Диссертация (Неравновесные эффекты и нестационарный электронный транспорт в полупроводниковых наноструктурах с межчастичным взаимодействием), страница 52

Îäíà èç êâàíòîâûõ òî÷åê (âòîðàÿ) âçàèìîäåéñòâóåò (γ ) ñ ñîñòîÿíèÿìè íåïðåðûâíîãîñïåêòðà. Óðîâíè ýíåðãèè òî÷åê ðàñïîëîæåíû âûøå óðîâíÿ Ôåðìè ñîñòîÿíèé íåïðåðûâíîãîñïåêòðà (EF ).êâàíòîâóþ òî÷êó, âçàèìîäåéñòâóþùóþ ñ ðåçåðâóàðîì - âòîðîé. Ó÷òåì êóëîíîâñêèå êîððåëÿöèè ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîíîâ êàê âíóòðè êàæäîé èçòî÷åê, òàê è ìåæäó òî÷êàìè. Òîãäà ïðîöåññû ðåëàêñàöèè çàðÿäà â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ãàìèëüòîíèàíà:(7.1)Ĥ = ĤD + Ĥtun + ĤresÃàìèëüòîíèàí HˆD , îïèñûâàþùèé âçàèìîäåéñòâóþùèå êâàíòîâûå òî÷êè ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå:ĤD =∑εi c+iσ ciσ + U11 n11σ n11−σ + U22 n22σ n22−σ +i=1,2σ+ U12 (n11σ + n11−σ )(n22σ + n22−σ ) +∑σ+T (c+1σ c2σ + c1σ c2σ ) (7.2)ãäå εi (èíäåêñû i = 1 è i = 2 îòíîñÿòñÿ ê ïåðâîé è âòîðîé êâàíòîâûìòî÷êàì) - âûðîæäåííûå ïî ñïèíó óðîâíè ýíåðãèè, Uii - êóëîíîâñêèå êîððåëÿöèè, âîçíèêàþùèå â ñëó÷àå äâîéíîãî çàïîëíåíèÿ êàæäîé èç òî÷åê, è Uij- êóëîíîâñêèå êîððåëÿöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå âçàèìîäåéñòâèþ ýëåêòðîíîâðàçíûõ òî÷åê.

Ðîæäåíèå/óíè÷òîæåíèå ýëåêòðîíà ñî ñïèíîì σ = ±1/2 íàóðîâíÿõ ýíåðãèè òî÷åê îïèñûâàåòñÿ îïåðàòîðàìè c+iσ /ciσ è ñîîòâåòñòâóþùèì îïåðàòîðîì ýëåêòðîííûõ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ niiσ . Ïðîöåññû òóííåëèðîâàíèÿ ýëåêòðîíîâ ìåæäó êâàíòîâûìè òî÷êàìè îïèñûâàþòñÿ àìïëèòóäîéòóííåëüíûõ ïåðåõîäîâ T , êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò ñïèíà è íàïðàâëåíèÿ èìïóëüñà.Ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ðåçåðâóàðà îïèñûâàþòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì:284Ĥres =∑pσεp c+pσ cpσ(7.3)ãäå îïåðàòîðû c+pσ /cpσ ñîîòâåòñòâóþò ðîæäåíèþ/óíè÷òîæåíèþ ýëåêòðîíà â ñîñòîÿíèè ðåçåðâóàðà ñî ñïèíîì σ è èìïóëüñîì p. Òóííåëüíûåïåðåõîäû ìåæäó âòîðîé êâàíòîâîé òî÷êîé è ñîñòîÿíèÿìè íåïðåðûâíîãîñïåêòðà ðåçåðâóàðà ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ãàìèëüòîíèàíà:Ĥtun =∑pσ+t(c+pσ c2σ + cpσ c2σ )(7.4)ãäå t- òóííåëüíàÿ àìïëèòóäà, íå çàâèñÿùàÿ îò ñïèíà è íàïðàâëåíèÿèìïóëüñà. Ïîëàãàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ïîñòîÿííîéâåëè÷èíîé ν0 , îïðåäåëèì ñêîðîñòü ðåëàêñàöèè â ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíîãîñïåêòðà γ ñëåäóþùèì îáðàçîì γ = πν0 t2 .Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà óðîâíè ýíåðãèè â êâàíòîâûõ òî÷êàõ ðàñïîëîæåíû çíà÷èòåëüíî âûøå óðîâíÿ Ôåðìè.

