Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 102

Такиевозмущения существуют у любого атома сложности ≥ 3 (см. определение 2.5.1), минимальный род такого атома равен 0. Оказалось, что для любых сложных возмущений имеет место относительно–продолжимый Λ–инвариант. То есть оказалось, что среди всехГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ298C 0 –инвариантов Болсинова-Фоменко невырожденных гамильтоновых систем выделяется Λ–инвариант, оказывающийся относительно–продолжимым по отношению к таким возмущениям. То есть малое сложное возмущение системы мало меняет значение этого инварианта.2) Второй тип возмущений, обладающий относительно–продолжимым инвариантом, — этотак называемые бициклические возмущения ve системы v на любом бициклическом атоме (см.ниже). Минимальный род такого атома равен 1, а минимальная сложность 2.

Оказалось, чтоздесь обнаруживается относительно–продолжимый m–инвариант, а именно инвариант B =B(v) (см. §4.3.3), являющийся гладкой функцией от m–инварианта. В некоторых случаях онявляется инвариантом C 0 –сопряженности, а в некоторых — лишь инвариантом C 1 –сопряженности (см. вопрос (Q4’) из §4.3.3 и его решение для некоторых атомов в следствии 4.3.30). Какe v ) = Π1 (eмы покажем, при малом возмущении он “преобразуется” в инвариант B(ev ) − Π2 (ev ),являющийся гладкой функцией в соответствующем открытом страте Максвелла (состоящемиз бициклических возмущений систем на данном атоме).Перейдем к более подробному описанию этих двух типов относительно–продолжимыхинвариантов.4.5.1Относительно–продолжимый Λ–инвариант C 0 –сопряженностисистем на сложном атоме для сложных возмущенийПусть (P, K)# — седловой атом (см.

определение 2.4.3). Пусть даны (“невозмущенная”) система v = (ω, F ) ∈ H(P, K) и достаточно близкая к ней (см. §4.1.3, (4.12) и (4.13)) (“возмущенная”) система ve = (eω , Fe) ∈ H(P ). Рассмотрим граф Кронрода-Риба W num возмущеннойфункции Fe, т.е. граф возмущения (см. определение 2.5.1). Предположим, что возмущениенетривиально (см. (4.17)).Если граф возмущения W num не является простым, т.е. является сложным (см.

определение 2.5.1), то возмущение отнесём к возмущениям первого типа.Рассмотрим любой класс возмущений первого типа, т.е. сложных возмущений вида (4.17)систем на данном атоме, см. определение 2.5.1. В графе сложного возмущения обязательноесть хотя бы одна вершина X веса k ≥ 2.

Пусть этой вершине приписан набор из k номеровj1 , . . . , jk ∈ {1, . . . , n}, где n есть сложность исходного атома (P, K)# . Согласно предложению4.3.2, в этой вершине графа возмущения W num появляется нетривиальный Λ–инвариант C 0 –сопряженности (т.е. Λ–метка):RΛX (ev ) := (Λj1 (ev ) : · · · : Λjk (ev )).По утверждению 4.2.12 (а) “возмущенная” Λ–метка RΛX (ev ) близка к своему “невозмущенному” значениюRΛX (v) := (Λj1 (v) : · · · : Λjk (v)).Заметим, что “невозмущенное” значение RΛX (v) является “частью” Λ–инварианта RΛ(v) =(Λ1 (v) : · · · : Λn (v)) C 0 –сопряженности систем на исходном атоме (P, K)# . Следовательно,эта “часть” Λ–инварианта является относительно–продолжимым инвариантом по отношению к рассматриваемому классу сложных возмущений (4.17).

То есть получаем следующуютеорему.Теорема 4.5.1 ([145, теорема 1.5]). Пусть возмущение вида (4.17) является сложным,т.е. имеет первый тип. Тогда C 0 –инвариант RΛX (v) = (Λj1 (v) : · · · : Λjk (v)) являетсяотносительно–продолжимым по отношению к возмущениям (4.17). При этом возмущенный инвариант RΛX (ev ) является C 0 –инвариантом, и его значение близко к невозмущенному значению RΛX (v), если возмущение достаточно мало: RΛX (ev ) → RΛX (v) при v → ve.Итак, для возмущений первого типа (т.е.

не являющихся простыми) относительно–продолжимые инварианты существуют на любом атоме — это “части” Λ–инварианта, см. теоремуГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ2994.5.1. Они являются функциями от (являющегося C 0 –инвариантом) Λ–инварианта RΛ(v), имы их будем называть относительно–продолжимыми Λ–инвариантами для сложных возмущений.Следствие 4.5.2. Пусть функции Морса F с ровно одним критическим значением на поверхности P отвечает сложный атом (сложности n ≥ 2). Пусть пара гамильтоновыхсистем v1 и v2 из пространства H(F ) на этом атоме удовлетворяет следующему условию: значения функционала Λj1 (v) : Λj2 (v) на этих системах не совпадают для любой пары1 ≤ j1 < j2 ≤ n. Тогда системы v1 и v2 относительно-устойчиво C 0 –несопряжены (определение 4.1.21) по отношению к любым сложным возмущениям (например, тривиальным),т.е.

