Диссертация (Анализ тепловых шумов в многослойных диэлектрических зеркалах интерферометров и оптических микрорезонаторах), страница 10

Òåïåðü íàì íóæíî íàéòè ðåøåíèå (2.1.11) â öèëëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì ðåøåíèå â âèäå ~u = ~u1 + gradφ ãäå φ ÿâëÿåòñÿ ïðàâîé÷àñòüþ (2.1.11):∆φ =1+σαT1−σ(2.1.16)è áóäåò çàäàâàòü ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ ~u1 íà ïîâåðõíîñòè z = 0. Òàêèì îáðàçîì çàäà÷à äëÿφ ýòî îáû÷íîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå Ïóàññîíà ñ õîðîøî èçâåñòíûì ðåøåíèåì, à çàäà÷àäëÿ ~u1 ýòî çàäà÷à î äåéñòâèè ñèëû íà ïîëóïðîñòðàíñòâî, ðåø¼ííàÿ â [13]. Ïîëó÷åííîå ïîëåñìåùåíèé ~u íåîáõîäèìî áóäåò äàëåå óñðåäíèòü ïî ãàóññîâîìó ïó÷êó ðàäèóñà w, ÷òîáû íàéòèñîáðàííóþ ëàçåðíûì ëó÷îì èíôîðìàöèþ î ñìåùåíèè çåðêàëà:Zx2 +y 22δzj (xj , yj , zj ) = uz (x, y, 0, xj , yj , zj ) 2 e−2 w2 dS.πw(2.1.17)Ïîñëå ðàñ÷¼òîâ, àíàëîãè÷íûõ [16], ïîëó÷èòñÿ óñðåäí¼ííàÿ ðåàêöèÿ ïîâåðõíîñòè íà åäèíè÷íîåñîáûòèå êðèñòàëëèçàöèè ñ êîîðäèíàòàìè xj , yj , zjδzj (xj , yj , zj ) = 2αT1 (1 + σ)π 3/2 b3 ×(2.1.18)Z32 22 2~ k⊥ d k.× e−k⊥ w /4 e−k b /4 e−ik~rj 2k (2π)3q 23 ρgÑòîèò çàìåòèòü, ÷òî 2π 3/2 αT1 b3 (1 + σ) ≈ 6π(1−σ)1−a3 = ξVa âñëåäñòâèå (2.1.13)1+σρc(2.1.15), èñêëþ÷àÿ èç óðàâíåíèé "ëèøíèå"òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû.

Çäåñü òàê æå ìîæíî çàìåíèòü 4/3πa3 íà Va îáú¼ì ñõëîïûâàþùåéñÿ îáëàñòè, â ïîïûòêå îáîáùèòü ðåçóëüòàòûíà ïðîèçâîëüíóþ ãåîìåòðèþ ïóçûðüêà.Øóìîâîé ïðîöåññ ñîñòîèò èç ñëó÷àéíîãî ïîòîêà äèñêðåòíûõ ñîáûòèéδz(t) =N (t)XH(t − τj )δzj (xj , yj , zj ),(2.1.19)jãäå xj , yj , zj , τj ïîëîæåíèå è ìîìåíò ñîáûòèÿ, à H(t) ôóíêöèÿ Õýâèñàéäà (åäèíè÷íàÿ ñòóïåíüêà). Òîãäà äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà ïîëó÷èì ([56])ZZ thδz(t)i = λδzj (x, y, z)dVH(t − τ )dτ =VSδz0= λξVa wIl (R/w, L/w)tZ=λδzj (x, y, z)2 dV H̃(−ω)H̃(ω) =(2.1.20)V=λξ 2 Va2 IS (R/w, L/w),wω 2(2.1.21)ãäå λ ïëîòíîñòü ÷àñòîòû ñîáûòèé êîëè÷åñòâî ñîáûòèé â ñåêóíäó â åäèíèöå îáú¼ìà, Il èIS ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ îáåçðàçìåðåííûõ èíòåãðàëîâ (èõ íå óäà¼òñÿ âçÿòü54àíàëèòè÷åñêè, ñì ïðèë.