Òîãäà âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå: (εi − εF )/γ >> 1. Èññëåäóåì ïîâåäåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, êîãäà ïîëîæåíèå óðîâíÿ Ôåðìè ÷åòêî âûðàæåíî,à ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîâ â ñîñòîÿíèÿõ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðàðåçåðâóàðà - ýòî ôåðìèåâñêèå ñòóïåíüêè.Áóäåì âåçäå ïîëàãàòü h̄ = 1. Òîãäà êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ áèëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ãåéçåíáåðãîâñêèõ îïåðàòîðîâ c+iσ /ciσσ+σc+1σ c1σ = n̂1 (t) c2σ c2σ = n̂2 (t)+σσc+1σ c2σ = n̂12 (t) c2σ c1σ = n̂21 (t),(7.5)îïèñûâàþùèõ âðåìåííóþ ýâîëþöèþ ýëåêòðîííûõ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ,ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:∂ σn̂11 = −T (n̂σ21 − n̂σ12 )∂t∂i n̂σ22 = T (n̂σ21 − n̂σ12 ) − 2iγ n̂σ22∂t∂σi n̂σ21 = T (n̂σ22 − n̂σ11 ) + [ξ + (U11 − U21 )n̂−σ11 ]n̂21 −∂tσ− (U22 − U12 )n̂σ21 n̂−σ22 − iγ n̂21i285i∂ σσn̂12 = −T (n̂σ22 − n̂σ11 ) − [ξ + (U11 − U21 )n̂−σ11 ]n̂12 +∂tσ+ (U22 − U12 )n̂σ12 n̂−σ22 − iγ n̂12(7.6)ãäå ξ = ε1 − ε2 ðàññòðîéêà ìåæäó óðîâíÿìè ýíåðãèè â êâàíòîâûõ òî÷êàõ.

Ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.6) ñîäåðæèò âûðàæåíèÿ äëÿ ïàðíûõ êîððåëÿ−σ σσòîðîâ n̂−σ1 n̂21 è n̂1 n̂12 , êîòîðûå ïðÿìûì îáðàçîì îïðåäåëÿþò âðåìåííóþýâîëþöèþ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, äîëæíû áûòü âû÷èñëåíû.Áóäåì ïðåíåáðåãàòü êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè âûñøèõ ïîðÿäêîâ ìåæäó ëîêàëèçîâàííûìè ýëåêòðîíàìè è ýëåêòðîíàìè ïðîâîäèìîñòè ðåçåðâóàðàè âûïîëíèì óñðåäíåíèå ïî ýëåêòðîííûì ñîñòîÿíèÿì ðåçåðâóàðà.′σσÂâåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ïàðíûõ êîððåëÿòîðîâ: Kiji′ ′ =<j++−σσciσ cjσ ci′ σ′ cj ′ σ′ > è ðàññìîòðèì ïàðàìàãíèòíûé ñëó÷àé < n̂i >=< n̂i >.Òîãäà âåðíû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:σ−σ−σ σK2111= < n̂σ21 n̂−σ11 >=< n̂21 n̂11 >σ−σ−σ σK1211= < n̂σ12 n̂−σ11 >=< n̂12 n̂11 >σ−σ−σ σK2122= < n̂σ21 n̂−σ22 >=< n̂21 n̂22 >σ−σ−σ σK1222= < n̂σ12 n̂−σ22 >=< n̂12 n̂22 >(7.7)Ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ïàðíûõ êîððåëÿòîðîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü âêîìïàêòíîì ìàòðè÷íîì âèäå ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñèìâîë [ ] îçíà÷àåòêîììóòàòîð, à ñèìâîë { }- àíòèêîììóòàòîð):i∂ cc c′c bcK = [K,H ] + {K,Γ} + Υ,∂t(7.8)cãäå Kìàòðèöà ïàðíûõ êîððåëÿòîðîâcK=′σ−σK2211σ−σK2111σ−σK2212σ−σK2112σ−σK1211σ−σK1111σ−σK1212σ−σK1112cìàòðèöà Hèìååò âèä:σ−σK2221σ−σK2121σ−σK2222σ−σK2122σ−σK1221σ−σK1121σ−σK1222σ−σK1122= ||Kij ||(7.9)286′cH=0TTT ξ + U11 − U210T0−ξ + U22 − U120TT0TT0(7.10)bà ìàòðèöà òóííåëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé Γîïðåäåëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:Γb =−iγ0000000000 −2iγ 000−iγ(7.11)Ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.8) ñîäåðæèò âûðàæåíèÿ äëÿ êîððåëÿòîðîâ ëîσ−σ−σσ−σ−σêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîíîâ âûñøèõ ïîðÿäêîâ K121122è K211122.

