Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента

Московский государственный университет имени М.В. ЛомоносоваМеханико-математический факультетна правах рукописиУДК 517.938.5+514.762Коняев Андрей ЮрьевичАлгебраические и геометрическиесвойства систем, получаемыхметодом сдвига аргумента01.01.04 — геометрия и топологиядиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучные руководители:Академик А.Т. Фоменко,профессор А.В. БолсиновМосква — 2010Содержание1 Введение32 Предварительные сведения и обозначения2.1 Принятые обозначения и определения . .

. . . . . . . . . .2.2 Теорема Жордана-Кронеккера и некоторые ее следствия .2.3 Полные коммутативные наборы и критерий Болсинова . . .2.4 Представления минимальной размерности и системы корнейнекоторых простых алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . .13131519203 Бигамильтоновы цепочки и обобщенный метод сдвига аргумента 253.1 Бигамильтоновы векторные поля .

. . . . . . . . . . . . . . 253.2 Бигамильтоновы цепочки. Их свойства и теорема существования 273.3 Обобщенный метод сдвига аргумента. Псевдомногочлены . 323.4 Обобщенный метод сдвига аргумента и плоские пучки накоалгебрах Ли . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 374 Секционные операторы394.1 Определение, теорема существования и явная формула длясекционных операторов. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Алгоритм определения секционности оператора . . . . . . . 464.3 Секционные операторы и метод сдвига аргумента. ТеоремаМещерякова в общем случае . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 484.4 Секционные операторы на коалгебрах фробениусовых алгебрЛи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5 Параметры секционного оператора. Однозначность их восстановленияв простом случае .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 Бифуркационная диаграмма и отображение момента длянекоторых простых комплексных алгебр Ли615.1 Функции, полученные методом сдвига аргумента, как функциина g ⊕ g . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Некоторые свойства сингулярных элементов простых комплексныхалгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Бифуркационная диаграмма и дискриминант спектральнойкривой на простой алгебре g . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7015.45.55.6Метод сдвига аргумента для субрегулярных полупростыхэлементов простой алгебры Ли. Центры централизаторовэлементов такой алгебры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Бифуркационная диаграмма Σ и дискриминант спектральнойкривой D для представления минимальной размерностиалгебр sl(n + 1), so(2n + 1), sp(2n) и g2 . . . . . .

. . . . . . 87Спектральная кривая so(2n) в представлении минимальнойразмерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9321ВведениеПервоначально метод сдвига аргумента (в русскоязычной литературевстречается также термин "метод сдвига инвариантов", а в англоязычнойупотребляется сразу два перевода — argument shift method и argumenttranslation method) возник в работе С.В. Манакова [16] для интегрированияуравнения Эйлера, описывающего многомерный аналог твердого тела наалгебре Ли so(n). Позже в работах А.С. Мищенко и А.Т.Фоменко [18], [19]этот метод был обобщен на случай комплексных редуктивных алгебр Лии их вещественных форм.

В.В.Трофимов и А.Т.Фоменко [23] показали,что этот метод может использоваться для интегрирования геодезическихпотоков определенного класса на симметрических пространствах.Суть классического метода сдвига аргумента состоит в следующем.Рассмотрим простую алгебру Ли g(комплексную или вещественную).Отождествим алгебру с коалгеброй, то есть с пространством линейныхфункционалов на алгебре g∗ , при помощи формы Киллинга, которая вданном случае невырождена. В результате этого на полиномиальныхфункциях из C ∞ (g) можно рассмотреть структуру алгебры Пуассона,задаваемую скобкой {f, g} = −(x, [grad f, grad g]), где круглые скобкиобозначают скалярное умножение в смысле формы Киллинга, а градиентыберутся также в смысле этой формы.

Центром этой алгебры являетсякольцо инвариантов присоединенного представления, которое в случаепростой алгебры представляет собой свободно порожденное кольцо, степеньтрансцендентности которого совпадает с рангом и, следовательно, индексомg.Пусть I1 , ..., In — полиномиальные порождающие этого кольца, степеникоторых равны d1 , ..., dn соответственно.

Рассмотрим следующее разложениеIi (x + λa) =diXfij λj .j=0В работе [18] показано, что fij коммутируют между собой. Рассмотрималгебру, положенную этими полиномами (в данном случае, как и в дальнейшем,термин "алгебра"мы будем применять для коммутативной структуры накольце полиномов от элементов g), которую мы обозначим через Fac . Этаалгебра может рассматриваться как алгебра полиномиальных интеграловнекоторой гамильтоновой относительно фиксированной выше скобки Пуассонасистемы, где в качестве гамильтониана H взята функция из этой алгебры.3В дальнейшем при изучении алгебраических свойств полученных функциймы вообще не будем упоминать интегрируемые системы, а сразу рассматриватькоммутативные алгебры полиномов. Заметим, что определение даннойалгебры канонично, то есть не зависит от выбора порождающих в кольцеинвариантов, а зависит только от элемента a.

