Динамика и сингулярности в моделях инерционного переноса масс, страница 4

Общий объем диссертации 274 страницы, из них 250 страництекста, включая 20 рисунков. Библиография включает 173 наименования на20 страницах.Содержание работыВо Введении кратко разъясняется актуальность диссертационной рабо­ты, сформулирована цель и обоснована научная новизна исследований, ука­заны области практической значимости полученных результатов, представ­лены выносимые на защиту научные положения, а также охарактеризованыапробация, которую прошло диссертационное исследование, имеющиеся пуб­ликации и личный вклад диссертанта. Введение дополняет обзорный раздел,посвященный характеристике круга проблем, который рассматривается в дис­сертации, и имеющейся литературы.Первые три главы диссертации посвящены исследованию возникновениясингулярностей и динамики внутри сингулярных множеств в обобщенных(вязкостных) решениях нестационарного уравнения Гамильтона–Якоби (1),которое рассматривается как простейшая модель нелинейного инерционногопереноса масс.Вначале напомним некоторые стандартные определения и конструкции.Будем предполагать, что гамильтониан (, , ) является гладкой и строговыпуклой функцией переменной импульса , и введем функцию Лагранжа(, , ) = max [·−(, , )], которая при данных предположениях такжеявляется гладкой и строго выпуклой по .

Как известно, вязкостное обобщен­15ное решение задачи Коши с начальным условием ( = 0, ) = 0 () задаетсят. н. формулой Лакса–Олейник, которую для целей настоящей работы можнопринять за конструктивное определение решения:(︀)︀(, ) = inf ()= 0, [] + 0 ((0)) ,где 0, [] =∫︀ 0(2)(, (), ())˙d есть механическое действие, связанное с тра­екторией , а точная нижняя грань берется по классу всех абсолютно непре­рывных траекторий : [1 , 2 ] → R , удовлетворяющих (2 ) = . Определим1 ,2 (, ) = inf (1 )=, (2 )= 1 ,2 [].(3)При сделанных выше предположениях о лагранжиане эта точная нижняягрань достигается на траектории ,: [1 , 2 ] → R .

Будем называть такие1 ,2траектории лагранжевыми минимизирующими траекториями.В главах 1 и 2 рассматривается теория глобальных по времени обоб­щенных решений уравнения Гамильтона–Якоби. Основную роль в построе­нии таких решений играют минимизирующие траектории , определенныена полубесконечном временно́м интервале (−∞, ): указанное глобальное ре­шение задается соотношениями (, ) = ˙ () при всех (, ).

Чтобы доказатьсуществование полубесконечных минимизирующих траекторий, необходимопереходить к пределу → ∞ для минимизирующих траекторий вида −,,определенных на конечных интервалах времени [ − , ]. Для существованиятакого предела необходима равномерная оценка на терминальную скорость˙ −,(), получение которой становится таким образом центральной задачейвсей теории.Заметим прежде всего, что скорость минимизирующей траектории будетравномерно ограничена, если конфигурационным пространством лагранже­вой системы является компактное многообразие . Действительно, в такомслучае смещение минимизирующей траектории в течение любого интерва­16ла времени ограничено диаметром многообразия, и минимизирующие траек­тории, определенные на достаточно длинных интервалах времени, не могутиметь больших скоростей.В случае непериодического потенциала можно представить себе ситуа­цию, в которой минимизирующая траектория проводит подавляющую долювремени в некоторой «благоприятной» области R , которая может лежатьдалеко от предписанной терминальной точки , и затем очень быстро пере­мещается в .

При таком сценарии в точке будет наблюдаться большаятерминальная скорость, величина которой может зависеть от длины интерва­ла времени, на котором наблюдается минимизирующая траектория. Однакоимеется по меньшей мере два случая, когда такой сценарий невозможен. Во­первых, если потенциал ограничен и автономен: (, ) = (), то сохраня­ется полная энергия и скорость произвольной лагранжевой траектории (т.

е.траектории, удовлетворяющей уравнениям Эйлера–Лагранжа) будет равно­мерно ограничена, если в начальный момент времени частица находилась впокое. Поскольку все минимизирующие траектории лагранжевы, равномер­ная оценка на их скорости немедленно следует из этого результата.Во-вторых, потенциал (·, ) может периодически зависеть от первого(временно́го) аргумента. В этом случае ситуация требует более тонкого ана­лиза.