они изначально не были C 0 –сопряжены и остаются C 0 –несопряженными (в любыхинвариантных связных окрестностях своих множеств особых точек) при любых малыхвозмущениях, являющихся сложными.В частности, по отношению к любым малым возмущениям, являющимся сложными,пары (v1 , v2 ) ∈ H(F ) × H(F ) относительно-устойчиво C 0 –несопряженных гамильтоновыхсистем на данном атоме образуют подпространство полной меры в пространстве H(F ) ×H(F ).Комментарий 4.5.3. Здесь и далее в данной работе, говоря о почти всех парах систем наатоме, или о множестве полной меры в бесконечномерном функциональном пространствеH(F ), мы имеем в виду все пространство за исключением множества, лежащего в некоторойгиперповерхности или в объединении некоторого конечного числа гиперповерхностей.

Приэтом под гиперповерхностями в H(F ) мы понимаем множества уровня какого-либо (гладкого)функционала, на которых дифференциал этого функционала всюду отличен от нуля (см.определения 4.1.17 и 4.1.18).Доказательство следствия 4.5.2. Согласно теореме 4.5.1, инварианты вида Λj1 (v) : Λj2 (v)гамильтоновых систем на атоме являются относительно–продолжимыми по отношению ксложным возмущениям. Согласно предложению 4.3.2, Λ–инвариант RΛ(v) = (Λ1 (v) : · · · :Λn (v)) является инвариантом C 0 –сопряженности.

Таким образом, для любого класса сложных возмущений (4.17) существует относительно–продолжимый инвариант вида Λj1 (v) :Λj2 (v) по отношению к возмущениям этого класса. По условию значения каждого такого инварианта на системах v1 и v2 различны, поэтому системы v1 и v2 являются C 0 –несопряженнымии остаются C 0 –несопряженными (в любых связных инвариантных окрестностях своих множеств особых точек) при любых малых возмущениях, являющихся сложными.Так как количество рассматриваемых инвариантов конечно и эти инварианты являютсясубмерсиями в силу §4.3.2, п.(2), то пары относительно-устойчиво C 0 –несопряженных системна данном атоме по отношению к малым сложным возмущениям образуют множество полноймеры в пространстве H(F ).4.5.2Относительно–продолжимый m–инвариант C 1 –сопряженностисистем на бициклическом атоме для бициклических возмущенийБициклические атомы и бициклические возмущения систем на нихРассмотрим атом (P, K)# сложности n ≥ 2 (определение 2.4.3).Определение 4.5.4 (ср.

определение 4.3.24). Пусть существуют два простых положительноориентированных (определения 4.3.23 и 4.3.17 (A)) цикла Z1 и Z2 в ориентированном графеK и такое разбиение множества {1, . . . , n} на два собственных подмножества I и J, чтовыполнены два условия.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ3001) K = Z1 ∪ Z2 .2) Оба цикла Z1 и Z2 положительны по отношению к вершинам xi , i ∈ I, и отрицательныпо отношению к остальным вершинам xj , j ∈ J (см. определение 4.3.23).Тогда атом назовем бициклическим атомом.Рис.

4.5. Пример бициклического атома. Выделен один из циклов Z1 и Z2См. пример на рис. 4.5. (Отметим, что определение 4.3.24 аналогично определению 4.5.4,но в нем подмножества I и J предполагаются несобственными, т.е. одно из них пусто.) Таккак число ребер графа K = Z1 ∪ Z2 равно 2n, а каждый цикл Z1 и Z2 содержит не более nребер, то циклы Z1 и Z2 содержат в точности по n ребер и пересекаются только в вершинах,Z1 ∩ Z2 = {x1 , . . . , xn }. Другими словами, как и в случае знакоопределенно бициклическихатомов, см. определение 4.3.24, каждый из циклов Z1 и Z2 является гамильтоновым, т.е. проходит через каждую вершину атома ровно по одному разу.

Если атом, отвечающий функцииМорса F и некоторой ориентации многообразия, является бициклическим, то атомы, отвечающие функциям ±F и любым заданным ориентациям, тоже являются бициклическими.Аналогично замечанию 4.3.26, разность 1–циклов [Z1 ], [Z2 ] ∈ H1 (K) равна сумме классоватомных окружностей Oi данного атома с подходящими ориентациями:[Z1 ] − [Z2 ] = [O1 ] + · · · + [Oν ].Как и выше, для любой функции, близкой к некоторой морсовской функции, послойноэквивалентной F , обозначим через ci ее значение в критической точке, близкой к xi . Еслисистема v задана на бициклическом атоме, то здесь появляется естественный класс возмущений, учитывающий структуру бициклического атома.Определение 4.5.5. Возмущение ve системы v на бициклическом атоме (на котором фиксированы два его цикла Z1 и Z2 ) мы будем называть бициклическим возмущением (иливозмущением второго типа), если возмущенный гамильтониан таков, что ci < cj для всехi ∈ I, j ∈ J, где I и J — два набора вершин исходного атома, являющиеся отрицательнымии положительными относительно циклов Z1 и Z2 соответственно.Без ограничения общности мы можем считать, что значения гамильтониана в вершинахс номерами из подмножества I уменьшаются, а в вершинах в номерами из J — увеличиваются.

Отметим, что после такого возмущения особая линия уровня {F = c} невозмущенногогамильтониана F преобразуется в неособую линию уровня {Fe = c} возмущенного гамильтониана Fe, состоящую из двух связных компонент (окружностей), т.е. особая линия уровня{F = c} “распадается” на две окружности {Fe = c}, близкие к циклам Z1 и Z2 . См. рис.