Âêëàä îòêîððåëÿòîðîâ ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîíîâ âûñøèõ ïîðÿäêîâ ìîæåò áûòücçàïèñàí â ìàòðè÷íîé ôîðìå Υ:cΥ=σ−σ−σσ−σ−σ0U2 K121122U1 K2111220σ−σ−σσ−σ−σ−U2 K21112200−U2 K211122σ−σ−σσ−σ−σ−U1 K12112200−U1 K121122σ−σ−σσ−σ−σ0U2 K121122U1 K2111220(7.12)ãäå èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ýíåðãèé êóëîíîâñêîãîâçàèìîäåéñòâèÿ: U1 = U11 − U21 è U2 = U22 − U12 .Åñëè âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ çàðÿäà íà÷èíàåòñÿ ñ ñîñòîÿíèÿ, êîãäà âåñüçàðÿä â ñèñòåìå ëîêàëèçîâàí â ïåðâîé êâàíòîâîé òî÷êå, à âòîðàÿ êâàíòîâàÿ òî÷êà ïðè ýòîì ïóñòàÿ, òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.8) äëÿ ïàðíûõ êîðσ−σðåëÿòîðîâ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì: K1111(0) = 1;σ−σσ−σK2222 (0) = 0; Kiji′ j ′ (0) = 0 äëÿ äðóãèõ êîìáèíàöèé èíäåêñîâ i, j . Åñëèâåñü çàðÿä â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ëîêàëèçîâàí âî âòîðîé êâàíòîâîé òî÷êå, òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.8) äëÿ ïàðíûõ êîððåëÿòîðîâ óäîâëåσ−σσ−σσ−σòâîðÿåò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì: K2222(0) = 1; K1111(0) = 0; Kiji′ ′ (0) = 0jäëÿ äðóãèõ êîìáèíàöèé èíäåêñîâ i, j .

 ñëó÷àå, êîãäà íà÷àëüíûé çàðÿä âñèñòåìå ïîðîâíó ðàñïðåäåëåí ìåæäó êâàíòîâûìè òî÷êàìè, ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.8) äëÿ ïàðíûõ êîððåëÿòîðîâ óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì:287σ−σσ−σσ−σσ−σK1111(0) = K2222(0) = K1122(0) = 1 è Kiji′ ′ (0) = 0 äëÿ äðóãèõ êîìáèíàöèéjèíäåêñîâ i, j .σ−σ−σσ−σ−σÊîððåëÿòîðû âûñøèõ ïîðÿäêîâ K121122è K211122ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ â òî÷íîñòè ðàâíûå íóëþ, òàê êàê ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ëèíåéíîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Ñèñòåìàóðàâíåíèé (7.6), (7.8), êîòîðàÿ îïèñûâàåò âðåìåííóþ ýâîëþöèþ ëîêàëèçîâàííîãî çàðÿäà â ñèñòåìå ñâÿçàííûõ êâàíòîâûõ òî÷åê, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ ðåçåðâóàðîì, ìîæåò áûòü ïðîàíàëèçèðîâàíà ñ ïðèìåíåíèåì ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

Ïðåæäå,÷åì ïðèâîäèòü ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî àíàëèçà, ïîêàæåì, ÷òî äëÿ èññëåäóåìîé ñèñòåìû ìîæíî ïîëó÷èòü òî÷íîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, îïèñûâàþùåå îñîáåííîñòè ðåëàêñàöèè çàðÿäà, êîòîðîå äëÿ îïðåäåëåííîãî íàáîðàïàðàìåòðîâ èìååò ïðîñòîé è êîìïàêòíûé âèä.Ÿ 7.2. Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è î âðåìåííîé ýâîëþöèè÷èñåë çàïîëíåíèÿ â ñèñòåìå ñâÿçàííûõ êâàíòîâûõ òî÷åêñ êóëîíîâñêèìè êîððåëÿöèÿìè, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ ñîñòîÿíèÿìè íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ðåçåðâóàðàÐàññìîòðèì êîíôèãóðàöèþ ñèñòåìû, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòüïðîñòîå òî÷íîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå äëÿ âðåìåííîé ýâîëþöèè ýëåêòðîííûõ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ áåç ïðèìåíåíèÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (7.8).

