Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента, страница 9

как и в предыдущем примере,совпадает с центром аннулятора. Пример 3. Пусть g — четырехмерная алгебра Ли A4,7 (обозначениевзято из [28], см. также [29]), задаваемая в базисе e1 , e2 , e3 , e4 следующимикоммутационными соотношениями:[e2 , e3 ] = e1 , [e1 , e4 ] = 2e1 ,[e2 , e4 ] = e2 , [e3 , e4 ] = e2 + e3 .Остальные коммутаторы считаются равными нулю.Рассмотрим элемент a ∈ g∗ , задаваемый в двойственном базисе {ei }координатами a = (0, 0, 1, 0), т.е. a = e3 . Легко видеть, что коммутантg0 = [g, g] натянут на e1 , e2 , e3 и является максимальнымизотропнымkподпространством относительно 2-формы Aa = cij ak , т.е.

ba = g0 . Всвою очередь Ann a — это коммутативная подалгебра, натянутая на e1 , e2и являющаяся максимальной. Поэтому gAnn a = Ann a = ga . Пример 4. Пусть теперь g — четырехмерная алгебра Ли A4,9 (обозначениеиз [28], [29]), задаваемая в базисе e1 , e2 , e3 , e4 следующими коммутационнымисоотношениями:[e2 , e3 ] = e1 , [e1 , e4 ] = e1 ,[e2 , e4 ] = e2 .Остальные коммутаторы равными нулю.Положим a = (1, 0, 0, 0) в двойственном базисе, т.е. a = e1 . Коммутантв данном случае натянут на e1 , e2 и снова являетсямаксимальным изотропнымподпространством для формы Aa = ckij ak . Поэтому ba = g0 . ПосколькуAnn a состоит в данном случае только из нуля, то gAnn a = g и ga совпадаетс ba . В работе А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко [18] для классического секционногооператора с параметрами a, b, задаваемого тождеством 10 на простойкомплексной алгебре g, была получена удобная явная формула в терминахестественного ортогонального разложения g = h ⊕ h⊥ алгебры Ли g впрямую сумму подпространств:φ(x) = φa,b,D x = ad−1a adb x1 + Dx2 ,(16)где x = x1 + x2 , x1 ∈ h, x2 ∈ h⊥ , ad−1: h⊥ → h⊥ ,и D : h → h —aпроизвольный самосопряженный оператор.

Пространство h⊥ в данном43случае состоит из всех корневых векторов. Аналогичную теорему можнополучить и для общего случая.Зафиксируем дополнительное к Ta пространство и обозначим его черезN . Выбор пространства, разумеется, не является однозначным (в классическомслучае N = h и совпадает с ортогональным дополнением к Ta , котороенатянуто на корневые вектора всех корней). Получаем разложение g∗ =Ta ⊕N .

В алгебре Ли g автоматически возникает двойственное разложениеg = N ⊥ ⊕Ann a. В данном случае обозначение V ⊥ означает подпространстволинейных функционалов, обнуляющихся на V . Легко видеть, что в конечномерномслучае N ⊥⊥ = N .Теорема 4.2 Пусть x = x1 + x2 ∈ g∗ — разложение произвольногоэлемента x, такое что x1 ∈ Ta , x2 ∈ N . Тогда∗−1φ(x) = −adβ A−1a x1 + Aa adβ x2 + Dxгде D — произвольный самосопряженный оператор, образ которого содержитсяв Ann (a).Доказательство. Рассмотрим сначала матричную интерпретацию издоказательства предыдущей теоремы.

Так, симметричная матрица, полученнаяиз (15) восстановлением недостающих компонент, выглядит так: 0 0A1 00 A>A 1 A>22+(17)=+0 00 A3A 2 A3A2 0где A3 — произвольная симметричная матрица.Форма Aa может рассматриваться как линейный оператор из g → Ta ,действующая по формуле Aa (ξ) = ad∗ξ a.

Поскольку его ядро оператора вточности совпадает с Ann (a), то корректно определено обратное отображение⊥A−1a : Ta O(a) → N .В этих обозначения та часть секционного оператора, которая жесткоопределена тождеством (13), записывается в виде −adβ A−1a π, где π :∗g → Ta — естественная проекция на Ta вдоль N . При этом, однако,полученный оператор не является симметричным.∗−1Лемма 4.2 Оператор, сопряженный к −adβ A−1a π, имеет вид Aa adβ .44Доказательство. Условие β ∈ Ann a гарантирует, что ad∗β y ∈ Ta для∗любого y ∈ g∗ , поэтому выражение A−1a adβ имеет смысл.∗−1Если мы теперь положим A−1a (πx) = ξ и Aa adβ y = η, то получим∗∗h−adβ A−1a πx, yi = h−adβ ξ, yi = hξ, adβ yi = hξ, adη ai =∗∗−1− hη, ad∗ξ ai = hπx, A−1a adβ yi = hx, Aa adβ yi∗∗−1т.е. (−adβ A−1a π) = Aa adβ .