Полагаться на ограниченность скоростей лагранжевых траекторий уженельзя: более того, периодический потенциал может разгонять лагранжевытраектории для произвольно большой скорости даже на компактном многооб­разии29. Однако А. Фати удалось показать, что скорости минимизирующихлагранжевых траекторий все же ограничены: его элегантное неопубликован­29Мазер Д. Н.

Диффузия Арнольда, I: анонс результатов // Труды международной конференции подифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям — сателлита Международногоконгресса математиков ICM-2002 (Москва, МАИ, 11–17 августа, 2002). Часть 2. Совр. матем.: фунд.напр. Т. 2. М.: МАИ, 2003. С. 116–130.17ное доказательство приводится в приложении B к работе [13].Примеры, построенные в главе 1 настоящей работы, показывают, что,если отказаться от требования периодичности по времени, то выбором под­ходящего потенциала скорость минимизирующей траектории можно сделатьсколь угодно большой.

Можно даже построить «ступенчатый» потенциал,определенный при всех < 0, который будет разгонять минимизирующиетраектории до бесконечной скорости к моменту = 0. Поэтому для такихпотенциалов глобальные по времени решения не существуют даже в обоб­щенном смысле.Перейдем к точной формулировке результатов. Рассматривается гамиль­тониан вида (, , ) = || / + (, ), где > 1, которому соответствуетлагранжиан (, , ) = || /− (, ), где −1 + −1 = 1, так что гамильтони­ан и лагранжиан связаны друг с другом преобразованием Лежандра. Функ­ция удовлетворяет условиям 0 ≤ (, ) ≤ , |∇ (, )| ≤ для всех ∈ R, ∈ R (будем называть такие потенциалы допустимыми).

Пустьтраектория 1 ,2 : [1 , 2 ] → R является минимизирующей и удовлетворяетусловиям ˙ 1 ,2 (1 ) = 0, 1 ,2 (2 ) = . Имеют место следующие результаты (ну­мерация теорем здесь и ниже соответствует тексту диссертации; в некоторыеформулировки теорем в автореферате внесены несущественные изменения вцелях сокращения текста).Теорема 1.1. Существует такая константа 1 (, ) > 0, что для любогоотрезка времени [1 , 2 ] достаточно большой длины = 2 − 1 и любого ∈ R выполнена оценка |˙ 1 ,2 (2 )| ≤ 1 (log )2/ .Теорема 1.2. Существует такая константа 1 (, ) > 0, что для лю­бого отрезка времени [1 , 2 ] достаточно большой длины и любого ∈ Rсуществует допустимый потенциал , определенный на [1 , 2 ] × R , длякоторого |˙ 1 ,2 (2 )| ≥ 2 (log )2/ /2/(−1) для любого , отстоящего от 18не далее чем на =22/.2 (log )Теорема 1.3.

Существует «ступенчатый» допустимый потенциал , оп(0)| = ∞ при всехределенный при всех < 0, для которого lim sup→∞ |˙ −,0 ∈ R . Такой потенциал можно выбрать непрерывным по .Доказательства этих теорем проведены в диссертации в виде серии лемм.Ограничимся наброском доказательства в случае = 2 и в одномерном про­странстве R = R, который содержит все основные идеи, но более обозрим,чем общий случай.Для краткости будем записывать минимизирующую траекторию 1 ,2как . При 1 < < 2 введем обозначения = 2 − и() = | (2 ) − (2 − )|/.Фиксируем отрезок [1 , 2 ] = [−, 0] и определенную на нем минимизирую­щую траекторию , где (0) = .

Предоложим, что 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ иабсолютная величина средней скорости на отрезке [−2 , −1 ] возрастает от2 = (2 ) до 1 = (1 ) > 2 .Требование минимизации механического действия позволяет получитьаприорную оценку на прирост средней скорости:(1 − 2 )221+≤ .21(4)Действительно, по неравенству Иенсена получаем для допустимого потенци­ала оценку11−2 ,0 [ ] = −2 ,−1 [ ] + −1 ,0 [ ] ≥ [1 12 +(1 1 − 2 2 )2 ] − 2 .22 − 1С другой стороны, рассмотрим на [−2 , 0] траекторию , концевые точкикоторой совпадают с (−2 ) и , а скорость постоянна.