Ï.6.), R è L ðàäèóñ è òîëùèíà çåðêàëà. Èíòåãðàëû Il è IS , ðàññ÷èòàííûå ÷èñëåííî ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå 2.5.Ðèñ. 2.5: Áåçðàçìåðíûå èíòåãðàëû Il â ñëó÷àå äëèííîãî öèëèíäðà (àíàëèòèêà, èñïîëüçîâàííàÿ â (2.1.23)) è÷èñëåííûé ðàñ÷¼ò IS äëÿ øèðîêîãî çåðêàëà (â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (2.1.18)).Äëÿ îöåíêè ïëîòíîñòè ÷àñòîòû ñîáûòèé èñïîëüçóåì äàííûå èç ðàáîòû [34], ãäå ñæàòèå ýòàëîíà Ôàáðè-Ïåðî ýòàëîíà èç îêñèäà êðåìíèÿ áûëî èçìåðåíî ýêñïåðèìåíòàëüíî.

Äâàçåðêàëà ñ äèàìåòðàìè we = 0.66 ñì áûëè ñîåäèíåíû Le = 10 ñàíòèìåòðîâîé òðóáêîé äèàìåòðà Re = 2 ñì èç ïëàâëåíîãî êâàðöà.  òàêîé êîíôèãóðàöèè ôîðìóëà (2.1.17) äîëæíà áûòüèçìåíåíà, òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå îòêëèê ïðåäñòàâëÿåòñÿ óñðåäíåíèåì ïî ïëîùàäè, à íåïî ãàóññîâó ïÿòíó. Áîëåå òîãî, èñïîëüçîâàííûé íàìè ïîäõîä èç [16] ñòàíîâèòñÿ íå òî÷íûì,òàê êàê â í¼ì áûëî èñïîëüçîâàíî ïðèáëèæåíèå ïîëóáåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà.

Çäåñü æåìû èìååì ïðèíöèïèàëüíî ñëó÷àé òîíêîãî öèëèíäðà. ×òîáû ïðîâåñòè ñîîòâåòñòâèå ìåæäóèìåþùåéñÿ è íåîáõîäèìîé ìîäåëÿìè, ìû èñïîëüçóåì ìîäåëèðîâàíèå ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Öèëèíäð ñ ïàðàìåòðàìè, óêàçàííûìè âûøå, áûë ñìîäåëèðîâàí â ïðîãðàììå ComsolMultiphysics. Áûë èñïîëüçîâàí Structural Mechanics ìîäóëü â äâóõ ðàçëè÷íûõ ïîñòàíîâêàõçàäà÷è: íåïîñðåäñòâåííàÿ çàäà÷à î ïðèëîæåíèè ñèëû ê ïîâåðõíîñòè ïóçûðüêà è çàäà÷à îíåðàâíîìåðíîì ôèêñèðîâàííîì ðàñïðåäåëåíèè òåìïåðàòóðû (óçåë Thermal expansion íà óçëå Linear Elastic Material). Ðåøåíèÿ áûëè ïðèçíàíû îäèíàêîâûìè ñ òî÷íîñòüþ äî íîðìèðîâêèñèëû âîçìóùåíèÿ.

Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêàõ 2.62.7.Ìîäåëèðîâàíèå ïîêàçàëî, ÷òî âåñü îáú¼ì öèëèíäðà ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ÷àñòè: 1)ñôåðà ñ öåíòðîì â öåíòðå ïóçûðüêà, êàñàþùàÿñÿ ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà è 2) îñòàëüíàÿ ÷àñòüöèëèíäðà. Ðåøåíèå âíóòðè ñôåðû ñëàáî îòëè÷àåòñÿ îò ðåøåíèÿ â ÷èñòî ñôåðè÷åñêîì ñëó-5516171010, z j=w/2., z j=w/2, z j=w., zj=w, z j=5w=L/21610,z j=5w=L/2Const/R215δ zjδ zj10151014. пятнуТеорияПо поверхности10012341451012345zj/w678910R/wÐèñ. 2.6: Óñðåäí¼ííîå ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè âäîëü z ïðîèçâåä¼ííîå ïóçûðüêîì íà îñè öèëèíäðà â çàâèñèìîñòè îò ãëóáèíû ïóçûðüêà zj (ñëåâà) è ðàäèóñà öèëèíäðà (ñïðàâà).

Óñðåäíåíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî ãàóññîâîìóïÿòíó (êðàñíûå ëèíèè) èëè ïî ïëîùàäè (ñèíèå ñ ïëþñîì). Òåîðåòè÷åñêàÿ êðèâàÿ (çåë¼íûå ñ êðåñòîì) íàëåâîé êàðòèíêå (2.1.18). Çàâèñèìîñòü ïî R èçîáðàæåíà äëÿ ðàçíûõ ãëóáèí zj è áëèçêà ê const/R2 (çåë¼íàÿëèíèÿ ñ êðåñòîì) â ñëó÷àÿõ óñðåäíåíèÿ ïî ïîâåðõíîñòè.δ zj, Gauss averageδ zj, Surface average−15x 10076−16x 107−5.5−5.66−2−5.755−4−5.84−63−5.9zj/wzj/w43−82−6−6.12−6.21−101−6.300.511.5rj/w22.500.511.5rj/w22.5Ðèñ. 2.7: Óñðåäí¼ííîå ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè ïî îñè z ïðîèçâåä¼ííîå ïóçûðüêîì â çàâèñèìîñòè îò åãî ðàññòîÿíèÿ îò îñè öèëèíäðà rj è ãëóáèíû zj ïðè óñðåäíåíèè ïî ãàóññîâîìó ïÿòíó (ñëåâà) è ïî ïîâåðõíîñòè çåðêàëà(ñïðàâà).56÷àå(2.1.12).

Âíå ñôåðû ðåøåíèå áëèçêî ê ïîñòîÿííîìó ñôåðè÷åñêîìó ïîëþ. Óñðåäí¼ííàÿ ðåàêöèÿ íà îäèí ïóçûð¼ê â ñëó÷àå óñðåäíåíèÿ ïî ïëîùàäè çåðêàëà îêàçàëàñü ïðàêòè÷åñêè íåçàâèñèìîé îò ãëóáèíû ïóçûðüêà íà îñè öèëèíäðà è ìåíÿåòñÿ ìåíåå ÷åì íà 0.8% ïðè ñìåùåíèèîò îñè.Óñðåäí¼ííàÿ ðåàêöèÿ íà îäèí ïóçûð¼ê â ñëó÷àå óñðåäíåíèÿ ïî ãàóññîâîìó ïÿòíó ñîâïàäàåò ñ òåîðèåé (2.1.18) äî ãëóáèíû 2.5w, è ïðèáëèæàåòñÿ ê âåëè÷èíå ðåàêöèè ïðè óñðåäíåíèèïî ïëîùàäè íà ãëóáèíå 3.6w (ñì.

ðèñ. 2.6 ñëåâà). Ýòîò ðåçóëüòàò ëåãêî ïîíÿòü, ïðèíèìàÿ âîâíèìàíèå òî, ÷òî ïðè ìîäåëèðîâàíèè ðàäèóñ öèëèíäðà áûë ïðèíÿò R = 3w. Èäåÿ ñîñòîèò âòîì, ÷òî ïóçûð¼ê ÷óâñòâóåò“ òîëüêî áëèæàéøóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà (òó, êîòîðóþ êàñà”åòñÿ ðàññìîòðåííàÿ ñôåðà). Íà ãëóáèíàõ, ìåíüøèõ R (â ðàéîíå îñè öèëèíäðà) îïðåäåëÿþùåéáóäåò ïåðåäíÿÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà, äåëàÿ çàäà÷ó áëèçêîé ê ïîëóïðîñòðàíñòâó è äåìîíñòðèðóÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ çàâèñèìîñòü îò ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòû ïðè ãàóññîâîì óñðåäíåíèèè ïîñòîÿíñòâî ïðè ïîâåðõíîñòíîì (ñì.

