Диссертация (Исследование релятивистских и нерелятивистских квантовых систем с помощью вычисления континуальных интегралов методом Монте-Карло), страница 10

Мы рассмотрим релятивистскую формулировку только для кинетической части гамильтнониана. Часть гамильтониана, отвечающая за потенциал взаимодействия, не может в общем случае бытьрассмотрена в релятивистской формулировке методами квантовой механики. В качествепервого приближения будет рассмотрена система с мгновенным взаимодействием между частицами. Это приближение хорошо работает в релятивистской квантовой химии и в(псевдо)релятивистской физике конденсированного состояния, в частности в моделях графена. В рассматириваемых ими системах поправки, связанные с релятивистским характером взаимодействия малы по сравнению с поправками, связанными с релятивистской природой частиц (их движения).

В системах, рассматриваемых ядерной физикой и физикойвысоких энергий, это не так и для их рассмотрения требуются некоторые специфическиедополнительные предположения; подобные системы в данной работе рассматриваться небудут.Разработка релятивистского обобщения интергалов по траекториям имеет давнюю историю.

В настоящее время эта задача становится более важной в связи с приложением вфизике высоких энергий.7.2Марица плотности в вычислениях методом Монте-КарлоРассмотрим релятивистское обобщение формализма интеграла по траекториям на случай квантовой механики при конечной температуре. Более полной рассмотрение данноговопроса см. [?].Среднее значение оператора A вычисляется по формулеhAi =tr(Ae−βH ),tr(e−βH )где оператор e−βH представляет собой матрицу плотности, а β = 1/θ - обратная температура рассматриваемой системы.

Для вычисления интеграла по траекториям методомМонте-Карло рассмотрим предел при нулевой температуре. Матричный элемент матрицыплотности в координатном представлении записывается следующим образом:ρ(q, q 0 ; β) = hq|e−βH |q 0 i.Наконец, для среднего значения оператора A имеемRdqdq 0 ρ(q, q 0 ; β)hq|A|q 0 iR.hAi =dqρ(q, q; β)Для оператора матрицы плотности можно записать следующее выражениеe−(β1 +β2 )H = e−β1 H e−β2 Hили то же самое в координатном представленииZρ(q1 , q3 ; β1 + β2 ) = dq2 ρ(q1 , q2 ; β1 )ρ(q2 , q3 ; β2 ).Применяя это свойство Nt раз, получаемe−βH = (e−τ H )Nt ,где τ = β/Nt .

То же выражение в координатном представлении имеет видZZρ(q0 , qN ; β) = . . . dq1 dq2 . . . dqN −1 ρ(q0 , q1 ; τ )ρ(q1 , q2 ; τ ) . . . ρ(qN −1 , qN ; τ ).Рассмотрим гамильтониан H = T (p) + V (q). Оператор кинетической энергии T (p) диагонален в импульсном представлении, а оператор потенциальной энергии V (q) диагонален в координатном представлении. Мы можем разделить кинетическую и потенциальнуюэнергию в гамильтониане в случае, когда τ мало, тогдаτ2e−τ (T +V )+ 2 [T,V ] = e−τ T e−τ V .При τ → 0 имеемe−τ (T +V ) ≈ e−τ T e−τ V .Или то же самое в координатном представленииZρ(q0 , q2 ; τ ) ≈ dq1 hq0 |e−τ T |q1 ihq1 |e−τ V |q2 i.Как мы помним, оператор потенциальной энергии диагонален в кординатном представлении, то естьhq1 |e−τ V |q2 i = e−τ V (q1 ) δ(q2 − q1 ).С учётом равенстваdp|pi 2πhp| = 1 получаемZ−τ Thq0 |e |q1 i = dpdp0 δ(p − p0 )hq0 |pihp0 |q1 ie−T (p)τ .RПринимая во внимание равенство hq|pi = e−iqp , получаемZdp −T (p)τ −ip(q0 −q1 )−τ Te.hq0 |e |q1 i =2πВ релятивистком случае кинетическая энергия имеет следующую формуT (p) =pp2 + m2 .Таким образом, чтобы вычислить матричный элемент, мы должны взять вышеуказанныйинтеграл по импульсу от данной формы.

