Диссертация (Горизонтальные движения водного слоя, сопровождающие генерацию и распространение волн цунами), страница 13

Формирование вихря сопровождается затухающимиколебаниями с инерционной частотой f , которые хорошо заметны при   1 . При   0.1эти колебания также существуют, но их период значительно больше, а амплитуда меньше.Физическая природа этих колебаний – колебания системы около устойчивого положенияравновесия (геострофического вихря).На значительном удалении от источника при r  10 R и   0.1 наблюдаетсяпрохождение кольцевой волны, похожей на решение волнового уравнения.

Отличиесостоит лишь в небольшом остаточном смещении водной поверхности, которое заметнона расстояниях до радиуса деформации Россби (при   0.1 радиус Россби R0  10 R ). При  1 амплитуда и энергия волны заметно уменьшаются, т.к. значительная часть энергии68источника цунами оказывается связанной в геострофическом вихре в районе областидеформации дна. Форма волны также претерпевает принципиальные изменения.

Теперьволна имеет вид диспергирующего цуга. Частота колебаний в цуге соответствуетинерционной частоте f .Рис. 3.4.2. Динамика развития потенциального остаточного поля – вектора горизонтального смещения D(стрелки), вызванного осесимметричным поднятием дна конечной продолжительности   0.1 R / gH вовращающемся океане в последовательные моменты времени (указаны на рисунке). Форма остаточнойдеформации дна (Гауссов колокол) и изолиния на уровне  0 / 10 (круг), маркирующая положение источника,показаны красным пунктиром. Черной линией изображено смещение свободной поверхности: волновоевозмущение, распространяющееся от источника и остаточное смещение в геострофическом вихре.Расчет выполнен при   0.1 .69Рис.

3.4.3. Динамика развития потенциального остаточного поля – вектора горизонтального смещения D(стрелки), вызванного осесимметричным поднятием дна конечной продолжительности   0.1 R / gH вовращающемся океане в последовательные моменты времени (указаны на рисунке). Форма остаточнойдеформации дна (Гауссов колокол) и изолиния на уровне  0 / 10 (круг), маркирующая положение источника,показаны красным пунктиром. Черной линией изображено смещение свободной поверхности: волновоевозмущение, распространяющееся от источника и остаточное смещение в геострофическом вихре.Расчет выполнен при   1 .70Рис. 3.4.4. Поле скорости горизонтального течения V (стрелки), вызванное осесимметричным поднятиемдна конечной продолжительности   0.1  R / gH во вращающемся океане в последовательные моментывремени (указаны на рисунке).

Форма остаточной деформации дна (Гауссов колокол) и изолиния на уровне 0 / 10 (круг), маркирующая положение источника, показаны красным пунктиром. Черной линиейизображено смещение свободной поверхности: волновое возмущение, распространяющееся от источника иостаточное смещение в геострофическом вихре. Расчет выполнен при   0.1 .71Рис. 3.4.5. Поле скорости горизонтального течения V (стрелки), вызванное осесимметричным поднятиемдна конечной продолжительности   0.1  R / gH во вращающемся океане в последовательные моментывремени (указаны на рисунке).

Форма остаточной деформации дна (Гауссов колокол) и изолиния на уровне 0 / 10 (круг), маркирующая положение источника, показаны красным пунктиром. Черной линиейизображено смещение свободной поверхности: волновое возмущение, распространяющееся от источника иостаточное смещение в геострофическом вихре. Расчет выполнен при   1 .72На Рис. 3.4.2 и Рис. 3.4.3 представлено поле горизонтального смещения частицводы D , а на Рис. 3.4.4 и Рис. 3.4.5 поле скорости горизонтального течения V . Полярассчитаны при   0.1 и   1 в последовательные моменты времени (указаны нарисунках).

Поле скорости течения V рассчитывалось по формулам (3.2.4) черезпотенциал и функцию тока, которые были определены из решения уравнений (3.3.19) и(3.3.20), т.е. оно содержит и потенциальную и вихревую компоненты. Поле смещениячастиц D являлось потенциальным. Оно определялось через потенциал смещений,рассчитанный из уравнения (3.2.21) по формуле   D . На всех рисунках черной кривойпоказано возмущение свободной поверхности, определенное из решения уравнения(3.2.18). Красной пунктирной линией, также на всех рисунках, показаны форма («Гауссовколокол») и местоположение (круг – изолиния по уровню  0 / 10 ) остаточной деформациидна в источнике.Из рисунков 3.4.2-3.4.5 видно, что сразу после того, как волна покидает областьисточника, в ней образуется остаточный вихрь, вращающийся по часовой стрелке (мырассматриваем случай Северного полушария f  0 , поднятие дна  0  0 ) и остаточноесмещение частиц воды в радиальном направлении.

Из анализа Рис. 3.4.2 и Рис. 3.4.3можно заключить, что за пределами области, ограниченной радиусом деформации Россбипотенциальное движение частиц воды носит возвратно-поступательный характер.Остаточныегоризонтальныесмещенияформируютсятольковблизиисточника.Напомним, что остаточное вихревое и потенциальное поля однозначно связаны друг сдругом (см. формулы (2.1.1.17), (2.1.1.18)). Из сопоставления рисунков 3.4.4 и 3.4.5 видно,что остаточный геострофический вихрь действительно находится точно в той же областипространства, где расположено остаточное потенциальное поле – горизонтальныесмещения D .Примечательно, что влияние силы Кориолиса на поле скорости течения,сопутствующее распространяющейся волне, заметно даже при   0.1 .

