является графен.Наиболее примечательное свойство графена состоит в том, что заряженные квазичастицывозбуждения в нём имеют очень малую эффективную массу.

В идеальном случае: еслипренебречь влиянием дефектов и граничных эффектов - их масса точно равна нулю. Сдругой стороны, интенсивность взаимодействия между квазичастицами достаточно велика. В совокупности эти два факта означают, что возбуждения в графене могут бытьописаны как релятивистский двухмерный газ с сильным мгновенным взаимодействием.Корректная формулировка задачи многих тел в релятивистской квантовой механикесвязана с некоторыми известными сложностями. Во-первых, кинетическая и потенциальная части гамильтониана должны быть инвариантны относительно преобразования Лоренца. Записать кинетическую часть в Лоренц-инвариантной форме достаточно просто,а для потенциала взаимодействия это требует в общем случае теоретико-полевого подхода. Чтобы корректно рассматривать подобные задачи, оставаясь в рамках квантиовоймеханики, нужно сделать некоторые дополнительные предположения.