Геометрические свойства локально минимальных сетей, страница 3

Перейдем теперь к физическим опытам. Отметим, что в них, как и в случае пчелиных сот, возникают именно локально минимальные сети, а вовсе не обязательно абсолютно минимальные сети. Это обсто- ятельство лишний раз подчеркивает естественность рассматриваемых нами объектов. В первом эксперименте мы получим локально минимальные сети наблюдая за мыльными пленками. физическими моделями минимальных поверхностей. Возьмем две прозрачные пластины, расположим их в параллельных плоскостях на некотором расстоянии друг от друга, и соединим их произвольным числом штырьков, перпендикулярных пластинам. Опустим полученную конструкцию в мыльный раствор и осторожно извлечем ее наружу. На конфигурации осядет мыльная пленка, перпендикулярная пластинам (рис.

3). Граница полученной мыльной пленки состоит из двух частеи: первая часть границы это объединение вертикальных отрезков штырьков, соединяющих пластины, а вторая часть -- объединение двух одинаковых "следов", по которым пленка касается пластин. Если в расстояние между пластинами, а / длина одного из "следов', то 1. Исторический обзор.

площадь мыльной пленки равна И. Хорошо известно, что мыльная пленка всегда стремится занять такое положение, в котором ее площадь больше нельзя уменьшить без предварительного увеличения. Поэтому каждый из "следов" является сетью, длину которой нельзя уменьшить малыми шевелениями, оставляющими на месте точки крепления штырьков границу этой сети, т.е. является локально минимальной сетью. Рис.

3: Мыльные пленки, моделирующие локально минимальные сети. Опишем теперь механическую систему в которой естественно возникает локально минимальная сеть. Возьмем п, кусков нерастяжимой нити, например лески. На одном конце каждого из кусков, кроме одного, сделаем незатягиваюшуюся петельку.

Из полученных и — 1-ого отрезка с петелькой выберем й~ штук, и через петельки проденем единственный отрезок без петли. Тем самым мы псыучим конфигурацию, состоящую из й~ + 1-ого отрезка и имеющую й~ + 2 концов. Далее, из оставшихся незадействованными отрезков лески выберем Йз штук и проденем через их петельки концы построенной конфигурации. Тем самым мы получим новую конфигурацию уже с 1~+ха+ 2 концами. Опять из оставшихся отрезков выберем кз и вновь перестроим конфигурацию. Будем продолжать это процесс до тех пор, пока все отрезки не будут заняты. В результате мы построим конфигурацию С, число концов кото1юй равно и + 1. Возьмем пластину, скажем лист оргстекла или фанеры, и просверлим в неи п + 1 маленькое сквозное отверстие (отверстия будут соответствовать граничным точкам минимальной сети).

Расположим пластину горизонтально и пропустим сверху концы конфигурации С через отверстия так, чтобы на каждое из них приходилось по одному концу из С. Прикрепим теперь к концам грузики одинаковой массы, Когда полученная механическая система прийдет в состояние равновесия, конфигурация из лески образует локально минимальную сеть, Введение. граница которой --.набор просверленных отверстий, рис. 4. Рис. 4: Механическая реализация локально минимальных сетей.

2 Основные результаты теории абсолютно минимальных сетей Основное внимание в литературе уделяется классическому случаю изучения абсолютно минимальных сетей на плоскости. В данном разделе мы приведем основные результаты, посвященные исследованию плос; ких абсолютно минимальных деревьев. Более подробную информацию можно найти в цитируемых ниже работах, а также в книге ~37~ и в обзоре из книги ~46]. 2.1 Общие факты из теории абсолютно минимальных сетей Пусть ЛХ = 1ЛХ;1 фиксированное множество, состоящее из и точек плоскости. Первые естественные вопросы рассматриваомой теории зто теоремы существования и единственности абсолютно минимальных деревьев, затягивающих ЛХ, В случае плоскости несложно показать, что абсолютно минимальное дерево, затягивающее ЛХ всегда существует, однако, вообще говоря, такое дерево не единственно, см.

рис. 5. Кроме того, хорошо известно, см. например [301, локальное устройство абсолютно минимальных сетей. А именно, каждая абсолютно минимальная сеть состоит из отрезков, стыкующихся в вершинах под углами, не превосходящими 120'. В частности, степени вершин локально минимальной сети не превосходят 3.

Более того, можно считать, что все вершины степени 1 и 2 являются граничными, т.е. при- 2. Абсолютно минимальные сети. Рис. 5: Две абсолютно минимальных сети, затягивающих вершины ква- драта. надлежат ЛХ. Отметим, что сети, степени вершин которых не превосходят 3, называются сетями Штейнера. В отличие от локальной структуры абсолютно минимальных сетей, которая полностью описана, про глобальное устройство известно далеко не все.