При   1проявление силы Кориолиса является уже четко выраженным практически на всех этапах.Кроме того, при   1 в области источника, остается весьма значительное остаточноевозмущение поверхности (~40% от амплитуды деформации дна), существование которогоподдерживается силой Кориолиса. В этом случае значительная часть энергии источникацунами оказывается связанной в геострофическом вихре, что приводит к уменьшениюэнергии цунами. Аналогичный эффект наблюдается и при типичном для природныхусловий нашей планеты значении   0.1 .

Однако остаточное смещение свободной73поверхности оказывается ~1% от амплитуды деформации дна. В любом случаегеострофический вихрь связывает в себе часть энергии источника цунами, что, конечно,приводит к уменьшению энергии волн цунами. Следует отметить, что в типичныхприродных условиях это уменьшение является незначительным.

С нашей точки зренияименно этот эффект проявляется при численном моделировании, описанном в работе[Kirby et al., 2013].Второй фактор, который также приводит к ослаблению волн, – это дисперсия,которой оказываются подвержены длинные волны во вращающемся океане [Dijkstra,2008]. Напомним, что классические длинные волны в инерциальной системе отсчетаявляются недиспергирующими [Лайтхилл, 1981; Пелиновский, 1996]. Такие волныхарактеризуются дисперсионным соотношением  2  gHk 2 , из которого следует, чтофазовая и групповая скорости равны друг другу ( c ph  c gr  gH ) и не зависят от периодаили длины волны.

С использованием полученных выше уравнений легко показать, что вовращающейся системе отсчета длинные волны становятся диспергирующими. Рассмотримобласть вне источника цунами. В этой области волны будут описываться однороднымуравнением Клейна-Гордона 2    2  0 .2t(3.4.1)Пусть во вращающемся океане в положительном направлении оси 0 x бежит плоскаяволна (в силу симметрии направление распространения волны может быть выбранопроизвольно) ~ expi(  t  k x ) ,(3.4.2)где  – циклическая частота, k – волновое число. Подставляя выражение (3.4.2) вуравнение (3.4.1), получаем связь между циклической частотой и волновым числом(дисперсионное соотношение): 2  gHk 2  f 2 .(3.4.3)Выражение (3.4.3) известно в динамике вращающейся жидкости [Grimshaw et al., 1998;Dijkstra, 2008].

Из него несложно получить выражения для фазовой и групповой скоростидлинных волн во вращающемся океанеc ph gH  f 2 / k 2 ,(3.4.4)c gr  gH / gH  f 2 / k 2 .(3.4.5)74Рис. 3.4.6. Зависимость фазовой и групповой скоростей длинных волн во вращающемся океане от периода.Расчет выполнен при. f  104 с 1Из выражений (3.4.4) и (3.4.5) следует, что вращение Земли приводит к дисперсиидлинных волн. Зависимость фазовой и групповой скоростей от периода волн Tпредставлена на Рис. 3.4.6. При построении зависимости мы полагали, что период волнсвязан с волновым числом следующей приближенной формулой: k  2 /( T gH ) .

Изрисунка хорошо видно, что только достаточно длиннопериодные цунами оказываютсяподверженными заметной дисперсии. В любом случае в диапазоне периодов цунамивращение Земли меняет скорость распространения волн в пределах 1%.В заключении раздела отметим, что в большинстве случаев размеры очага цунамисущественно уступают радиусу деформации Россби R0 (  ~ 0.1 ), поэтому эффектывращения Земли незначительно ослабляют волны цунами. Но при катастрофическихземлетрясениях ( M w  9.0 ) размер очага цунами может оказаться сопоставимым свеличиной R0 (  ~ 1 ), – в этих случаях сила Кориолиса может оказать значительноевлияние на волновое поле.

В этой связи численное моделирование динамики цунами сцелью прогноза этой масштабной и опасной природной катастрофы непременно должнопроводиться с учетом вращение Земли.753.5.Выводы к Главе 31. Для эффективного выявления слабых эффектов вращения Земли предложенозадачу о генерации и распространении цунами во вращающемся океанерассматривать с использованием декомпозиции Гельмгольца в переменныхпотенциал, функция тока и смещение свободной поверхности.2. Показано, что формирование остаточных (стационарных) гидродинамическихполей, вызываемых деформацией дна в очаге цунами, возможно либо в океанепостояннойглубины,либопривыполненииусловийсуществованиятопографического вихря.3.

Для однородного океана фиксированной глубины задача о генерации цунамиземлетрясением и распространении волн сводится к набору неоднородныхуравнений Клейна-Гордона.4. Остаточные вихревое и потенциальное поля формируются сразу после того, какволна покинет прилежащую к очагу область, размер которой ограниченбаротропным радиусом деформации Россби.5. Геострофическая адаптация однородного океана, возмущенного динамическойдеформацией дна сопровождается затухающими колебаниями на инерционнойчастоте.6.