Рассмотрим его в общем случае или, другимисловами, с общей формой релятивистского выражения для кинетической энергии. Мыможем вычислить интергал по импульсу с данным выражением для T (p) и тогда получимpmτhq0 |e−τ T |q1 i = pK1 (m τ 2 + (q1 − q0 )2 ) =π τ 2 + (q1 − q0 )2r q − q 2m10= rK(mτ1+).2 1τq1 −q0π 1+τгде K1 (∗) - модифицированная функция Бесселя первого порядка. Соответственно, общеевыражение для матричного элемента выглядит следующим образом:h r q 00 − q 0 2 im00 000 −τ (T (p)+V (q)) 0−τ V (q 0 )ρ(q , q ; τ ) = hq |e|q i = rKmτ1+e. (143)1 00 0 2τπ 1 + q τ−q7.3Алгоритм МетрополисаЧтобы применять алгоритм Метрополиса для вычисления интеграла по траекториям методом Монте-Карло, надо выделить часть матрицы плотности, относящуюся к фиксированной точке qi . Более подробное обсуждение и доказательство данного метода см.

[2].Используя (143) можно записатьh rm2 K1 mτπ(qi ) =qi −qi−1τ2 i h r2 iK1 mτ 1 + qi+1τ−qie−τ V (qi ) .r1+rπ 2 1 + qi −qτ i−121+qi+1 −qiτ2Для вычисления интеграла построим марковскую цепь, имеющую при фиксированном qiравновесное состояние, пропорциональное π(qi ). Вероятность перехода для этой марковской цепи удовлетворяет условиюZdqi π(qi )P (qi → qi0 ) = π(qi0 ).Чтобы получить π(q) в качестве предела марковской цепи, достаточно потребовать выполнения условия детального балансаπ(qi )P (qi → qi0 ) = π(qi0 )P (qi0 → qi ).В алгоритме Метрополиса вероятность перехода раскладывается в формеP (qi → qi0 ) = T (qi → qi0 )A(qi → qi0 ),где T (qi → qi0 ) - пробная вероятность, а A(qi → qi0 ) - вероятность принятияh T (q 0 → q )π(q 0 ) iiiiA(qi → qi0 ) = min 1,.T (qi → qi0 )π(qi )Зная матрицу плотности в координатном представлении, можно вывести выражения длясредних значений всех наблюдаемых.

При помощи (143) можно получить среднее значениекинетической энергии в общем релятивистском случае (см. [?]),pDK0 (m τ 2 + (∆q)2 )mττ 2 − (∆q)2 Ep+.hT (p)i = pτ 2 + (∆q)2 K1 (m τ 2 + (∆q)2 ) τ (τ 2 + (∆q)2 )(144)Полная энергия основного состояния вычисляется по формулеhE(p, q)i = hT (p) + V (q)i.Плотность вероятности имеет видρ(q) = |ψ(q)|2 =X1θ(∆q − |q − qi |),N ∆q all paths(145)где N - число точек, на которых производится вычисление. Корреляционная функция вдискретизованном случае записывается следующим образом:hq(t)q(t + nτ )i = hqi qi+n i.(146)В результате мы имеем формулы для генерации марковской цепи и для вычислениявсех наблюдаемых.

Соответственно, можно сравнить результаты моделирования методомМонте-Карло с результатами теоретических предсказаний.7.4Задача о релятивистском осцилляторе: теоретическое рассмотрениеРелятивистский гармонический осциллятор описывается следующим гамильтонианомH=p1p2 + m2 + mω 2 q 2 .2(147)Чтобы проверить наш метод и сравнить результаты вычисления интегралов по траекториям методом Монте-Карло с результатами, получаемыми из аналитических выражений, рассмотрим нерелятивистский (m2 p2 ) и ульта-релятивистский (m2 p2 ) пределы. Фактически в задаче есть всего два размерных параметра: m и ω, и, как мы увидимв дальнейшем, условия нерелятивистского и ультра-релятивистского предела могут бытьсформулированы в терминах m и ω.Сначала рассмотрим нерелятивистский предел, описываемый условием m2 p2 .

