Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей, страница 100

. , θ` ) 7→ f ◦ ψ(θ1 , . . . , θ` ) = f ◦ BF |H1 (evθ1 ,...,θ` ) = I(evθ1 ,...,θ` )ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ292гладкая. Поэтому f |U0 = (f ◦ ψ) ◦ ψ −1 : U0 → R тоже гладкая, т.е. f гладкая в окрестностиU0 точки BF |H1 (v) в U . Так как система v ∈ H1 любая, то f : U → R гладкая всюду.Обратно: пусть f : U → R — любая непрерывная (соотв. гладкая) функция. Тогда функция I := f ◦ BF |H1 непрерывна (соотв. гладкая), непрерывна относительно C r –топологиипри любом r ≥ 3 (согласно предложению 4.3.5), и является инвариантом C 0 –сопряженности(а потому и инвариантом симплектической сопряженности) систем на H1 . Поэтому инвариант I является относительно–продолжимым (соотв.

гладким относительно–продолжимым)относительно тривиальных возмущений для Ie = I и непрерывен.Системы с гамильтонианом — простой функцией Морса (непрерывные инварианты сопряженности на открытом страте Максвелла)Рассмотрим частный случай ситуации из предложения 4.4.1 — когда страт Максвелла H1 впространстве Hnondeg (M ) открыт, т.е.

гамильтониан любой его системы находится в общемположении, т.е. является простой функцией Морса. Так как страт Максвелла H1 открыт, толюбое малое возмущение любой системы v ∈ H1 является тривиальным, т.е. возмущеннаясистема ve тоже принадлежит страту Максвелла H1 .Напомним, что C 0 –инварианты (т.е. инварианты C 0 –сопряженности) гамильтоновых систем достаточно хорошо изучены в работах [9, 7]. Например, для простого атома (сложности1 — особенности типа “штаны” (седло)) нет ни одного инварианта C 0 –сопряженности ростков систем на этом атоме, и более того, ростки всех систем на таком атоме C 0 –сопряжены(определение 4.1.18).

Поэтому, так как все возмущения систем на таком атоме тривиальны,то (в силу предложения 4.4.1) для такого атома нет и ни одного (относительно) продолжимого инварианта, и все пары ростков систем на таком атоме остаются C 0 -сопряженными прилюбых достаточно малых возмущениях.Итак, оснащённая молекула W # (Π, Λ, mΛ ) любой системы Гамильтона из H1 имеет толькоΠ–метки, т.е. метки лишь на своих рёбрах и на их концах (т.е. в вершинах, отвечающихграничным окружностям поверхности M или точкам локального минимума или локальногомаксимума функции Гамильтона).Итак, на любом открытом страте Максвелла H1 инвариант Болсинова-Фоменко C 0 –сопряженности систем имеет вид BF |H1 = Π|H1 : H1 → R`>0 .

Как показано в §4.4.1, этот инвариантΠ|H1 является субмерсией. Согласно предложению 4.4.1 все относительно–продолжимые инварианты на H1 суть непрерывные функции от инварианта Π|H1 .4.4.2Простые возмущения гамильтоновой системы на плоском седловом атомеПусть даны две системы v1 , v2 ∈ Hnondeg (M ). Изучим вопрос: Можно ли их сделать C 0 –сопряжёнными путём подходящих малых простых возмущений? (Положительный ответ наэтот вопрос решает вопрос (Q2) из §4.1.5.) Мы дадим положительный ответ на этот вопрос внекоторых случаях.

Попутно мы ответим в тех же случаях на вопросы (Q1)—(Q4) из §4.1.5.Заметим, что если ответ положителен, то либо(i) системы v1 , v2 C 0 –сопряжены, либо(ii) у стратов Максвелла H1 , H2 ⊂ Hnondeg (M ), содержащих системы v1 , v2 , существует обe (см. (4.16) и опрещий (т.е. один и тот же) примыкающий к ним страт Максвелла Hделение 2.7.9 (В)), такой что при изоморфизме соответствующих графов возмущенияf1num ' Wf num , индуцированном некоторым сопрягающим гомеоморфизмом M → M ,W2“новые” ребра переходят в “новые”, “старые” в “старые” (см. свойство (2’) из §2.5.2),ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ293а индуцированный изоморфизм КР-графов W1num ' W2num сохраняет Π–метки системv1 , v2 на всех ребрах.f num , см.Это следует из свойств Π–меток на “новых” и “старых” ребрах графа возмущения W§4.2.5.Отметим, что в указанном выше случае (i) системы v1 , v2 траекторно эквивалентны, т.е.имеют одинаковые значения инварианта Фоменко — одинаковую молекулу Фоменко W #(см.