Конечно, ясно, что каждая абсолютно минимальная сеть является деревом, степени вершин которого нс больше 3. В частности., абсолютно минимальное дерево содержит не более п — 2 вершин, не лежащих в граничном множестве ЛХ (напомним, что через п мы обозначили количество точек в ЛХ). Эти дополнительные вершины называются точками Штейнера. Мы уже отмечали, что задача построения абсолютно минимального дерева является АГР-трудной,и этот факт является одной из мотиваций, обосновывающих актуальность исследования тех ограничений на возможные топологии минимальной сети, которые накладывает геометрия граничного множества ЛХ, изучения возможного расположения точек Штейнера минимальной сети, и т.п.

Иными словами, важно исследовать дополнительные свойства минимальных сетей и связь этих свойств с геометрией границы ЛХ. Несколько таких свойств формулируется в терминах так называемой оболочки Штейнера подмножества плоскости, вне которого не может лежать абсолютно минимальная сеть. 2.2 Оболочки Штейнера Приводимые ниже результаты можно найти в обзоре ~301, а также в статье [9). Определение. Множество ЯН(ЛХ) с хса называется оболочкой Штейнера множества ЛХ, если каждое абсолютно минимаяьное дерево, затягивающсс ЛХ, содержится в лсН(ЛХ). Введение.

10 Ясно, что оболочка Штейнера определена не однозначно, и чем меньшую по включению оболочку Штейнера нам удастся найти, тем более сильные ограничения на расположенио точек Штейнера мы получим. Приведем несколько характерных результатов на зту тему. Пусть Г абсолютно минимальное дерево, затягивающее множество ЛХ. Мы начнем с одного из простейших утверждений, называемого "свойством лунки . Лункой Е, соответствующей отрезку АВ, назовем пересечсние двух открытых кругов радиуса АВ с центрами в А и В соответственно. Утверждение В.1 (Свойство лунки) Пусть Г абсолютно минима ьное ггерево, загпягпваюгцее множество ЛХ, гг АВ ггроггзвольное ребро пз Г.

Тогда лунка Е, соответсгпвующая АВ, не содержит верипгн дерева Г. Следующие несколько утверждений позволяют показать, что выпуклая оболочка граничного множества М является оболочкой Штейнера, а затем, в некоторых случаях, последовательно сокращать оболочку Штейнера. Утверждение В.2 (Свойство бесконечного клина) Пусть Ит внутренность некотороео угла величины не меньше чем 2кг,г3. Предположим, что И' не содержит точек из ЛХ. Тогда И' не содержит точек Штейнера дерева Г.

Внутренность угла И' часто называют бесконечным клином. Из свойства бесконечного кяина немедленно вытекает следующий важный реву.льтат. Следствие В.1 (Свойство выпуклой оболочки) Выпуклая оболо- чка множешпва М яв яется одной из оболочек ХПтейнера для ЛХ. Пусть Г, как и выше, обозначает абсолютно минимальное дерево, затягивающее конечное множество ЛХ точек плоскости. Рассмотрим некоторый треугольник АВС, угол В которого не меньше 2п/3, Обозначим через Иг множество, полученное из АВС выбрасыванием сторон АВ и ВС, прилежащих к углу В. Множество И" будем называть (конечным) клюгом, порожденным АВС. Утверждение В.З (Свойство конечного клина) Пусть конечный клин И', порозкденный треугольником АВС, не содержит точек, множества М, а отрезок, АС лежит на границе некоторой оболочки Штейнера ВгН(ЛХ). Тогда И' не содержит точек Штейнера абсолютно минимального дерева Г, затягивающего ЛХ.

2. Абсолютно минимальные сети. Приведем здесь один способ, предложенный Кокейном ~9], позволяющий уменьшать оболочку Штейнера. Пусть П некоторыи многоугольник на плоскости, являющийся оболочкой Штейнера множества ЛХ, а дГ его граница. Пару точек .4 и С из ЛХ назовем соседними на дХХ, если отрезок .4С лежит на дГ, и на интервале АС нет точек из М. Пусть А и С -- пара соседних на дП точек из ЛХ, Точку В из М назовем хорошей для А и С, если угол В треутольника АВС не меньше 2я/3, и ограниченныи каин И', порожденный АВС, не содержит точек из ЛХ. Лстверждение В.4 В сделан:ных выше предположениях, множество Г', полученное из Г выбрасыванием ограниченного клина И', является оболочкой Штейнери для М.