Èññëåäóåì âðåìåííóþ ýâîëþöèþ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû,äëÿ êîòîðîãî âåñü çàðÿä ëîêàëèçîâàí â ïåðâîé êâàíòîâîé òî÷êå íà óðîâíåýíåðãèè ε1 (n1σ (0) = n0 = 1). Áóäåì ó÷èòûâàòü êóëîíîâñêèå êîððåëÿöèèòîëüêî ìåæäó ëîêàëèçîâàííûìè ýëåêòðîíàìè â ïåðâîé òî÷êå. Òàêàÿ ìîäåëü õîðîøî îïèñûâàåò ñâÿçàííûå êâàíòîâûå òî÷êè îäíà èç êîòîðûõ óçêàÿè ãëóáîêàÿ, à âòîðàÿ ìåëêàÿ è øèðîêàÿ.Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âåñü çàðÿä â ñèñòåìå ëîêàëèçîâàíâ ïåðâîé êâàíòîâîé òî÷êå, òî ýëåêòðîííûå ÷èñëà çàïîëíåíèÿ âî âòîðîé òî÷êå â ïðîöåññå ðåëàêñàöèè çàðÿäà ïðèíèìàþò ìàëûå çíà÷åíèÿ, è ñëàáûìèýôôåêòàìè êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ âî âòîðîé òî÷êå ïî ñðàâíåíèþ ñïåðâîé, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü [290]. Êðîìå òîãî, ó÷åò êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ âî âòîðîé òî÷êå íå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ â ñèñòåìå ïðèíöèïèàëüíîíîâûõ ôèçè÷åñêèõ ýôôåêòîâ.

Åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðåíîðìèðîâêó ðàññòðîéêè ìåæäó óðîâíÿìè ýíåðãèè â ñèñòåìå [285]: ðàññòðîéêó ξ288íåîáõîäèìî çàìåíèòü íà âåëè÷èíó ξe = ξ − U22 + U12 , à êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå â ïåðâîé êâàíòîâîé òî÷êå U11 - íà ñîîòâåòñòâóþùóþ âåëè÷èíófU11 = U11 + U22 − 2U12 .Ôîðìàëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ïàðíûõ êîððåëÿòîðîâ(7.8) ìîæíî çàïèñàòü, èñïîëüçóÿ îïåðàòîð ýâîëþöèè. Âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ Kij (7.9) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì:Kij (t) =∑mnbb+(e−iHt )im Kmn (0)(eiH t )nj(7.13)′cccbãäå âåëè÷èíà Hîïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: H=H+ Γ.Òåïåðü ââåäåì îïåðàòîð ýâîëþöèè:bΦij (t) = (e−iHt )ij(7.14)Òàê êàê ýëåìåíò ìàòðèöû K(0)22 â âûðàæåíèè (7.9) ñîâïàäàåò ñσ−σK1111(0) = 1, âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ ïàðíûõ êîððåëÿòîðîâ îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèÿìè:bb+bb+σ−σfK2111= (e−iHt )12 K(0)22 (eiH t )22 = Φ12 (t)Φ22 (t)σ−σfK1211= (e−iHt )22 K(0)22 (eiH t )21 = Φ22 (t)Φ21 (t)(7.15)fÎïåðàòîð ýâîëþöèè Φ22 (t) ìîæíî ïîëó÷èòü èç âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðàΦ22 (t) ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé ïîäñòàíîâêè: t → −t è γ → −γ .