Вторая матрица в правой части (17) тем самым означает оператор∗A−1a adβ , который применяется лишь к элементам из N , а на Ta обращаетсяв нуль. Теорема доказана. Отметим, что ядро D автоматически совпадает с Ta , так что Dx =Dx2 . В частности, D можно записать как D = D̃ ◦ pr, где D̃ : (Ann a)∗ →Ann a — произвольный самосопряженный оператор, а pr : g∗ → Ann ∗ a— естественная проекция. Другими словами, секционный оператор φ сзаданными параметрами a и β определен с точностью до произвольногосамосопряженного оператора D̃ : (Ann a)∗ → Ann a. Этот факт, впрочем,сразу следует из определения.Замечание 4.1 Если ввести обозначения B = −adβ A−1: Ta → g иa∗−1∗⊥∗C = Aa adβ : g → N и учесть, что (Bπ) = C, то формулу для φможно переписать еще и так:(a) φ = Bπ + C(id − π) + D,(b) φ = C + (id − π ∗ )Bπ + D,(c) φ = Bπ + (Bπ)∗ − π ∗ Bπ + D,(d) φ = C + C ∗ − π ∗ C + D.С формулой Мищенко-Фоменко (16) наиболее близка формула (b):члены C и D — совпадают по виду с двумя членами из формулы МищенкоФоменко, но возникает дополнительный член, который необходим длятого, чтобы оператор стал симметричным.Приведем несколько примеров применения полученных формул длясекционного оператора.Пример 5.

Рассмотрим простую комплексную алгебру Ли g (считаем,как обычно, что алгебра и коалгебра отождествлены при помощи формыКиллинга). Опишем действие секционного оператора в базисе Вейля,когда параметр a ∈ h.По теореме 4.1 параметр b в этом случае принадлежит центру ga , тоесть ga ∩ h. По построению пространство Ta из теоремы 4.2 совпадает45с [g, a] и натянуто на корневые вектора eα , для которых α(a) 6= 0. Вкачестве трансверсального пространства N мы выберем ga .α(b)eα для α(a) 6= 0 и D : ga → ga .

ВТаким образом по 4.2 φeα = α(a)частности секционный оператор полупростой по модулю D.Пример 6. Рассмотрим алгебру Ли gl(n) (не важно над C или над R).Считаем, что алгебра и коалгебра отождествлены при помощи скалярногопроизведения (X, Y ) = tr XY . Рассмотрим произвольный полином p снулевым свободным членом. Определим оператор φ : gl(n) → gl(n)следующей формулой:∂|t=0 P (A + tX) = φX∂tДифференцируя тождество [A + tX, P (A + tX)] = 0 по t, получаем, что φ— секционный оператор с параметрами A, P (A). А.В. Болсинов показал,что данные операторы полезны при изучении метрик с совпадающимисвязностями Γkij .4.2Алгоритм определения секционности оператораВ практических задачах возникает естественный вопрос: является ликонкретный оператор φ секционным? Например, именно такой вопросвозникает, если мы хотим выяснить, существует ли для заданной римановойметрики g проективно эквивалентная ей метрика g 0 , то есть метрика стеми же самыми геодезическими как непараметризованными кривыми.Необходимое условие состоит в том, что тензор кривизны метрики gявляется секционным оператором в смысле исходного тождества (10) дляалгебры so(n) (см.

[9]). Важным также бывает знать, сколько различныхсекционных представлений имеет данный оператор φ, т. е. сколько существуетпар a, β, удовлетворяющих тождеству (13)? Все эти вопросы сводятся кнесложной задаче из линейной алгебры.Пусть задан некоторый оператор φ : g∗ → g, про который нужновыяснить, секционный он или нет. Что касается β, то ясно, что он всегдаопределен по модулю центра алгебры и мы не будем им далее интересоваться.Выделим два основных случая: случай тривиального представления ислучай нетривиального представления.Случай тривиального секционного представления.