определение 2.4.5 и §4.4.1). Более того, у этих систем совпадают оснащенные молекулы W # (Π, Λ, mΛ ) Болсинова-Фоменко (т.е. молекулы Фоменко W # , снабженные меткамиБолсинова-Фоменко на рёбрах и на атомах, см. §4.3.2). Но в указанном выше случае (ii)системы v1 , v2 могут не быть траекторно эквивалентыми, т.е.

могут иметь неизоморфныемолекулы Фоменко W1# 6' W2# .Утверждение 4.4.2. Предположим, что пара систем v1 , v2 ∈ Hnondeg (M ) обладает свойством (ii) выше, причем все атомы одной из молекул W1# и W2# являются плоскими, аe открыт (т.е. соответствующие возмущенные гамильтонианы являстрат Максвелла Hются простыми функциями Морса), см.

(4.16). Тогда системы v1 и v2 можно сделать C 0 –сопряженными в некоторых инвариантных связных окрестностях своих множеств особыхточек при подходящих малых возмущениях рассматриваемого класса (т.е. принадлежащихe Более того, для любого достаточно малого возмущения ve1 ∈ He систрату Максвелла H).eстемы v1 существует малое возмущение ve2 ∈ H системы v2 , такое, что возмущенные системы ve1 , ve2 C 0 –сопряжены в некоторых инвариантных связных окрестностях своих множеств особых точек.

В частности, на любом плоском атоме (P, K)# , для любого классапростых возмущений вида (4.17) систем на этом атоме, не существует относительноустойчиво C 0 –несопряженных пар систем (а потому нет ни одного относительно–продолжимого инварианта) по отношению к этому классу возмущений. В частности, на пространстве H(P, K) систем на любом плоском атоме (P, K)# нет ни одного продолжимогоинварианта.Доказательство. Шаг 1. По теореме 4.2.2 пространство Hnondeg (M ) открыто, поэтому возмущенные системы ve1 , ve2 ∈ Hnondeg (M ).

По теореме 4.3.16 системы ve1 , ve2 ∈ Hnondeg (M ) C 0 –f # (Π, Λ, mΛ ) Болсиновасопряжены тогда и только тогда, когда их оснащенные молекулы WiФоменко, i = 1, 2, изоморфны. По предположению возмущенные системы ve1 , ve2 принадлежатe т.е. траекторно эквивалентны, поэтому их молекулы Фоменкоодному страту Максвелла H,##f1 ' Wf2 . Обозначим индуцированный изоморфизм графов возмущения черезизоморфны: Wf num → Wf num .ψe : W12Этот изоморфизм по условию переводит “старые” ребра в “старые”, а “новые” в “новые” исохраняет Π–метки систем v1 , v2 на каждом “старом” ребре.

Без ограничения общности считаем, что изоморфизм ψe есть гомеоморфизм, переводящий множество критических точекf1num (см.функции периода системы ve1 на “старых” открытых ребрах графа возмущения W(4.19)) в множество критических точек функции периода системы ve2 на “старых” открытыхf num .ребрах графа возмущения W2e 3 ve1 , ve2 открыт (т.е. соответствующие возмущенные гамильтоТак как страт Максвелла Hнианы являются простыми функциями Морса), то, с учетом §4.4.1, ограничение инвариантаe совпадает с Π–инвариантом Π| e : He → R` дляБолсинова-Фоменко на страт Максвелла H>0H0eнекоторого ` ∈ N.

Значит, для C –сопряженности систем ve1 , ve2 ∈ H необходимо и достаточноf num ' Wf num .совпадение их Π–меток на каждом ребре графа возмущения W12Шаг 2. Пусть i ∈ {1, 2}. КР-граф Winum гамильтониана системы vi получается из графаf num стягиванием каждого “нового” ребра в точку (см. §2.5). Поэтому гомеовозмущения Wiморфизм ψe графов возмущения индуцирует гомеоморфизмψ : W1num → W2numГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ294“невозмущенных” графов W1num ' W2num , который по условию сохраняет Π–метки системv1 , v2 на каждом ребре.

