Динамика и сингулярности в моделях инерционного переноса масс, страница 5

Гамильтониан предполагается натуральным,т. е. имеет вид (, , ) = 0 () + (, ), где функция 0 (·) ∈ 2 (R) строговыпукла и суперлинейна, а ∈ 2 (R2 /Z2 ) — потенциал, периодичный по21пространственной и временной переменной.При (, ) ≡ 0 уравнение (1) имеет однопараметрическое семействоклассических решений (, ) = − 0 (). Следующая теорема обобщаетэтот факт на случай произвольного периодического потенциала:Теорема 2.1. В сделанных предположениях для любого ∈ R существуетобобщенное вязкостное решение уравнения (1), имеющее вид (, ) = − () + (, ), ∈ (R2 /Z2 ).(5)Здесь — выпуклая функция, удовлетворяющая неравенствамmin (, ) ≤ () − 0 () ≤ max 2 (, ).(,)∈R2(6)(,)∈RДоказательство основано на представлении решения в виде (, ) =min [0 () + 0, (, )], которое следует из (2), (3).

Стандартными методаминетрудно показать (Леммы 2.4–2.8), что функция , (, ) диагонально пе­риодична: , ( + 1, + 1) = , (, ), локально липшицева, обладает свой­ством коцикла , (, ) = min [, (, ) + , (, )] при любых < < ,а разность1− , (, )− 0 ( −− ), где 0 — преобразование Лежандра функ­ции 0 , равномерно ограничена теми же константами, что и − (, ). Кро­ме того, , (, ) обладает свойством Монжа (Предложение 2.9, След­ствие 2.10):, (1 , 1 ) + , (2 , 2 ) < , (1 , 2 ) + , (2 , 1 )(7)при 1 < 2 , 1 < 2 , < .

Для доказательства последнего свойства рас­сматриваются пересекающиеся минимизирующие траектории, соединяющие1 с 2 и 2 с 1 , и проверяется, что с помощью перезамыкания траекторийв окрестности точки пересечения сумма соответствующих действий можетбыть строго уменьшена.22Решение задачи Коши с начальными данными 0 = + 0 (), где0 ∈ (R/Z), имеет вид (, ) = + (, ). В силу периодичности потенци­ала по времени это решение естественно рассматривать в целые моменты вре­мени = 1, 2, . . .

Обозначим (; , 0 ) = min [0 ()+0, (, )−(−)]. Изсвойств функции , (, ) следует (Предложение 2.11, Следствие 2.12),что все липшицевы с общей константой, зависящей лишь от свойств га­мильтониана и параметра .Положим () =1min (; , 0); тогда выполнено Предложение 2.13,согласно которому существует такая выпуклая функция () («усреднен­ный гамильтониан»), что | () − ()| ≤ ()/, где () — константа,определяемая величиной и липшицевыми свойствами , (, ), а разность() − 0 () ограничена теми же константами, что (, ).

Доказательствоэтого факта базируется на субаддитивности () по . В свою очередь, этодает возможность доказать, что существует пределlim inf [ (; , 0 ) + ()] = (),→∞который удовлетворяет функциональному уравнению () = min [ () + 0,1 (, ) − ( − )] + ()(8)и потому определяет решение вида (5), если положить 0 () = + ().Тем самым теорема 2.1 доказана.Любой функции ∈ (R/Z), удовлетворяющей функциональному урав­нению (8), сопоставим многозначное отображение : ↦→ arg min [ () +0,1 (, ) − ( − )]. Можно показать (Лемма 2.14, Предложение 2.15),что отображение сохраняет порядок, удовлетворяет условию ( + 1) = ()+1, а последовательность непустых множеств = ( ) R/Z являетсяубывающей по включению и имеет непустое замкнутое пересечение , при­чем любая его открытая окрестность ⊃ содержит все множества ,23начиная с некоторого номера.

На множестве отображение однозначно,является гомеоморфизмом и обладает числом вращения ().Пусть 1 и 2 — два непрерывных периодических решения функцио­нального уравнения (8) и 1 — многозначное отображение, соответствующеефункции 1 . Легко проверить, что 1 () − 2 () ≥ 1 () − 2 () для любых ∈ R и ∈ 1 () (Лемма 2.18).

Отсюда нетрудно вывести, что на всякойорбите отображения 1 (а значит, и на замыкании орбиты) разность функций1 и 2 постоянна. Следовательно, и отображения 1 и 2 , соответствующиекаждой из функций, совпадают на замыкании любой из своих орбит.Для каждой точки из какого-либо инвариантного множества опре­делена двусторонняя последовательность = ( ) , ∈ Z. Из определе­ния отображения , связывающего его с минимизацией механического дей­ствия, может быть выведено Предложение 2.17, согласно которому все та­кие последовательности минимизируют действие относительно «финитных»возмущений. Точнее, для всех −∞ < 1 < 2 < ∞ и любых конечных на­боров (1 , 1 +1 , . .

. , 2 ) таких, что 1 = 1 и 2 = 2 , выполнено нера­∑︀∑︀венство 1 ≤<2 0,1 ( , +1 ) ≤ 1 ≤<2 0,1 ( , +1 ). Это позволяет при­менить результаты С. Обри 30 , согласно которым при иррациональном числевращения () инвариантное множество совпадает с замыканием любойтраектории. В свою очередь, отсюда выводитсяТеорема 2.2.