Этоусловие следует понимать в смысле средних значений, то есть m2 hp2 i. Раскладываяpвыражение для кинетической энергии T (p) = p2 + m2 , получаемT (p) = p 4 pp2p2p2 + m2 = m(1 ++O)≈m+2m2m2mТогда нерелятивистский предел гамильтониана (147) имеет следующий видH =m+p21+ mω 2 q 2 ,2m 2(148)где m - масса покоя. таким образом мы, как и следовало ожидать, получаем обычный(нерелятивистский) гармонический осциллятор. Выражения для энергии и плотности вероятности основного состояния этого гамильтониана хорошо известны:E0 = m +ω,2(149)2ρ(q) = |ψ(q)| = mω 12π2exp −mωq ,(150)где ψ(q) - волновая функция основного состояния. Теорема вириала даёт соотношениемежду кинетической и потенциальной энергиейD p2 E1= h mω 2 q 2 i2m2илиhT (p) − mi = hV (q)i.Отсюда, с учётом (148) получаемω1hT (p) − mi = (E0 − m) = hV (q)i = .24(151)Для корреляционной функции hq(t)q(t + s)i этой системы можно записать следующее выражение:hq(t)q(t + s)i =1 −w|s|e.2mω(152)Таким образом, у нас есть набор аналитических выражений для значений наблюдаемых(149), (150), (151), (152), которые можно сравнить с результатами численных расчётовинтегралов по траекториям методом Монте-Карло.Условие нерелятивистского предела формулируется в терминах m и ω, что необходимодля определения физической ситуации.

Используя (151) моожно получить hp2 i ∼ mω andm ω. Это значит, что в данном случае рассматриваются относительно тяжёлые частицыс относительно слабым потенциалом взаимодействия.Теперь перейдём к рассмотрению ультра-релятивистского предела гамильтониана (147).Выражение для кинетической энергии в этом случае раскладывается следующим образомT (p) =p m 4 m2p2 + m2 = |p| 1 + 2 + O≈ |p|.2ppЗдесь для описания поведения системы достаточно взять только первый порядок. В нёмимеем1H = |p| + mω 2 q 2 .2(153)Можно решить уравнение Шрёдингера с данным гамильтонианом в импульсном представлении и найти энергию и плотность вероятности для основного состояния:E0 = λ0 (mω 2 )1/3 ,(154)где λ0 = 0.808617 .

. . ,RRρ(q) =dpdkAi(2π)2 221/31/3( mω)(|p|−λ)Ai()(|k|−λ)e−i(p−k)q002mω 2,R dp 2 21/3 (|p| − λ )Ai()02πmω 2(155)где Ai(x) - функция Эйри первого рода. Теорема вириала для гамильтониана (153) даётследующее соотношение между кинетической и потенциальной энергией:hT (p)i = 2hV (q)i,Таким образом, для наблюдаемых мы имеем следующие выражения:hT (p)i =2λ0(mω 2 )1/3 ,3λ0(mω 2 )1/3 ,32λ0hq 2 i =.3(mω 2 )2/3hV (q)i =(156)(157)(158)Из теоремы вириала получаем h|p|i ∼ (mω 2 )1/3 . Полагая, что h|p|i2 ∼ hp2 i, получим соотношение m 4/3m2∼ 1.hp2 iωВ ультра-релятивистском случае имеем следующее соотноошение массы и "частоты противоположное нерелятивистскому случаю:ω m.Таким образом, в ультра-релятивистском случае мы также имеем набор аналитическихвыражений для наблюдаемых, которые можно сравнить с результатами численных расчётовинтегралов по траекториям методом Монте-Карло.7.5Задача о релятивистском осцилляторе: результаты численныхрасчётовПроведём сравнение результатов, полученных при помощи программы расчёта интергалапо траекториям методом Монте-Карло при параметрах, удовлетворяющих условию m ωс теоретическими предсказаниями для гармонического осциллятора.