Без ограничения общности считаем, что гомеоморфизм ψ переводитмножество критических точек функции периода системы v1 на открытых ребрах графа W1num(см. (4.19)) в множество критических точек функции периода системы v2 на открытых ребрахграфа W2num . ПустьU1 ⊂ W1num— объединение замкнутых регулярных попарно непересекающихся окрестностей вершин графа W1num и критических точек функции периода системы v1 на открытых ребрах графа W1num .Положим U2 := ψ(U1 ).Пусть i ∈ {1, 2} и πi : M → Winum — каноническая проекция (2.4) для гамильтонианасистемы vi . Для любой системы vei ∈ H(M ), достаточно близкой к vi , обозначим (как иf num граф возмущения, через πf num каноническую проекцию (2.4)выше) через Wei : M → Wiiдля гамильтониана системы vei .

Положимei := πf num .Uei (πi−1 (Ui )) ⊂ WiВ силу предположения мы можем и будем считать, что для указанного выше гомеоморфизмаψe выполненоeUe1 ) = Ue2 .ψ(Для любой связной компонентыUc,i ⊂ Uiec,i связную компоненту графа Wf num , удовлетворяющую условиюграфа Ui обозначим через Uiec,i ) 6= ∅ (она единственна, если возмущение достаточно мало). Тогдаπ −1 (Uc,i ) ∩ πe−1 (UiieUec,1 ) = Uec,2 .ψ(Возможен один из следующих двух случаев:Случай 1. Указанная связная компонента Uc,i не содержит вершин графа Winum , т.е. является сегментом его открытого ребра.

Для любой системы vei ∈ H(M ), достаточно близкойк vi , обозначим через Πc,i (evi ) экстремальное (т.е. критическое) значение функции периоec,i . Итак, Πc,i (eда замкнутых траекторий системы vei на “возмущенном” сегменте Uvi ) — это(единственная в силу §4.2.5) компонента Π–метки системы vei , отвечающая ограничению этойec,i ).системы на πei−1 (UСлучай 2. Указанная связная компонента Uc,i содержит вершину графа Winum . Обозначимэту вершину через Vc,i . Вершине Vc,i графа Winum отвечает атом(Pc,i , Kc,i ) := (πi−1 (Uc,i ), πi−1 (Vc,i ))ec,i являетсямолекулы Wi# , i = 1, 2. Если атом (Pc,i , Kc,i ) плоский, то граф возмущения Uдеревом и имеет ровно nc − 1 внутренних ребер, где nc — сложность атома (Pc,i , Kc,i ).

Ноec,1 ' Uec,2 изоморфны (см. выше), поэтому атом (Pc,3−i , Kc,3−i ) тожеграфы возмущения Uплоский.Шаг 3. Предположим, что для достаточно малого числа ε > 0 (которое мы подберем чутьe системы v1 . Обозначим черезниже) задано любое ε–малое возмущение ve1 ∈ HH(π2−1 (U2 ), v2 ) ⊂ H(M )множество гамильтоновых систем на M , совпадающих с системой v2 на π2−1 (W2num \U2 ). Будемe системы v2 так, чтобы носитель возмущения содержалсястроить малое возмущение ve2 ∈ H−1eв π2 (U2 ), т.е. чтобы ve2 ∈ H ∩ H(π2−1 (U2 ), v2 ).Для каждой связной компоненты Uc,2 множества U2 мы построим возмущенную системуe и случая 1 или 2 выше,ve2,c ∈ H(π2−1 (Uc,2 ), v2 ), в зависимости от возмущенной системы ve1 ∈ Hтак:ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ295ec,2 ⊂ Ue2 ⊂ Wf num содержится в “старом” ребре графа возмущения Wf numВ случае 1 граф U22и гомеоморфен отрезку. Поэтому соответствующая компонента Uc,2 графа U2 является сегментом открытого ребра графа W2num , отвечающего указанному “старому” ребру.