Ïàðíûé êîðσ−σσ−σðåëÿòîð K1211ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì ñ êîððåëÿòîðîì K2111.Îïåðàòîðû ýâîëþöèè Φij (t) îïðåäåëÿþòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé:∂Φ12 (t)i ∂t∂i ∂tΦ22 (t)∂i ∂tΦ32 (t)∂Φ42 (t)i ∂tc=H·Φ12 (t)Φ22 (t)Φ32 (t)Φ42 (t)(7.16)ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè:Φij (0) = δij(7.17)289Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λi îïåðàòîðàýâîëþöèè Φij (t) èìååò âèä:(H11 − λ)(H22 − λ)(H33 − λ)(H44 − λ) − T 2×[(H11 − λ)(H22 − λ) + (H11 − λ)(H33 − λ)+(H33 − λ)(H44 − λ) + (H22 − λ)(H44 − λ)] = 0(7.18)ãäå êîýôôèöèåíòû H11 , H22 , H33 è H44 îïðåäåëåíû âûðàæåíèÿìè:H11 = H44 = −iγH22 = ξ + U11H33 = −ξ − 2iγ(7.19)Êàæäîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λi ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííûé âåêòîð:ψi =αiβiγiδi(7.20) ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ ýâîëþöèè Φ12 (t) è Φ22 (t), êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì Φ22 (0) = 1 è Φij (0) = 0 ñîîòâåòñòâåííî.Ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé, îïðåäåëÿþùåé ôóíêöèè Φ12 (t) è Φ22 (t),ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:Φ12 (t) =Φ22 (t) =4∑Ci αi e−iλi ti=14∑Ci βi e−iλi t(7.21)i=1ãäå ïîñòîÿííûå Ci îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ ñèñòåìûóðàâíåíèé.∑iCi α i = 0290∑i∑i∑Ci βi = 1Ci γ i = 0(7.22)Ci δi = 0iÂðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ n1 (t) îïðåäåëÿåòñÿ íåîäíîðîäíîé ÷àñòüþ óðàâíåíèé ñèñòåìû (7.6):{[(i= (i∂∂∂+ iγ)2 + γ 2 ][(i + iγ)2 − ξ 2 ] − 4T 2 (i + iγ)2 }n1 (t) =∂t∂t∂t∂σ−σ−1 σ−σ−1 σ−σ−1 σ−σ+ 2iγ) · T [U1 (G−12 K1211 + G1 K2111 ) − U2 (G2 K2111 + G1 K2122 )]∂t(7.23)−1ãäå îïåðàòîðû G−12 è G1 èìåþò âèä:∂+ ξ + iγ∂t∂G−1=i− ξ + iγ(7.24)1∂tÐåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.23) îïèñûâàåò ðåëàêñàöèþ çàðÿäà è ñîäåðæèòäâå ÷àñòè: îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ nh1 (t) (ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâe 1 (t).íåíèÿ ðàâíà íóëþ) è ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ nG−1= i2n1 (t) =nh1 (t)+ne 1 (t)=nh1 (t)+∫ t0G(t′′′− t )P (t )dt′(7.25)′ãäå G(t − t ) - ôóíêöèÿ Ãðèíà óðàâíåíèÿ (7.23) ñ δ(t − t ) - ôóíêöèåé â′ïðàâîé ÷àñòè, à P (t ) - ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (7.23), êîòîðàÿ ïîÿâëÿåòñÿèç-çà íàëè÷èÿ â ñèñòåìå êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.Îáøåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (7.23) èìååò âèä:′∗′∗′∗nh1 (t) = n01 [A e−i(E1 −E1 )t + 2Re(B e−i(E1 −E2 )t ) + C e−i(E2 −E2 )t ] (7.26)ãäå êîýôôèöèåíòû A′ , B ′ è C ′ îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:|E1 − ε1 |2|E2 − ε1 |2′C =A =|E2 − E1 |2|E2 − E1 |2(E2 − ε1 )(E1∗ − ε1 )′B = −|E2 − E1 |2′(7.27)291Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Ei :E1,211√= (ε1 + ε2 − iγ) ±(ε1 − ε2 + iγ)2 + 4T 222(7.28)′Ôóíêöèÿ Ãðèíà G(t−t ) óðàâíåíèÿ(7.23) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå:G(t′−t)=4∑′′ai e−iλi (t−t ) Θ(t − t )(7.29)i=1÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (7.23) èìååò âèä:ne 1 (t) =∑ai Cj e−λi tijk1∗(e−i(λj −λk −λi )t − 1)∗−i(λj − λk − λi )(7.30)ãäå çíà÷åíèÿ λj(k) ìîæíî îïðåäåëèòü èç óðàâíåíèÿ (7.18) è λi ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷åííîãî èç óðàâíåíèÿ(7.23):4T 2 + ξ 2 − γ 2 1 √λ1,2 = −iγ ± [+(4T 2 + ξ 2 − γ 2 )2 + 4ξ 2 γ 2 ]1/2224T 2 + ξ 2 − γ 2 1 √λ3,4 = −iγ ± [−(4T 2 + ξ 2 − γ 2 )2 + 4ξ 2 γ 2 ]1/2 (7.31)22Ìîæíî çàïèñàòü ñâÿçü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé Ei ñ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ∗λ1,2 = E1,2 − E1,2λ3 = E1 − E2∗λ4 = E2 − E1∗(7.32)Êîýôôèöèåíòû ai îïðåäåëåíû ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé:1,(λ2 − λ1 )(λ3 − λ1 )(λ4 − λ1 )1a2 =,(λ1 − λ2 )(λ3 − λ2 )(λ4 − λ2 )1,a3 =(λ1 − λ3 )(λ2 − λ3 )(λ4 − λ3 )1a4 =.(λ1 − λ4 )(λ2 − λ4 )(λ3 − λ4 )a1 =(7.33)292Âûðàæåíèÿ (7.25) - (7.33) ïîçâîëÿþò èññëåäîâàòü êèíåòèêó çàðÿäà,ëîêàëèçîâàííîãî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè â ïåðâîé êâàíòîâîé òî÷êå âñëó÷àå, êîãäà êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ó÷òåíî òîëüêî ìåæäó ëîêàëèçîâàííûìè ýëåêòðîíàìè â ïåðâîé òî÷êå.