ðèñ. 2.7). Íà áîëüøåé ãëóáèíå îïðåäåëÿþùåé ñòàíîâèòñÿ óæå áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà. Ðàññòîÿíèå äî íå¼ ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííî âáëèçèîñè, ÷òî ïðèâîäèò ê ðåçóëüòàòó, íå çàâèñèìîìó îò ãëóáèíû â îáîèõ ñëó÷àÿõ óñðåäíåíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðàñ÷¼òå øóìà áóäåì èñïîëüçîâàòü (2.1.18) äî çíà÷åíèÿ ãëóáèíûïóçûðüêà z = R, à äàëåå ýêñòðàïîëèðóåì ïîñòîÿííîé. Ïðè ýòîì, ñóäÿ ïî ðåçóëüòàòàì ìîäåëèðîâàíèÿ, ïîãðåøíîñòü äîëæíà ñîñòàâèòü íå áîëåå 13%. Äëÿ îöåíêè ÷àñòîòû ñîáûòèéíåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿ ïðèáëèæåíèåì ïîñòîÿííîãî îòêëèêà.

Ýòîò îòêëèê ïðèìåì ðàâíûìδzj (0, 0, R) îòêëèêó â ñëó÷àå ïîëóïðîñòðàíñòâà ñ ãàóññîâûì ïÿòíîì íà ãëóáèíå ðàâíîé ðàäèóñó.  ýòîì ñëó÷àå ðàñ÷¼ò ïî ôîðìóëå (2.1.18) ìîæåò áûòü ïðîâåä¼í àíàëèòè÷åñêè:Va ξ 1I (z/w)2 002πw√2I00 (x) = 1 − πx (1 − erf(x)) ex .δzj (0, 0, z) =(2.1.22)Ïðè ýòîì äîëæåí áûòü âçÿò ïðåäåë ìàëîãî w ÷òîáû óáðàòü èç âûðàæåíèé ðàäèóñ ãàóññîâîãîïÿòíà. Òîãäà ðàâåíñòâî âåëè÷èíû îòêëèêà íà ãëóáèíå R îòêëèêó â ñëó÷àå óñðåäíåíèÿ ïîïëîùàäè áóäåò ëó÷øå ñîáëþäàòüñÿ, è ìû ïîëó÷èì δzj (0, 0, R) ∝ R−2 , ÷òî ïîêàçàíî çåë¼íîéëèíèåé íà ðèñóíêå 2.6 (ñïðàâà). Äëÿ ïëîòíîñòè ÷àñòîòû ñîáûòèé ïîëó÷èìλ=˙ 2hδzi2Re2Le Va ξ Re2 − we2(2.1.23)Ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ðàäèóñ ïóçûðüêà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ èç ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé: ýíåðãèÿ ñâÿçè (2.1.4), âûäåëÿþùàÿñÿ â ïðîöåññå êðèñòàëëèçàöèè äîëæíà áûòü ðàâíàóïðóãîé ýíåðãèè, çàïàñ¼ííîé â äåôîðìàöèè.