Будем говорить,что оператор φ имеет тривиальное секционное представление с параметрамиa, β, если он удовлетворяет тождеству (13), т. е. φAa = −adβ , обе части46которого тривиальны, т.е. φAa = 0 и −adβ = 0. В обозначениях Теоремы4.2 это означает, что оператор φ состоит лишь из тривиальной части D.Понять, может ли заданный оператор иметь тривиальное секционноепредставление, довольно просто. Нужно рассмотреть отображение a 7→φAa как линейный оператор g∗ → g⊗g∗ . Оператор φ допускает тривиальноесекционное представление тогда и только тогда, когда ядро этого отображениянетривиально, причем размерность ядра указывает на число независимыхтривиализующих параметров a ∈ g∗ .Нетривиальность ядра означает, что образ φ как подпространство в gсодержится в аннуляторе какого-то элемента a (здесь удобнее использоватьтождество (11)).

Это заведомо так вообще для любого φ, если коммутантg0 = [g, g] строго меньше самой алгебры Ли g. В этом случае достаточновзять a ∈ (g0 )⊥ , поскольку: Ann a = g, или что то же самое Aa = 0.Случай нетривиального секционного представления. Чтобывыяснить вопрос о нетривиальных секционных представлениях, рассмотримобраз отображения a 7→ φAa как подпространство P1 ⊂ g⊗g∗ . Аналогичнымобразом, если β пробегает алгебру Ли g, то все операторы вида −adβ всовокупности образуют подпространство P2 ⊂ g ⊗ g∗ .

Заметим. что P2 —это в точности присоединенная алгебра Ли.Таким образом, для выяснения, является ли оператор секционным,можно использовать следующее предложение.Утверждение 4.1 1) Оператор φ допускает тривиальное секционноепредставление тогда и только тогда, когда dim P1 ≤ dim g. Размерностьпространства тривиализующих параметров a ∈ g равна dim g − dim P1 .2) Оператор φ допускает нетривиальное секционное представлениетогда и только тогда, когда P1 ∩P2 6= {0}.

Размерность этого пересеченияуказывает на число независимых нетривиальных секционных представлениядля φ (по модулю тривиальных).Замечание 4.2 Отметим, что практическая реализация данного алгоритма,например для ЭВМ, не представляет существенных трудностей, так каквсе шаги сводятся к вычислению рангов матриц. Отметим, правда, чторазмерности при этом могут быть достаточно большими - приходитсяоперировать подпространствами пространства размерности (dim g)2 .474.3Секционные операторы и метод сдвига аргумента.Теорема Мещерякова в общем случаеС каждым секционным оператором можно связать квадратичный гамильтониан,задаваемый формулой f (x) = 12 hφx, xi.

Соответствующая гамильтоновасистема на g∗ принимает вид:ẋ = Adf = ad∗φx x(18)Отметим, что у данной системы есть как минимум один линейный интеграл.Утверждение 4.2 Пусть φ — секционный оператор с параметрамиa, β. Тогда линейная функция β(x) = hβ, xi является интегралом гамильтоновойсистемы (18).Доказательство. Так как φ — секционный, то, используя (12), получаемследующую систему равенств:{β(x), f (x)} = hx, [β, φx]i = ha, [φx, φx]i = 0.Таким образом, предложение доказанo. В классическом случае уравнение Эйлера на коалгебре, задаваемоеквадратичным гамильтонианом f интегрировалось при помощи методасдвига аргумента. В общем случае соотношения между функциями, полученнымиобобщенным методом сдвига аргумента и соответствующими уравненияминесколько сложнее.Теорема 4.3 Произвольный однородный квадратичный полином f изFa (разумеется, если таковой имеется) задается секционным оператором,то есть представляется в виде f = 21 < x, φx >, где φ — секционныйоператор с некоторыми параметрами a, β.Доказательство.

Отметим сначала, что всякая однородная квадратичнаяфункция представляется в виде < x, φx > для некоторой симметричнойбилинейной формы φ.Предположим сначала, что f является одной из порождающих алгебры.Из замечания 3.2 вытекает, что однородная квадратичная функция можетбыть только первым или вторым членом. В первом случае подобнаяфункция коммутирует со всем Ann a, поэтому является квадратичныминвариантом, поэтому φ имеет тривиальное секционное представление48(см. раздел 4.2). Во втором случае, по построению получаем, что Aa df =Adg, где g — линейная функция, то есть φ — секционный оператор спараметрами a, g.Пусть теперь f — произвольная однородная квадратичная функция.Тогда она представляется как сумма линейной комбинации порождающихквадратичных функций с постоянными коэффициентами и квадратичногомногочлена от линейных функций.