В работе [12] этим подалгебрамбыло дано название подалгебры Мищенко-Фоменко.Данные подалгебры представляют значительный интерес как для геометров,так и для алгебраистов. Например, Э.Б.Винбергу удалось показать [12],что для случая регулярного полупростого a ∈ g квадратичные функциииз этой алгебры можно поднять в универсальную обертывающую алгебру.В свою очередь Л.Г.Рыбникову[21] удалось сделать это уже для всейалгебры. Кроме этого Тарасову А.А.

[39] удалось показать, что в случаерегулярных полупростых a получаемая подалгебра является максимальнойпо включению. Позже этот результат был обобщен в работе [40].Помимо изучения полученных наборов велась интенсивная деятельностьпо обобщению метода сдвига аргумента.

Первым это сделал А.В.Браилов,предложивший следующую схему, которую мы в дальнейшем будем называтьлокальным методом сдвига аргумента (существует еще одно обобщение,которое позволяет получать так называемые предельные подалгебры МищенкоФоменко, [37], однако в данной работе оно обсуждаться не будет). Рассмотримa — регулярный элемент коалгебры. В окрестности a определены функцииКазимира, совместные поверхности уровня которых - пересечения симплектическихслоев слоения на g∗ с окрестностью (из линейности тензора Пуассонаполучаем, что слои задаются рациональными формами, а, значит, в вещественномслучае полученные функции всегда можно выбрать в виде суммы рациональнойи логарифма от рациональной).Обозначим эти функции через I1 , ..., In . Если применять к ним обычныйметод сдвига аргумента, то, во-первых, получаются не полиномы, а вовторых, данные функции определены локально.

Оказывается, ситуациюможно исправить, в некотором смысле поменяв a и x местами. Рассмотримследующее разложениеXIi (a + λx) =fij λj .jВ отличие от классического метода сдвига аргумента, данный ряд можетбыть бесконечен. При этом, однако, как и в случае с классическим методом,функции fij коммутируют. Главный недостаток этого метода — существенная4зависимость получаемой подалгебры, которую мы будем обозначать Falocот выбора локальных функций Казимира.Развитие этого направления деятельности привело к возникновениюформального метода сдвига аргумента, предложенного К.М.Зуевым иА.В.Болсиновым [10], в основе которого одно замечательное свойствофункций, полученных методом сдвига аргумента, которое было обнаруженоА.С.Мищенко и А.Т.Фоменко в работе [18].

Речь идет о том факте, чтофункции fij образуют бигамильтоновы цепочки (также встречаются терминыцепочка Ленарда и бигамильтонова иерархия), открытые Магри и Ленардомдля уравнения уравнения Кортвега-де Фриза (подробнее, см., например,[30]). Рассмотрим пару согласованных тензоров Пуассона на коалгебреg∗ - соответствующий линейной скобке линейный тензор A и тензорAa , получаемый из первого замораживанием аргумента. В этом случае,функции, полученные локальным методом сдвига аргумента удовлетворяютследующей системе рекуррентных соотношений:Aa dfi1 = 0,Adfij = Aa dfij+1 , j ≥ 1В рамках формального метода сдвига аргумента для регулярного a предлагаетсядействовать следующим образом.

На первом этапе берутся линейныефункции, то есть элементы fi1 ∈ Ann a. На втором этапе из уравненияAdfi1 = Aa dfi2 находятся fi2 (разрешимость этой системы в замкнутыхформах следует из общей теории). На каждом следующем этапе будутполучаться функции, степень которых на единицу больше степеней функций,полученных на предыдущем этапе. К преимуществам данной схемы относитсятот факт, что для построения коммутативной подалгебры нам не нужнознать локальные инварианты.В рамках данной работы развивается подход, заложенный в [10], иметод сдвига аргумента рассматривается как метод построения бигамильтоновыхцепочек.

То есть, фактически, изучается строение таких цепочек в случае,когда мы имеем дело с простейшим бигамильтоновым многообразием,а именно - у нас имеется действительное линейное пространство, накотором задана пара согласованных скобок, одна из которых линейна, адругая — постоянна (более простым будет только случая пары постоянныхскобок на линейном пространстве, однако не о какой геометрии речь вэтом случае не идет).Данный подход обладает несколькими существенными плюсами. Вопервых, он позволяет сформулировать единообразный подход к разнообразным5результатам, касающимся различных вариантов метода сдвига аргумента.Во-вторых, он позволяет четко определить природу тех или иных свойствполучаемых наборов.

И, в-третьих, он позволяет при необходимости обобщатьте или иные результаты, например, на случай алгебр Ли над полемхарактеристики ноль. Именно развитию данного подхода посвящена перваячасть работы.В первой части работы доказан важный технический результат - теоремасуществования бигамильтоновых цепочек, - причем в самом общем случае:речь идет о произвольном многообразии M и паре согласованных скобокA1 , A2 . Определим кораспределение B как пересечение кораспределений,задаваемых ядрами регулярных скобок пучка λA1 + µA2 и ядра A1 .Теорема 1.1 Пусть P ∈ M — регулярная точка для A1 и в окрестностиэтой точки определены функции Казимира, дифференциалы которыхнезависимы и порождают кораспределение KerA1 .