Поскольку мини­мизирует действие, а потенциал является допустимым, получаем1−2 ,0 [ ] ≤ −2 ,0 [] ≤ 2 22 .219Комбинируя последние два неравенства, получим1 12 +1(1 1 − 2 2 )2 − 22 ≤ 2 22 ,2 − 1откуда следует неравенство 1 2 (1 −2 )2 /(2 −1 ) ≤ 22 , равносильное (4).Смысл неравенства (4) в том, что рост абсолютной величины среднейскорости в арифметической прогрессии возможен лишь при не менее чем гео­метрической прогрессии соответствующих значений времени. Поэтому наи­больший возможный прирост средней скорости на интервале времени дли­ной должен быть пропорционален log . Желаемая оценка на терминаль­ную скорость ˙ (0) получается отсюда при учете двух дополнительных на­блюдений: во-первых, чем короче интервал времени, тем ближе друг к другузначения терминальной и средней скорости из-за характерной для допустимо­го потенциала ограниченности ускорения, а во-вторых, значение средней ско­рости в начальный момент времени − ограничено априорно: 2 ( ) ≤ 2.Действительно, для допустимого потенциала в силу неравенства Иенсена−,0 [ ] ≥ 2 ( )/2 − , но в то же время −,0 [ ] ограничено сверхудействием траектории, неподвижно находящейся в точке , которое в силусделанных предположений неположительно.Для построения ускоряющего потенциала в теореме 1.2 заметим, что∫︀ траектория − (2 − ), заданная функцией () = 0 log d, при всех1 < < 2 имеет с точностью до множителя скорость, максимально воз­можную в соответствии с теоремой 1.1.

Поэтому потенциал , определенныйдля некоторого ∈ R формулой (, ) = ( − + (2 − )), где функция ∈ 1 удовлетворяет условиям 0 ≤ () ≤ при всех , () = при ≤ −2, () = 0 при ≥ 0 и − ≤ ′ () ≤ 0 при −2 ≤ ≤ 0,является допустимым и удерживает минимизирующие траектории настолькоблизко к − (2 − ), насколько возможно. Действительно, если минимизи­рующая траектория удовлетворяет условию (2 − 1) < − (1), нетрудно20получить оценку на ее среднюю скорость (1), обеспечивающую желаемуюоценку снизу терминальной скорости.

Если же для минимизирующей траекто­рии (2 − 1) ≥ − (1), то построением подходящих «пробных» траекторийможно доказать, что при не слишком больших траектория (2 −) должнавыходить на ту же границу − (), откуда вновь следует необходимая оценкана среднюю и терминальную скорость.Наконец, покажем, как можно «склеить» последовательность ускоряю­щих потенциалов при < 0, чтобы добиться разгона минимизирующей траек­тории, определенной на отрицательной полуоси времени, до бесконечной ско­рости к моменту = 0 (теорема 1.3). Положим 1 = 1 = ¯, где ¯ достаточновелико, чтобы при > ¯ выполнялась теорема 1.2, и определим по индукции, = −1 + , где > 2 (в случае общего степенного гамильто­ = e( −1∑︀ниана > 2 /2( −1)), а также = 1≤≤ ( ), = 1, 2, .

. .. Потенциал,определенный формулой ∞ (, ) = ( − −1 + (− − −1 ) при − < ≤ −−1 , является допустимым и при можно проверить, что для миними­зирующей траектории , определенном в этом потенциале при − ≤ ≤ 0,21имеет место оценка ˙ (0)| ≥ const, (log ) − при || ≤ const (log )2/ .Отсюда следует искомое утверждение о бесконечной терминальной скоростиминимизирующих траекторий, определенных на бесконечной полуоси време­ни.Результаты гл. 1 опубликованы в [8, 13].Если потенциал периодичен по времени, решения уравнения Гамильтона–Якоби выходят на режим, также характеризуемый периодичностью. Это по­казано в главе 2, где построен частный вариант так называемой «слабой тео­рии КАМ» для решения уравнения Гамильтона–Якоби на окружности R/Z спериодической внешней силой.