Пусть — непрерывная периодическая функция, существо­вание которой установлено в теореме 2.1, а () — соответствующее чис­ло вращения. Если оно иррационально, то функция определена единствен­ным образом с точностью до аддитивной константы.Круг идей, на которых основаны перечисленные результаты слабой тео­30Aubry S., Le Daeron P. Y. The discrete Frenkel–Kontorova model and its extensions I. Exact results forthe ground-states // Physica D: Nonlinear Phenomena.

1983. Vol. 8, no. 3. Pp. 381–422.24рии КАМ, допускает плодотворный перенос на задачу вычисления транспорт­ного расстояния между распределениями массы на окружности (Дополнениек гл. 2). Эта задача возникает в ряде приложений, в частности в обработ­ке изображений и машинном зрении. Если ценовая функция удовлетворяетусловию Монжа (7), а соответствующие распределения заданы на отрезкахчисловой прямой, оптимальное отображение является монотонным.

Поэтомудля мер, представляющих собой -точечные гистограммы, задача решает­ся за число операций, пропорциональное . Однако для мер, заданных наокружности, наивный подход дает уже квадратичное по число операций,потому априори нельзя исключить ни одно из возможных выравниванийдвух -точечных гистограмм.В Дополнении к гл. 2 транспортная задача распространяется на уни­версальную накрывающую окружности. В результате начальная и конечнаямеры становятся периодическими, а стоимость транспорта — бесконечной, од­нако по-прежнему имеет смысл искать такие транспортные планы, стоимостькоторых не может быть уменьшена никаким локальным изменением. Раз­личные локально оптимальные отображения, которые не могут быть проде­формированы одно в другое никаким локальным преобразованием, образуютсемейство, которое можно параметризовать величиной, аналогичной числувращения в слабой теории КАМ.

Можно ввести и функцию–аналог усреднен­ного лагранжиана (-функции Мазера), которая оказывается эффективновычислимой. В Дополнении к гл. 2 показано, что минимизация этой функ­ции методом последовательных делений пополам доставляет эффективныйалгоритм транспортной оптимизации на окружности. Класс ценовых функ­ций, покрываемых этой конструкцией, состоит из всех функций, удовлетво­ряющих условию Монжа (7). В частности, к нему относится квадратичнаяфункция и ценовые функции, порожденные натуральными лагранжианами25с периодическим по времени потенциалом31, 32.Результаты гл. 2 анонсированы в [2] и опубликованы в [3, 4].

РезультатыДополнения к гл. 2 опубликованы в [11]В главе 3 изучается динамика траекторий внутри сингулярных много­образий обобщенных решений уравнения Гамильтона–Якоби с общим гамиль­тонианом вида (, , ), который является гладким и строго выпуклым попеременной и соответствует лагранжиану (, , ), обладающему такимиже свойствами. В этом случае связь скоростей и двойственных к ним импуль­сов осуществляется по формулам = ∇ (, , ), = ∇ (, , ).В автореферате ограничимся локальным исследованием в сингулярнойточке, в которой обобщенное решение может быть представлено как пото­чечный минимум конечного числа гладких «ветвей» , каждая из которыхявляется классическим решением уравнения Гамильтона–Якоби. Общий слу­чай подробно рассмотрен в диссертации.В любой точке (, ) классическое решение уравнения Гамильтона–Якобиможет быть представлено в виде( + , + ) − (, ) = + · ∇ + .

. . = − (, , ∇) + · ∇ + . . . ,где отброшенные слагаемые имеют порядок (| | + ||). Поэтому в сингуляр­ной точке имеем представление( + , + ) − (, ) = min ( · − ) + . . . ,(9)где = ∇ (, ), = (, , ). Выпуклый многогранник с вершинами(− , ) представляет собой супердифференциал функции в точке (, );он обозначается (, ) и в регулярных точках сводится к обычному про­странственно-временному градиенту.31Knill O. Jürgen Moser, selected chapters in the calculus of variations. Birkhäuser Verlag, 2003.32Bernard P., Buffoni B. Optimal mass transportation and Mather theory // Journal of the EuropeanMathematical Society. 2007.

Vol. 9. Pp. 85–121.26Если заменить обобщенное решение его гладкой регуляризацией —например, решением уравнения + (, , ∇ ) = Δ ),(10)то кривизна графика, бесконечная в сингулярной точке (, ), оказывает­ся как бы «размазанной» по ее малой окрестности. Градиент ∇ прини­мает в этой окрестности всевозможные значения из супердифференциала(, ). Поэтому можно неформально представлять себе супердифференци­ал как множество значений градиента в инфинитезимальной окрестности син­гулярной точки.Проследим за траекторией частицы, начинающей движение из сингуляр­ной точки со скоростью .

По физическому смыслу задачи ее скорость должнасоответствовать одному из «наличных» в этой точке значений импульса, т. е.некоторому элементу -проекции супердифференциала (, ).В действительности о возможных значениях скорости такой частицыможно сказать больше. При малом положительном , когда частица уже по­кинула исходное положение, решение ( + , + ) будет определяться невсеми ветвями , а лишь теми, для которых достигается минимум в (9).