Îäíàêî, ââèäó óïîìÿíóòîé â ïðåäûäóùåì ïóíêòå íåîïðåäåë¼ííîñòè ýòîé âåëè÷èíû (ñì òàá. 2.1), ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî âåëè÷èíà ïîðÿäêà57ðàçìåðà àòîìà êâàðöà a ≈√ 3MSiO3 4πρc NA2 = 0.22 íì, ãäå MSiO2 = 60 ã/ìîëü ìîëÿðíàÿ ìàññà, NA ÷èñëî Àâîãàäðî.Òåïåðü èñïîëüçóÿ (2.1.23) ìîæíî îöåíèòü èíòåíñèâíîñòü ïðîöåññà.  [34] èçìåðåíî ˙zz =−5.8e−15 â ñåêóíäó.  ñîîòâåòñòâèè ñ èíôîðìàöèåé îá óñòàíîâêå, Re ≈ 0.5 ñì, ÷òî ïîçâîëÿåòðàññ÷èòàòü λ ≈ 1.54×1016 ñîáûòèé â ñåêóíäó â êóáè÷åñêîì ìåòðå.  ðåçóëüòàòå ñïåêòðàëüíàÿïëîòíîñòü øóìà ðàññòåêëîâàíèÿ íà ÷àñòîòå 100 Ãö ïðè R = L = 20 ñì è w = 6 ñì ðàâíàsp˙zz ξVa Le IS (R/w, L/w)Sδz =wω 2 we Il (Re /we , Le /we )= 6.31 × 10−25 m/Hz1/2 ,(2.1.24)÷òî â 8000 ðàç ìåíüøå ðàññìîòðåííûõ â ïåðâîé ãëàâå Áðîóíîâñêèõ øóìîâ â ïîêðûòèÿõ èïîäëîæêè çåðêàë LIGO [A4][19]. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ âûáðàííûõ ïàðàìåòðîâ çåðêàë LIGO ìûîñòà¼ìñÿ â ðàìêàõ ïðèáëèæåíèÿ ïîëóïðîñòðàíñòâà è íàì íå íóæíî èñïîëüçîâàòü ðàñøèðåíèåíà z > R.2.1.3.Øóì ðàññòåêëîâàíèÿ â ïîäâåñàõ çåðêàëÎöåíêà äðóãîãî øóìà, îñíîâàííîãî íà äèñêðåòíûõ ñîáûòèÿõ áûëà íåäàâíî ïðîâåäåíàÞ.

Ëåâèíûì [35]. Îí ðàññìîòðåë ñïîíòàííûå ñîáûòèÿ ðåëàêñàöèè íàïðÿæåíèÿ (ñîáûòèÿïîëçó÷åñòè) â íèòÿõ ïîäâåñîâ. Îäíàêî, îí òàê æå èñïûòàë íåõâàòêó äàííûõ î ïëîòíîñòè÷àñòîòû ñîáûòèé è îáú¼ìà ñîáûòèÿ, ÷òî íå ïîçâîëèëî åìó ïîëó÷èòü àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé øóìà. Ìîæíî ñïîðèòü î ïðîèñõîæäåíèè è íàïðàâëåíèè äåéñòâèÿñîáûòèé ïîëçó÷åñòè, îäíàêî ëîêàëüíîå ïåðåðàñïðåäåëåíèå ñâÿçåé, ñîîòâåòñòâóþùåå ðàññòåêëîâàíèþ, äîëæíî ïðèâîäèòü ê ñõîæèì ïîñëåäñòâèÿì. Ïðè ýòîì ôîðìàëèçì ðàçðàáîòàííûéâ [35] äîëæåí ñîõðàíèòüñÿ, è ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ôîðìóëû (49) è (52) èç åãî ðàáîòû äëÿîöåíêè øóìà ðàññòåêëîâàíèÿ â ïîäâåñàõ.

Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ôîðìàëüíî çàìåíèòü RhV 2 i(â îáîçíà÷åíèÿ Ëåâèíà) íà N Vs λVa2 (â îáîçíà÷åíèÿõ äàííîé ðàáîòû), ãäå Vs = πrs ls îáú¼ìíèòè ïîäâåñà è N ÷èñëî íèòåé â ïîäâåñàõ. Òðè øóìà ðàññòåêëîâàíèÿ âìåñòå ñ ó÷ò¼ííûìè âLIGO øóìàìè â ñîîòâåòñòâèè ñ Êàëüêóëÿòîðîì Øóìîâ Ãðàâèòàöèîííîãî Èíòåðôåðîìåòðà(GWINC) [38] ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 2.8.Òàêèå ïðîñòûå îöåíêè øóìîâ â ïîäâåñàõ íå ó÷èòûâàþò ñëîæíóþ ìíîãîóðîâíåâóþ ñèñòåìó ïîäâåñîâ â LIGO. Áîëåå òîãî ïàðàìåòð ñêîðîñòè ïðîöåññà â íàãðóæåííîì ñëó÷àå (ìàññûçåðêàë íå ìàëûå îêîëî 40 êã) ìîæåò áûòü ìåíüøå, òàê êàê ðàñòÿæåíèå, âûçâàííîå ìàññèâíûìè çåðêàëàìè, ïðîòèâîñòîèò êðèñòàëëèçàöèè, òðåáóþùåé ñæàòèÿ.